Equazioni differenziali di ordine superiore al 1 °

14 - Esercizi di riepilogo e di complemento

Equazioni differenziali di ordine superiore al 1 °

Parte XI

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:

1. xy

y
(1 +y
²) = 1, y

= 0 [[c²₁(x²+ y²) − 2c²₁c2y + c²₁c²₂− 1 = 0]

2. y


− 1

xy

− x = 0, x
= 0 [[y = x12⁴ + c1x³

6 + c2x + c3]

II Tipo - Equazioni differenziali della forma

F (x, y
, y

, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾, y⁽ⁿ⁾) = 0 (n
2), nelle quali la funzione y non figura esplicitamente.

Posto y
=t(x), da cui y

= t
, . . . y⁽ⁿ⁻¹⁾ =t⁽ⁿ⁻²⁾, y⁽ⁿ⁾ =t⁽ⁿ⁻¹⁾, l’equazione si trasforma in un’altra di ordinen − 1 nella funzione incognita t.

Questo procedimento `e applicabile in particolare all’integrazione delle equazioni differenziali del secondo ordine delle forme: F (x, y
, y

) = 0, F (x, y

) = 0.

Per le equazioni differenziali della forma

F (x, y

, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾, y⁽ⁿ⁾) = 0 (n > 2)

conviene porre direttamentey

=t(x), ottenendo cos`ı un’equazione differenziale di ordine n − 2 nella funzione incognitat(x).