PROGRAMMA di Fond. di Analisi Mat. 2 - sett. 1-5 -
A.A. 2011-2012, canali 1 e 2, proff.: Francesca Albertini e Monica Motta Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza
Testo Consigliato:
Analisi Matematica, M. Bertsch, R. Dal Passo & L. Giacomelli, McGraw-Hill Editore.
Appunti di lezione.
Complementi in rete (http://www.math.unipd.it/∼motta/Didattica/analisi2.html).
SETTIMANE 1-2
PARTE 4: Equazioni differenziali Cap. 16: Equazioni differenziali ordinarie
• Definizione di equazione differenziale di ordine 2 e del problema di Cauchy. Definizione di equazione differenziale di ordine n.
• 16.1 Equazioni differenziali lineari del primo ordine: definizione di equazione omoge- nea associata. Teorema 16.1 sull’integrale generale dell’omogenea (con dim.). Soluzione dell’equazione non omogenea. Teorema 16.2 (con dim.). Teorema 16.3 sull’integrale gen- erale della non omogenea.
• 16.2 Equazioni differenziali del primo ordine in forma normale: equazioni a variabili sep- arabili. Definizione di intervallo massimale. Teorema 16.4 sull’esistenza e l’unicit`a locale della soluzione. Teorema 16.5 sull’esistenza globale della soluzione.
• 16.6 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: 16.6.1 equazioni omogenee. Teorema 16.11 sull’equazione caratteristica. 16.6.2 Equazioni non omogenee, 2.
metodo ad hoc o di somiglianza e metodo di variazione delle costanti (vedi anche appunti in rete sul caso con termine noto speciale: tecniche di soluzione). Generalizzazione al caso di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine superiore al secondo.
• Risoluzione delle equazioni differenziali del primo ordine omogenee e di Bernoulli (vedi appunti). Risoluzione delle equazioni differenziali del secondo ordine del tipo y00= f (y0, x), e pi`u in generale, del tipo y(k)= f (y(k−1), x).
(tutta questa parte pu`o essere studiata sugli appunti di lezione, disponibili in rete, o sul libro, a scelta)
SETTIMANE 3-5
PARTE 3: Funzioni di pi`u variabili e funzioni vettoriali
Cap. 10: Limiti e continuit`a
• Richiami sullo spazio vettoriale Rn: somma, prodotto per scalari e prodotto scalare.
Norma di un vettore e distanza (definizioni e propriet`a) 1
• Intorni sferici e intorni in Rn.
• Insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati. Punti di accumulazione e punti isolati. Frontiera di un insieme.
• Definizione di limite: limx→x0f (x) = l con x0∈ Rn e l ∈ Rm.
• Formula (10.2), cio`e la Proposizione: ”limx→x0f (x) = l se e solo se limx→x0fi(x) = li per i = 1, . . . , m” (con dim.).
• Infinito in Rn: intorni di infinito e definizione di limx→x0f (x) = l con x0= ∞ e/o l = ∞.
• Propriet`a dei limiti: teoremi generali, validi per f : X → Rm con X ⊂ Rn e m ≥ 1;
teoremi validi solo per m = 1.
• Successioni a valori vettoriali: limiti, sottosuccessioni, caratterizzazione dei punti di accu- mulazione di un insieme. Teorema ponte.
• Definizione di funzione continua.
• Teoremi sulle funzioni continue. Propriet`a delle funzioni continue sugli insiemi compatti e sugli insiemi connessi per archi di Rn.
Cap. 11: Calcolo differenziale
• Derivate direzionali, derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione per f : X → R con X ⊂ Rn. Generalizzazione al caso f : X → Rm con m ≥ 1: definizione di matrice Jacobiana.
• Differenziabilit`a di f : X → R con X ⊂ Rn. Generalizzazione al caso f : X → Rm con m ≥ 1.
• Teoremi sulle funzioni differenziabili: Teorema su: continuit`a delle funzioni differenziabili, relazione con la matrice Jacobiana e formula per il calcolo delle derivate direzionali 11.1;
Teorema del differenziale totale 11.3. Teoremi sul calcolo del differenziale; differenziale di funzione composta.
• Significato geometrico della differenziabilit`a: costruzione del piano tangente e definizione di vettore normale. Relazione tra direzione di massima crescita e gradiente di f (per n = 2 ed m = 1).
• Derivate successive per f : X → R con X ⊂ Rn. Matrice Hessiana.
• Teorema di Schwarz sulle derivate miste. Funzioni Ck(X) con k ∈ N.
• Formula di Taylor con il resto di Peano, solo fino al secondo ordine (con dim.)
• Estremi liberi di funzioni a valori scalari: definizione di minimo e massimo locale; definizione di punto stazionario o critico.
• Teorema: ogni punto di estremo locale interno dove f `e derivabile `e critico, 11.14 (con dim.).
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• Richiami sulle matrici simmetriche e sulle forme quadratiche: matrici definite positive, definite negative, semidefinite e indefinite.
• Teoremi su condizioni necessarie e condizioni sufficienti di secondo ordine affinch`e un punto critico sia di estremo locale.
• Insiemi convessi e funzioni convesse: definizioni (solo per f differenziabile, cio`e Teorema 11.12 preso come definizione).
• Teorema sulle funzioni convesse 2 volte differenziabili, 11.13; Teorema sull’esistenza e unicit`a del minimo globale per funzioni convesse, 11.15.
N.B. I teoremi da sapere con dimostrazione sono solo quelli in cui viene specificato ”(con dim.)”.
Per gli altri teoremi citati, lo studente deve essere in grado di esporre rigorosamente l’enunciato, spiegare il significato e le applicazioni del risultato. Lo studente deve inoltre saper enunciare tutte le definizioni in modo rigoroso. Gli esempi inclusi nel testo non fanno parte del programma di teoria, ma se ne consiglia vivamente la lettura per una migliore comprensione degli argomenti svolti. Tutti i teoremi e le definizioni del testo non menzionati, non sono in programma. Qualche definizione e qualche dimostrazione fatta a lezione differisce da quella del testo; in tal caso lo studente pu`o studiare una o l’altra, a scelta.
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