Alcune brevi osservazioni sulle coniche
Date due rette r, s, incidenti in un punto P , che formano tra loro un angolo α, si definisce cono la superficie generata dalla rotazione della retta r attorno alla retta s. Chiameremo rispettivamente r retta generatrice ed s asse del cono.
Definiamo conica la curva che si ottengono intersecando il cono con un piano che non contiene P. Detto β l’angolo formato tra il piano e l’asse del cono (in particolare con β = 0 si intende che piano e retta sono paralleli), chiameremo la curva intersezione
(1) ellisse se β > α, (2) iperbole se β < α, (3) parabola se β = α.
s r
P
s r
P
Figura 1: Le coniche
Sul piano contenente la conica possiamo assegnare un sistema di riferimento in modo da poter esprimere la curva mediante un’equazione.
Iniziamo assegnando un sistema di coordinate polari e poi dall’equazione in coordinate polari deduciamo l’equazione della conica in coordinate cartesiane.
1 Le equazioni dell’ellisse
Si dimostra che esistono due punti del piano (detti fuochi) tali che la somma delle distanze di ogni punto dell’ellisse da essi è costante. Ovvero (vedi 2) se A e B sono i fuochi e X è un generico punto dell’ellisse si ha
|AX| + |BX| = 2a, a > 0. (1.1)
A B X
O
ρ θ
D E
Figura 2: Costruzione dell’ellisse
Si osservi in particolare che se indichiamo con D l’intersezione della retta passante per AB con l’ellisse, si ha |AD| = |AB| + |BD|, che sostituita in (1.1) ci dà
|AB| + 2 |BD| = 2a. (1.2)
Se poniamo 2c = |AB|, da (1.2) segue
|AB| + 2 |BD| = 2c + 2|BD| = 2a ⇐⇒ |OD| = c + |BD| = a (1.3) Da questa relazione otteniamo che a > c. Indichiamo poi con E l’intersezione dell’asse del segmento AB con l’ellisse e con O il punto medio di AB, quindi |AE| = |BE| e |AO| = |OB| = c.
Per quanto visto sopra risulta |AE| + |EB| = 2a =⇒ |EB| = a Il triangolo EOB è rettangolo in O, se poniamo |OE| = b, dal teorema di Pitagora si ha
b2 = a2 − c2. (1.4)
Ricaviamo ora l’equazione dell’ellisse in coordinate polari prendendo come origine del sistema di riferimento il punto B (vedi figura). Indicato con θ l’angolo formato dai segmenti BX e BD applichiamo il teorema di Carnot al triangolo ABX :
|AX|2 = |AB|2 + |AX|2 − 2 |AB||AX| cos(θ − π) = 4c2 + ρ2 + 4 c ρ cos θ. (1.5) Sostituendo in (1.1) si ha
q4c2 + ρ2 + 4 c ρ cos θ + ρ = 2a ⇐⇒ q4c2 + ρ2 + 4 c ρ cos θ = 2a − ρ
⇐⇒ 4c2 + ρ2 + 4 c ρ cos θ + ρ = (2a − ρ)2
⇐⇒ 4c2 + ρ2 + 4 c ρ cos θ = 4a2 + ρ2 − 4a ρ
⇐⇒ a ρ + ρ cos θ = a2 − c2 = b2
⇐⇒ ρ = b2 a + c cos θ
(1.6)
Abbiamo così ottenuto l’equazione dell’ellisse in coordinate polari. Ponendo p = b2
c, e = c a
l’equazione dell’ellisse in coordinate polari può essere scritta nella forma
ρ = p
1 + e cos θ. (1.7)
Si osservi che, per detto sopra, risulta e < 1. Il parametro e si chiama eccentricità dell’ellisse.
Nel caso che e = 0, ovvero c = 0, otteniamo una circonferenza di raggio a.
