Integrali di superﬁcie

(1)

Integrali di superficie

Riccarda Rossi

Universit` a di Brescia

Analisi II

Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Integrali di superficie Analisi II 1 / 47

(2)

Richiami di teoria

Sia S = − →

r (T ) una superficie parametrica in R ³ , ove T ⊂ R ² ` e connesso e limitato e

−

→ r : T → R ³ , − →

r ∈ C ¹ (T ), ` e data da:

−

→ r (u, v ) = x (u, v )~i ₁ + y (u, v )~i ₂ + z(u, v )~i ₃ , (u, v ) ∈ T Sia g : S → R limitata su S, g = g (x, y , z)

Si definisce l’integrale di superficie di g su S:

Z Z

S

g (x , y , z) d S:=

Z Z

T

g (x (u, v ), y (u, v ), z(u, v ))

∂ − → r

∂u × ∂ − → r

∂v

dudv

con



 



 



∂ − → r

∂u = ^∂x _∂u ~i 1 + ^∂y _∂u ~i 2 + ^∂z _∂u ~i 3

∂ − → r

∂v = ^∂x _∂v ~i ₁ + ^∂y _∂v ~i ₂ + ^∂z _∂v ~i ₃

∂ − → r

∂u × ^∂ _∂v ⁻ ^→ ^r

| {z }

prodotto vettoriale di

^∂_∂u⁻^→^r

e

^∂_∂v⁻^→^r

= det







~i 1 ~i 2 ~i 3

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂x ∂u

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v







(3)

In particolare:

Area(S) = Z Z

S

d S = Z Z

T

∂ − → r

∂u × ∂ − → r

∂v

dudv

Se S ` e data in forma cartesiana:

z = f (x , y ) , (x , y ) ∈ T , allora:

RR

S g (x , y , z) d S = RR

T g (x , y , f (x , y )) r

1 + _∂x ^∂f 2

+

∂f

∂y

2 dxdy e

Area(S) = Z Z

T

s

1 + ∂f

∂x

2 + ∂f

∂y

2 dxdy

(4)

Es. 1.

L’area A della porzione di paraboloide z = 1

2 x ² + 1 2 y ² ,

con (x , y ) ∈ T = (x, y ) ∈ R ² : x ² + y ² < 8 .

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Es. 2.

L’area A della porzione di paraboloide iperbolico z = x ² − y ² racchiusa nel cilindro solido infinito

C = (x, y , z) ∈ R ³ : x ² + y ² ≤ 1 .

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

Es. 3.

I = Z Z

S

x ² ds ove S ` e la superf.

−

→ r (u, v ) = 3 cos(u) − →

i ₁ + 3 sin(u) − →

i ₂ + v − → i ₃ , u ∈ [0, 2π], v ∈ [1, 5].

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

Es. 4.

I = Z Z

S

g (x , y , z) ds con

g (x , y , z) = 2x + 4 3 y + z e S ` e la porzione di superficie del piano

x 2 + y

3 + z 4 = 1,

contenuta in {(x , y , z) ∈ R ³ : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

Es. 6.

I = Z Z

S

(z − y ² ) 1 + 16x ² + 16y ² −1/2

ds, e

S : z = f (x , y ) = 2x ² + y ²

con (x , y ) ∈ T = (x, y ) ∈ R ² : x ² ≤ y ≤ |x| ,

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

Integrali di superﬁcie

Integrali di superficie

Riccarda Rossi

Universit` a di Brescia

Analisi II

Richiami di teoria

Sia S = − →

r (T ) una superficie parametrica in R 3 , ove T ⊂ R 2 ` e connesso e limitato e

−

→ r : T → R 3 , − →

r ∈ C 1 (T ), ` e data da:

−

→ r (u, v ) = x (u, v )~i 1 + y (u, v )~i 2 + z(u, v )~i 3 , (u, v ) ∈ T Sia g : S → R limitata su S, g = g (x, y , z)

Si definisce l’integrale di superficie di g su S:

Z Z

S

g (x , y , z) d S:=

Z Z

T

g (x (u, v ), y (u, v ), z(u, v ))

∂ − → r

∂u × ∂ − → r

∂v

dudv

con



 

 

 

 



 

 

 

 



∂ − → r

∂u = ∂x ∂u ~i 1 + ∂y ∂u ~i 2 + ∂z ∂u ~i 3

∂ − → r

∂v = ∂x ∂v ~i 1 + ∂y ∂v ~i 2 + ∂z ∂v ~i 3

∂ − → r

∂u × ∂ ∂v − → r

| {z }

prodotto vettoriale di

e

= det







~i 1 ~i 2 ~i 3

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

∂x ∂u

∂v

∂y

∂v

∂z

∂v







In particolare:

Area(S) = Z Z

S

d S = Z Z

T

∂ − → r

∂u × ∂ − → r

∂v

dudv

Se S ` e data in forma cartesiana:

z = f (x , y ) , (x , y ) ∈ T , allora:

RR

S g (x , y , z) d S = RR

T g (x , y , f (x , y )) r

1 + ∂x ∂f 2

+

r (T ) una superficie parametrica in R ³ , ove T ⊂ R ² ` e connesso e limitato e

→ r : T → R ³ , − →

r ∈ C ¹ (T ), ` e data da:

→ r (u, v ) = x (u, v )~i ₁ + y (u, v )~i ₂ + z(u, v )~i ₃ , (u, v ) ∈ T Sia g : S → R limitata su S, g = g (x, y , z)

∂u = ^∂x _∂u ~i 1 + ^∂y _∂u ~i 2 + ^∂z _∂u ~i 3

∂v = ^∂x _∂v ~i ₁ + ^∂y _∂v ~i ₂ + ^∂z _∂v ~i ₃

∂u × ^∂ _∂v ⁻ ^→ ^r

1 + _∂x ^∂f 2

∂f

2

1 + ∂f

2

+ ∂f

2

2 x ² + 1 2 y ² ,

con (x , y ) ∈ T = (x, y ) ∈ R ² : x ² + y ² < 8 .

L’area A della porzione di paraboloide iperbolico z = x ² − y ² racchiusa nel cilindro solido infinito

C = (x, y , z) ∈ R ³ : x ² + y ² ≤ 1 .

x ² ds ove S ` e la superf.

i ₁ + 3 sin(u) − →

i ₂ + v − → i ₃ , u ∈ [0, 2π], v ∈ [1, 5].

contenuta in {(x , y , z) ∈ R ³ : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.

(z − y ² ) 1 + 16x ² + 16y ² −1/2

S : z = f (x , y ) = 2x ² + y ²

con (x , y ) ∈ T = (x, y ) ∈ R ² : x ² ≤ y ≤ |x| ,