Geometria 1A –Algebra Lineare — 25 settembre 2009
1. Fissata in C3 la base fe1; e2; e3g si consideri l’applicazione lineare de…nita da:
f (e1) = ie2 f (e2) = ie1+ ie3 f (e3) = ie2
(a) Trovare una base per il nucleo e una base per l’immagine (b) Trovare autovalori e autovettori
(c) Quante soluzioni ha il sistema lineare A4(v) = 4v (dove A è la matrice associata a f e v =
0
@ x y z
1 A )?
(d) Quante soluzioni ha il sistema lineare A4(v) = 4v ?
2. Si consideri la matrice A = 0 BB
@
1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2
1 CC A.
(a) Trovare autovalori e autovettori.
(b) Tale matrice è diagonalizzabile ?
(c) Scrivere il polinomio caratteristico della matrice A5
1
Cenno alle soluzioni.
Esercizio 1
La matrice è:
A = 0
@
0 i 0 i 0 i 0 i 0
1 A
autovettori e corrispondenti autovalori:
8<
: 0
@
1 2
p2 1
1 2
p2 1 A
9=
;$ ip 2;
8<
: 0
@
1 2
p2 1
1 2
p2 1 A
9=
;$ ip 2;
8<
: 0
@ 1 0 1
1 A
9=
;$ 0
base dell’immagine:
8<
: 0
@ 0 1 0
1 A ;
0
@ 1 0 1
1 A
9=
;, base del nucleo:
8<
: 0
@ 1 0 1
1 A
9=
;:
Sistema lineare A4(v) = 4v : questa è l’equazioni agli autovalori di A4 , nel caso di autovalore 4 (che è proprio la quarta potenza degli autovalori ip
2di A). Ne segue, senza conti, che il sistema è risolubile, e lo spazio delle soluzioni (che è la somma diretta degli autospazi degli autovalori ip
2) ha dimensione due.
Sistema lineareA4(v) = 4v :questa è l’equazioni agli autovalori di A4, ma 4 non è autovalore (perchè non è la quarta potenza di un autovalore di A) per cui il sistema ha come unica soluzione la soluzione nulla.
Esercizio n.2
A = 0 BB
@
1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2
1 CC
A. Si può studiare a blocchi e si trovano subito autovalori e autovettori:
8>
><
>>
: 0 BB
@ 1 1 0 0
1 CC A
9>
>=
>>
;
$ 2;
8>
><
>>
: 0 BB
@ 0 0 1 1
1 CC A
9>
>=
>>
;
$ 4;
8>
><
>>
: 0 BB
@ 0 0 1 1
1 CC A ;
0 BB
@ 1
1 0 0
1 CC A
9>
>=
>>
;
$ 0
La matrice risulta diagonalizzabile perchè gli tutti gli autovalori sono regolari.
L’unico punto da veri…care è la dimensione geometrica dell’autospazio dell’autovalore 0 la cui dimensione algebrica è 2:
Il polinomio caratteristico di A5 è (1024 ) (32 ) 2
2