Ricaviamo ora l’equazione dell’ellisse in un sistema di coordinate cartesiane, considerando un sistema di assi cartesiani aventi come origine il punto medio O del segmento AB in modo che l’asse delle ordinate coincida con l’asse del segmento AB e l’asse delle ascisse con la retta che lo contiene (vedi figura 3).
A B
X
ρ θ
D E
y
x
=(x,y)
O
−c c
−a a
−b b
Figura 3: Costruzione dell’ellisse, seconda parte.
Osserviamo che poiché il parametro ρ è la distanza tra i punti X = (x, y) e B = (c, 0), possiamo scrivere
ρ=q(x − c)2+ y2. (1.8)
Inoltre |ρ cos θ| rappresenta la lunghezza della proiezione del segmento XB sull’asse delle ascis- se. Possiamo scrivere quindi ρ cos θ = x − c. Sostituendo queste relazioni nell’equazione (1.6) possiamo scrivere
aq(x − c)2+ y2 + c (x − c) = b2 ⇐⇒
⇐⇒ aq(x − c)2+ y2 = b2 − c (x − c) ⇐⇒
(elevando al quadrato)
⇐⇒ a2(x − c)2+ a2y2 = b4+ c2(x − c)2− 2b2c(x − c) ⇐⇒
⇐⇒ (a2− c2)(x − c)2+ a2y2 = b4− 2b2cx+ 2b2c2 ⇐⇒
⇐⇒ b2x2+ b2c2− 2b2cxc+ a2y2 = b4 − 2b2cx+ 2b2c2 ⇐⇒
⇐⇒ b2x2+ a2y2 = b4+ b2c2 = b2(b2+ c2) = b2a2,
(1.9)
Da cui segue l’equazione canonica dell’ellisse in coordinate cartesiane x2
a2 + y2
b2 = 1. (1.10)
2 L’equazione della parabola.
Si dimostra che esistono un punto O, detto fuoco, ed una retta d, detta direttrice, tali che le distanze di ogni punto C della parabola da O e da d siano uguali, ovvero, vedi figura,
|OC| = |CD| (2.1)
In particolare il vertice A della parabola deve verificare che |OA| = |AB|, e quindi OB = OA+ AB Posto |AB| = k, si ha
|OB| = |OA + AB| = 2k,
|CD| = |OB − OH| = 2k − |OH|
(2.2)
D C
0 H B
d
ρ θ
A
Assumendo come origine delle coordinate polari il fuoco O e come asse polare la perpendicolare condotta da O a d, possiamo porre |OC| = ρ, quindi per quanto osservato sopra scriviamo
|OH| = ρ cos θ (2.3)
ρ = |OC| = |CD| = 2k − |OH| = 2k − ρ cos θ (2.4) Da cui, posto p = 2k, segue l’equazione della parabola in coordinate polari.
ρ = p
1 + cos θ (2.5)
Se vogliamo determinare l’equazione della parabola in coordinate cartesiane, basta fare riferi- mento alla sua equazione in coordinate polari e stabilire il legame tra i parametri che intervengo.
Ad esempio vogliamo stabilire l’equazione di una parabola con asse verticale e concavità rivolta verso l’alto. In questo caso chiamiamo (a, b) le coordinate del fuoco, e poniamo il sistema
di riferimento polare con l’origine in (a, b) e la semiretta di riferimento parallela all’asse delle ordinate e orientata nel verso negativo (vedi figura).
a b
x y
θ ρ
Si avrà che essendo ρ la distanza dei punti della parabola dal fuoco:
q(x − a)2+ (y − b)2 = ρ (2.6)
mentre la quantità ρ cos θ risulta uguale a b − y (vedi figura). Sostituendo nell’equazione (2.5) si ha
q(x − a)2+ (y − b)2 + b − y = 2k ⇐⇒ q(x − a)2+ (y − b)2 = 2k + (y − b) ⇐⇒
⇐⇒ (x − a)2+ (y − b)2 = 4k2+ (y − b)2+ 2ky − 2kb ⇐⇒ (x − a)2 − 4k2+ 2kb = 2ky (2.7)
