Secondo Appello di Matematica C – Probabilit`a Cognome:
Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica Nome:
7 luglio 2008 Matricola:
Tema A
Esercizio 1. Il tempo di risposta (espresso in secondi) di un sito internet a una richiesta pu`o essere descritto da una variabile aleatoria assolutamente continua X, la cui densit`a vale
fX(x) =
√C
x se 0 < x < 4 0 altrimenti
,
dove C indica un’opportuna costante positiva.
a) Si determini il valore di C e si calcoli E(X).
b) Si determini la funzione di ripartizione FX(t) per ogni t ∈ R.
Soluzione.
a) Bisogna imporre che 1 =R
RfX(x) dx, per cui 1 =
Z 4 0
√C
xdx = Ch 2√
xi4
0 = 4C , per cui C = 1 4. Il calcolo di E(X) d`a
E(X) = Z 4
0
x fX(x) dx = 1 4
Z 4 0
√x dx = 1 4
2 3x3/2
4 0
= 4 3. b) Per definizione si ha che FX(t) = Rt
−∞fX(x) dx. Per x ≤ 0 si ha fX(x) = 0, per cui FX(t) = 0 se t ≤ 0. Analogamente, fX(x) = 0 per x ≥ 4 per cui per t ≥ 4 si ha
FX(t) = Z t
−∞
fX(x) dx = Z +∞
−∞
fX(x) dx = 1 . Infine, nel regime “interessante” 0 < t < 4 si ha che
FX(t) = Z t
−∞
fX(x) dx = 1 4
Z t 0
√1
xdx = 1 4 h
2√ xit
0 = 1 2
√ t . In definitiva:
FX(t) =
0 se t ≤ 0 1
2
√
t se 0 < t < 4 1 se t ≥ 4
.
Esercizio 2. Lancio un dado regolare a sei facce e indico con X il risultato ottenuto. Quindi lancio una moneta equilibrata un numero di volte pari a X e indico con Y il numero di teste che ottengo.
a) Sapendo che il dado d`a come risultato 2, qual `e la probabilit`a di non ottenere nessuna testa?
b) Supponiamo ora di non avere nessuna informazione sul risultato del dado. Qual `e la probabilit`a di non ottenere nessuna testa?
(Sugg.: pu`o essere utile determinare P (Y = 0|X = n) . . . )
c) Si determini il valore di pY |X(k|2) = P (Y = k|X = 2) per k = 1, 2, 3 e si calcoli E(Y |X = 2).
Soluzione.
a) Sapendo che il dado d`a come risultato due, la distribuzione di Y `e B(2,12), per cui P (Y = 0|X = 2) = 2
0
1 2
0
1 2
2
= 1 4.
b) Sapendo che il dado d`a come risultato n, cio`e conditionatamente all’evento {X = n}, la distribuzione di Y `e B(n,12), per cui
P (Y = 0|X = n) = 1 2
n
.
Usando la versione generalizzata della formula delle probabilit`a totali si ottiene dunque P (Y = 0) =
6
X
n=1
P (Y = 0|X = n) · P (X = n) =
6
X
n=1
1 2
n
·1 6 = 63
64 ·1
6 = 21 128. c) Si ha che
pY |X(1|2) = 2 1
1 2
2
= 1
2, pY |X(2|2) = 2 0
1 2
2
= 1
4, pY |X(3|2) = 0 , da cui
E(Y |X = 2) = 0 · pY |X(0|2) + 1 · pY |X(1|2) + 2 · pY |X(2|2) = 1 .
Esercizio 3 (Domanda teorica di probabilit`a). Si enunci e si dimostri il Binomio di Newton, a partire dalla formula di Steifel nk = n−1k + n−1k−1.
(Non `e richiesto di dimostrare la formula di Steifel.) Soluzione.
