Calcolo delle Probabilità 2014/15 – Foglio di esercizi 6
†Variabili aleatorie, valore medio e varianza.
Esercizi teorici
Esercizio 1. Sia X una variabile aleatoria definita su (Ω, A, P) a valori in [0, +∞].
(a) Si mostri che la funzione ϕ : [0, ∞] × Ω → R definita da ϕ(t, ω) := 1{X(ω)≥t} è misurabile (rispetto alla σ-algebra prodotto B([0, ∞]) ⊗ A).
(b) Applicando opportunamente il teorema di Fubini-Tonelli alla funzione ϕ, si mostri che E(X) =
Z ∞ 0
P(X ≥ t) dt .
(c) Nel caso in cui X assuma valori in N0= {0, 1, . . .} ∪ {+∞}, si deduca che E(X) =
∞
X
n=1
P(X ≥ n) =
∞
X
m=0
P(X > m) .
Esercizio 2 (Caratterizzazione variazionale di valore medio e varianza). Sia X una variabile aleatoria reale in L2. Si mostri che
Var[X] = min{dL2(X, c)2 : c ∈ R} ,
dove dL2(X, Y ) :=pE[|X − Y |2], e il minimo è assunto solo per c = E[X].
Esercizi “pratici”
Esercizio 3. Scegliamo casualmente una permutazione σ di {1, . . . , n} in modo uniforme e indichiamone con Xn il numero di punti fissi. Si determini E(Xn).
[Sugg.: Non è necessario determinare la distribuzione di Xn. Si considerino gli eventi Ai :=
“i è un punto fisso della permutazione” per i ∈ {1, . . . , n}.]
Esercizio 4. Siano X, Z e W variabili casuali indipendenti con X ∼ Be(p) e Z, W ∼ P ois(λ). Definiamo Y := XZ + W .
(a) Determinare le densità discrete di (X, Y ) e di Y .
(b) Utilizzando la densità pY calcolata al punto precedente, calcolare E(Y ) e Var(Y ).
(c) Calcolare E(Y ) e Var(Y ) senza utilizzare pY.
Esercizio 5. Un insetto depone un numero aleatorio N ∼ Pois(λ) di uova. Ciascun uovo deposto si schiude con probabilità p ∈ (0, 1), indipendentemente dal numero di uova deposte e dal fatto che le altre si schiudano. Sia X il numero di uova che si schiudono.
In un esercizio precedente si era mostrato che la densità discreta congiunta di X e N è pX,N(k, n) =
( n
kpk(1 − p)n−ke−λ λn!n se 0 ≤ k ≤ n
0 altrimenti .
e si era dedotto che X ∼ Pois(pλ).
(a) Si calcoli Cov(X, N ).
†Ultima modifica: 21 novembre 2014.
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(b) Indicando con Y := N − X il numero di uova che non si schiudono, si mostri che Y ∼ Pois((1 − p)λ) e che le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti.
Esercizio 6. Sia Xn una variabile casuale con distribuzione uniforme in {n1,n2, . . . ,n−1n , 1}, dove n ∈ N. Data f : [0, 1] → R continua, si calcoli il limite di E(f (Xn)) per n → ∞.
Esercizio 7 (Media e varianza di variabili aleatorie notevoli).
(a) Sia X ∼ Bin(n, p). Si mostri che E[X] = np e Var[X] = np(1 − p).
[Sugg.: Si consideri innanzitutto il caso n = 1; si deduca quindi il caso generale senza fare conti, sfruttando le proprietà di valor medio e varianza.]
(b) Sia X ∼ Pois(λ). Si mostri che E[X] = Var[X] = λ.
[Sugg.: Si calcolino E[X] e E[X(X − 1)].]
(c) Sia X ∼ Geo(p). Si mostri che E[X] = 1p e Var[X] = 1−pp2 . [Sugg.: Si giustifichino le relazioni dxd P∞
n=0xn = P∞
n=0nxn−1 e dxd22 P∞
n=0xn = P∞
n=0n(n − 1)xn−2 per x ∈ (−1, 1). In alternativa, si calcoli P(X > m) e . . . ] (d) Sia X ∼ U (a, b). Si mostri che E[X] = a+b2 e Var[X] = (b−a)12 2.