3 L’equazione dell’iperbole.
Si dimostra che esistono due punti A, B, detti fuochi, tali che il valore assoluto della differenza delle distanze di ciascun punto X dell’iperbole da essi dell’iperbole è costante, ossia
||AX| − |BX|| = 2a (3.1)
Indichiamo con il valore 2c della distanza tra i fuochi. Sia E è un generico punto della retta contenente i fuochi. Se E è esterno al segmento di estremi A, B, e dato che 2a = ||AE|−|BE|| =
|AB| = 2c, si avrebbe che nel triangolo ABX il modulo della differenza tra i lati AX e BX sarebbe uguale al terzo lato AB, assurdo. Quindi E si deve trovare all’interno del segmento avente come estremi i fuochi. D’altra parte è evidente (vedi figura) che se X verifica (3.1), la stessa equazione è verificata dal X1 simmetrico di X rispetto all’asse del segmento AB, da X2, simmetrico di X rispetto alla retta passante per AB, e da X3 simmetrico di X rispetto al punto medio O del segmento AB. Quindi l’asse del segmento AB è anche asse un di simmetria per l’iperbole
Indichiamo con O il punto di mezzo del segmento di estremi A, B In tal caso possiamo osservare che risulta |AE| = |AB| − |BE| = 2c. per la relazione ||AE| − |BE|| = 2a.
B D O E A θ
ρ X
Applichiamo il teorema di Carnot al triangolo ABX :
|AX|2 = |AB|2+ |BX|2− 2|AB||BX| cos θ ⇐⇒ |AX|2 = 4c2+ ρ2− 4cρ cos θ. (3.2) Sostituendo nella (3.1), tenuto conto che nel caso considerato ||AX| − |BX|| = |AX| − |BX| = 2a, otteniamo
√4c2+ ρ2− 4cρ cos θ = ρ + 2a ⇐⇒
⇐⇒ 4c2+ ρ2− 4cρ cos θ = 4a2+ ρ2+ 4aρ ⇐⇒
⇐⇒ aρ + cρ cos θ = c2− a2 = b2 ⇐⇒
⇐⇒ ρ = b2
a+ c cos θ (3.3)
Da cui, posto
p= b2
a, e= c a,
ricaviamo l’equazione di un ramo di iperbole in coordinate polari
ρ= p
1 + e cos θ. (3.4)
Se a = b l’iperbole si dice equilatera.
Volendo ricavare l’equazione dell’iperbole in coordinate cartesiane, consideriamo on sistema di assi aventi come origine il punto medio O del segmento AB, come ordinate l’asse del segmento.
B D E θ
ρ X
O y
A x
−c −a a c
=(x,y)
Dato che ρ è la distanza tra il generico punto (x, y) dell’iperbole e il fuoco (−c, 0), mentre ρcos θ rappresenta la sua proiezione sull’asse x possiamo scrivere
ρ=q(x + c)2+ y2, ρcos θ = x + c, (3.5) da cui sostituendo in (3.3) otteniamo
aq(x + c)2+ y2 + c(x + c) = b2 ⇐⇒ aq(x + c)2+ y2 = b2 − c(x + c)2 ⇐⇒
⇐⇒ a2x+ c)2 + a2y2 = b4+ c2(x + c)2− 2b2c(x + c) ⇐⇒
⇐⇒ (a2− c2)(x + c)2+ a2y2 = b4 − 2b2cx− 2b22c2
⇐⇒ −b2x2− b2c2+ a2y2 = b4− 2b2c2
⇐⇒ −b2x2+ a2y2 = b2(b2− c2) ⇐⇒ b2x2− a2y2 = (c2 − b2)b2 = a2b2.
(3.6)
Da quest’ultima segue l’equazione canonica dell’iperbole in coordiante cartesiane x2
a2 + y2
b2 = 1 (3.7)
Si noti che siamo partiti considerando l’equazione in forma polare di uno dei due rami di iperbole mentre l’equazione che abbiamo ottenuto rappresenta i due rami.
