Proof. Il risultato ` e vero per n = 1.

Ancora sulla media geometrica e aritmetica

Proposition 0.1. Se il prodotto di n numeri positivi ` e uguale ad 1, la loro somma risulta ≥ di n.

Proof. Il risultato ` e vero per n = 1.

Supponiamo che x ₁ x ₂ · · · x _n = 1 e x ₁ + x ₂ + · · · + x _n ≥ n e dimostriamo che se

x 1 x 2 · · · x _n x n+1 = 1, allora

x 1 + x 2 · · · + x _n + x n+1 ≥ n + 1.

Se

x 1 x 2 + · · · + x n x n+1 = 1, allora

• tutti i fattori sono uguali. Quindi sono tutti uguali ad 1 e la loro somma vale n + 1, e il risultato ` e dimostrato.

Se non,

• Esister` a almeno un fattore pi` u piccolo di 1 ed un fattore pi` u grande di 1.

Supponiamo

x ₁ < 1, x _n+1 > 1.

Poniamo

y ₁ = x ₁ x _n+1 , abbiamo

y 1 x 2 · · · x _n = 1,

possiamo dunque applicare il risultato assunto vero al passo n, ne segue y 1 + x 2 · · · + x _n ≥ n,

ma

x 1 + x 2 · · · x _n + x n+1 = (y 1 + x 2 · · · x _n ) + x n+1 − y ₁ + x 1 ≥ n + 1 + x _n+1 − y ₁ + x ₁ − 1 = n + 1 + x _n+1 − x ₁ x _n+1 + x ₁ − 1 =

n + 1 + (x _n+1 − 1)(1 − x ₁ ) Poich` e

(x _n+1 − 1)(1 − x ₁ ) ≥ 0,

il risultato ` e dimostrato al passo n + 1. 

Siano dati x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ . . . x _n , non negativi, n ∈ N. La media geometrica M _g ` e il numero M _g := (x ₁ x ₂ x ₃ . . . x _n )

. La media aritmetica M _a ` e il numero

M a := x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n

n .

Si ha

M a ≥ M _g . Consideriamo

x

M

, . . . , _M ^x

g

, _M ^x

g

, allora la radice ennesima del prodotto vale 1 ossia _M ^x

g

x

M

· · · _M ^x

g

= 1, e per il risultato precedente _M ^x

g

+ _M ^x

g

+ _M ^x

g

≥ n, ossia M _a ≥ M _g .

1

2

0.1. Disuguaglianza di Young per esponenti razionali. Come ap- plicazione della disuguaglianza tra la media aritmetica e geometrica dimos- triamo la disuguaglianza di Young per esponenti razionali.

Ricordiamo che in R `e definita la potenza x ⁿ = x · x · · · x

| {z }

n volte

∀x ∈ R, ∀n ∈ N,

con le propriet` a seguenti

x ⁿ · x ^m = x ^n+m (x ⁿ ) ^m = x ^n·m

Definition. Dato p > 1, p ∈ R diciamo coniugato di p il numero reale q tale che

1 p + 1

q = 1.

Se p = _m ⁿ , m, n ∈ N con m < n il coniugato di p `e dato da

q = n

n − m .

Theorem 0.2. Disuguaglianza di Young (esponenti razionali): dati due numeri reali positivi x e y, e dati p, q numeri razionali verificanti ¹ _p + ¹ _q = 1, si ha

xy ≤ x ^p p + y ^q

q Dalla disuguaglianza sulle medie

(x 1 x 2 x 3 . . . x n )

≤ x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n

n Fissiamo

x 1 = x 2 = . . . x m = x ^p x m+1 = . . . x n = b ^q

Fissiamo p = _m ⁿ con m < n, segue che il coniugato di p ` e dato da q = _n−m ⁿ . allora

((x ^p ) ^m (y ^q ) ^n−m )

≤ mx ^p + (n − m)y ^q n

((x ^p )

(y ^q )

≤ m

n x ^p + n − m

n y ^q ,

segue allora la disuguaglianza.