(e) Sia X ∼ Gamma(α, λ). Si mostri che E[X] = αλ e Var[X] = λα2. Esercizio 8. Siano {Xn}n∈N variabili aleatorie i.i.d. con X1 ∼ U(0, 1).
(a) Poniamo Yn:= − log(Xn) per n ∈ N. Si determini la legge di Yn e si dica se variabili aleatorie {Xn}n∈N sono indipendenti.
(b) Si determini la legge di Sn:= Y1+ . . . + Yn.
[Sugg.: Non serve fare calcoli: si applichi un risultato dimostrato a lezione, riconoscendo la legge delle Yi.]
(c) Si deduca infine la densità di Zn:= X1· X2· · · Xn.
Esercizio 9. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio a valori in R2, con densità fX,Y(x, y) :=
(c e−x se 0 < x < y < x + 1
0 altrimenti ,
dove c ∈ R è una opportuna costante.
(a) Si calcoli il valore della costante c e si mostri che X è una variabile aleatoria con distribuzione Exp(1).
(b) Si mostri che Z := log(X) è una variabile aleatoria assolutamente continua e se ne determini la densità. Per quali valori di p si ha Z ∈ Lp?
(c) Si determini la densità di Y . Si calcoli E(eX−Y).
(d) Le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti?
Esercizio 10. Una variabile aleatoria reale X è detta di Cauchy se è assolutamente continua con densità
fX(x) := 1 π
1
1 + x2 , x ∈ R .
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(a) Si mostri che fX è effettivamente una densità e si calcolino P(X > 1) e P(X < −1).
(b) Si dimostri che la variabile aleatoria Y := 1/X è di Cauchy.
(c) Si mostri che X non ammette valor medio.
Esercizio 11 (Grafo aleatorio di Erdös-Renyi). Un grafo è una coppia (V, E) dove V (vertici del grafo) è un insieme non vuoto e E ⊆ V × V (archi del grafo) è una relazione
simmetrica su V , ossia (i, j) ∈ E se e solo se (j, i) ∈ E. Scriveremo pertanto {i, j} ∈ E, o più esplicitamente i ↔ j, per indicare che “il vertice i è collegato col vertice j”.
Fissiamo n ∈ N e p ∈ (0, 1). Costruiamo un grafo aleatorio con insieme di vertici fissato V = {1, 2, . . . , n}: per ogni coppia di vertici distinti i, j si tira indipendentemente una p-moneta e si uniscono tali vertici con un arco se esce testa. Più formalmente, data una famiglia (Yi,j)1≤i<j≤n di variabili aleatorie i.i.d. Be(p), poniamo i ↔ j se e solo se Yi,j = 1.
(a) Il grado Di di un vertice i ∈ V è definito come il numero di vertici collegati a i, ossia Di := #{j ∈ V : i ↔ j}. Si determini la distribuzione della variabile aleatoria Di. (b) Un sottoinsieme di tre vertici {i, j, k} ⊆ V è detto un triangolo se vale che i ↔ j,
i ↔ k e j ↔ k. Fissati tre vertici distinti i, j, k, qual è la probabilità q che essi formino un triangolo?
(c) Sia Tn la variabile aleatoria che conta il numero totale di triangoli nel grafo. Si mostri che E[Tn] = n3q.
[Sugg.: Sia X{i,j,k} la variabile aleatoria indicatrice dell’evento “i vertici i, j, k formano un triangolo” . . . ]
(d) Si mostri che Var[Tn] = O(n4) per n → ∞.
[Sugg.: Si mostri che Cov(X{i,j,k}, X{i0,j0,k0}) = 0 se i sottoinsiemi {i, j, k} e {i0, j0, k0} hanno in comune 0 o 1 vertici.]
(e) Si concluda che, per ogni ε > 0,
n→∞lim P
Tn
E[Tn]− 1
> ε
= 0 .