Vogliamo ore determinare l’equazione dell’iperbole equilatera, in coordinate cartesiane , avente l’asse dei fuochi coincidente con la bisettrice del primo quadrante e punto medio dei fuochi coincidente con l’origine. A tale scopo facciamo riferimento ad un sistema di coordinate polari aventi come origine il fuoco situato sul primo quadrante degli assi con la semiretta rivolta nel verso delle coordinate negative (vedi figura). Possiamo quindi scrivere
ρ= |AX| =q(x − c)2 + (y − c)2, ρcos θ = AH (3.8) Il punto X′ è il simmetrico rispetto all’asse della parabola del punto X = (x, y), di conseguenza le sue coordinate saranno (y, x). Essendo poi H è il punto di mezzo del segmento XX′, deve essere
H =
x+ y
2 ,x+ y 2
,
e dunque
|AH| =
s
x+ y 2
2
+
x+ y 2
2
=√ 2
x+ y 2
=√
2 x+ y 2 .
L’argomento del valore assoluto è positivo dato che stiamo considerando il ramo di iperbole posto nel primo quadrante.
O
B
A
D
E
x y
θ X =(x,y) ρ
X’=(y,x) H
Sostituiamo in (3.3), tenendo presente che x, y > 0, e che essendo l’iperbole equilatera deve essere a = b, che sostituita in b2 = c2− a2 fornisce c2 = 2 a2, e quindi
a
v u u
t x − c
√2
!2
+ y − c
√2
!2
+ c
c−
s
2
x+ y 2
2
= b2 ⇐⇒
⇐⇒ a
s
x2+c2
2 − 2cx
√2 + y2 + c2
2 − 2 cy
√2 + c2 − c
√2(x + y) = b2 ⇐⇒
⇐⇒ aqx2+ a2 − 2ax + y2 + a2 − 2 ay + 2a2 − a (x + y) = a2 ⇐⇒
⇐⇒ qx2 + y2+ 2a2− 2a(x + y) = (x + y) − a ⇐⇒
⇐⇒ x2+ y2 + 2a2− 2a(x + y) = a2 + x2+ y2+ 2xy − 2a(x + y) ⇐⇒
⇐⇒ x y = a2 2.
(3.9)
Notiamo che questa equazione è stata ricavata per il ramo di iperbole situato nel primo qua- drante. Data la simmetria della curva rispetto al punto 0, è evidente che la stessa equazione è verificata dai punti x′ = −x < 0, y′ = −y < 0.
4 Breve nota storica.
“Chi capisce Archimede e Apollonio, ammirerà meno le conquiste dei più eminenti matematici dei tempi successivi”.
(Leibniz)
Le coniche furono studiate dai matematici greci nel periodo tra il 300 ed il 200 a. c. (“Età aurea” della matematica greca). Il contributo fondamentale alla teoria delle coniche è contenuto nell’opera di Apollonio di Perga(1) : Le coniche. Degli otto libri che la compongono i primi quattro sono giunti a noi nel testo greco, i tre successivi nella traduzione di un matematico arabo (Thabit ibn Qurra). Nel 1710 Edmond Halley fornì una traduzione latina dei sette libri.
Le sezioni coniche erano note già note da un secolo e mezzo quando Apollonio compose il suo celebre trattato. I tale periodo almeno due volte erano state fatte esposizioni generali una ad opera di Aristeo e l’altra ad opera di Euclide. Ma allo stesso modo che gli Elementi di Euclide aveva rimpiazzato i precedenti manuali elementari, così, al livello superiore delle sezioni coniche, il trattato di Apollonio soppiantò tutti i rivali in questo campo, comprese le Coniche di Euclide, e nessun tentativo di andare al di là Apollonio sembra essere stato fatto nell’antichità. Se la sopravvivenza è una misura della qualità, gli Elementi di Euclide e le Coniche di Apollonio erano evidentemente le miglori opere nei rispettivi campi. Apollonio, su suggerimento di Archimede, introdusse i termini ellisse, iperbole, parabola per indicare le coniche. Questi non vennero coniati per l’occasione ma erano già noti, e rappresentavano l’adattamento di termini che erano stati precedentemente usati, forse dai pitagorici, nella soluzione di equazioni di secondo grado mediante l’applicazione delle aree. (2)
Apollonio introdusse i termini riferendosi ad un contesto nuovo per indicare le sezioni coniche.
Infatti per compredere la motivazione di questa scelta in maniera semplice, possiamo fare riferimento all’equazione moderna della parabola, con vertice l’origine è y2 = 2p x. Ossia la parabola ha la proprietà che, qualunque punto si scelga, il quadrato costruito sull’ordinata ha la stessa area del rettangolo avente per lati l’ascissa x ed il parametro p.
Mentre l’equazioni dell’ellisse e dell’iperbole con un vertice nell’origine sono (x ∓ a)2
a2 ±y2 b2 = 1, da cui
y2 = 2px ∓ b2x2
a2 , dove 2p = 2b2 a .
Ossia per l’ellisse y2 < 2p x, e per l’iperbole y2 > 2p x. Furono le proprietà delle curve rap- presentate da queste due diseguaglianze che indussero Apollonio a dare più di duemila anni fa, quei nomi che sono ancora oggi rimasti.
Alcuni passi del trattato sottolineano una questione che accompagna la Matematica da sempre, ovvero la domanda: “a che serve?” Infatti in alcuni passi del trattato sulle Coniche Apollonio
1 >Apòllonio di Perga (᾿Απολλώνιος ὁ Περγαῖος)(262 circa - 180 circa a.C.). Nato a Perga, città dell’Asia minore. Apollonio probabilmente ricevette la sua educazione scientifica ad Alessandria dove visse per un periodo della sua vita. Visse anche a Pergamo dove si trovava un’altra importante biblioteca. Fu assieme ad Euclide ed Archimede tra i maggiori matematici greci.
2 ἔλλειψις (elleipsis) =, insufficienza, carenza, mancanza.
παραβολή (parabolé) =, il porre affianco, confronto, paragone, similitudine.
ὑπερβολή (iuperbolé)= gettare oltre, superamento.
sentiva la necessità di scrivere a proposito dell’utilità dei risultati che dimostrava: “Sono degni di essere accettati per amore delle dimostrazioni stesse, allo stesso modo che accettiamo molte altre cose nella matematica per questa e nessun’altra ragione” (Libro IV). Mentre nel Libro V:
“L’argomento è uno di quelli che sembrano degni di essere studiati per se stessi”.
Mentre dobbiamo ammirare l’autore per per il suo nobile atteggiamento intellettuale, vale la pena di sottolineare che quanto allora era solamente una bella teoria, senza alcuna possibile ap- plicazione alla scienza o all’ingegneria del tempo, parecchi secoli dopo ha assunto un’importanza fondamentale in campi quali la dinamica terrestre e la meccanica celeste.
I metodi usati da Apollonio nelle Coniche sono, per molti aspetti, così simili a quelli moderni, che la sua opera viene spesso considerata come una sorta di geometria analitica che anticipa di 1800 anni quella di Descartes. Comunque il fatto che Apollonio, il più grande studioso di geometria dell’antichità non sia giunto a sviluppare una geometria analitica, era dovuto probabilmente più ad una povertà di curve che non ad una povertà di pensiero. Non si rendono necessari metodi generali quando i problemi riguardano sempre un caso particolare tra un numero limitato di casi. Inoltre, i creatori della geometria analitica dell’Età moderna avevano a loro disposizione tutta l’algebra del Rinascimento, mentre Apollonio doveva necessariamente operare con il più rigoroso, ma molto più ingombrante strumento dell’algebra geometrica.
