Registro delle Lezioni di Analisi Matematica 2 (a.a. 2016/17) SETTIMANA 1:
- Richiami sullo spazio Rn come spazio metrico e vettoriale. Coordinate polari e polari ellittiche di un punto nel piano.
- Curve in Rn, sostegno di una curva. Interpretazione cinematica. Curve semplici e chiuse, orientamento di una curva. Equazioni cartesiane e polari di una curva piana.
Curve di classe C1 e C1 a tratti. Retta tangente e vettore tangente al sostegno di una curva regolare. Punto regolare di una curva. Curve regolari e regolari a tratti.
Esempi: circonferenza, ellisse, cuspide, cicloide, astroide, elica cilindrica, cardioide e spirale.
SETTIMANA 2:
- Curve equivalenti, curva geometrica e proprietà geometriche di una curva.
- Lunghezza di una curva e Teorema di rettificabilità.
- Ascissa curvilinea e proprietà delle curve parametrizzate mediante ascissa curvilinea.
- Versore normale, binormale, piano osculatore, curvatura, circonferenza osculatrice e torsione per una curva in R^3. Equazioni di Frenet.
SETTIMANA 3:
- Versore normale orientato e curvatura orientata per una curva in R^2.
- Topologia di Rn: definizione di intorno circolare, di insieme aperto, chiuso, limitato, compatto. Punti interni, punti esterni, punti di frontiera. Interno, frontiera e chiusura di un insieme. Punti di accumulazione e punti isolati. Proprietà elementari ed esempi.
- Funzioni di due variabili reali: dominio, immagine, grafico, insiemi di livello e curve di livello. Limite per funzioni di due variabili. Teorema di unicità del limite, algebra dei limiti.
Condizione necessaria per l'esistenza del limite, passaggio alle coordinate polari e condizione necessaria e sufficiente per il calcolo dei limiti.
SETTIMANA 4:
- Funzioni continue, continuità’ parziale. Teorema della permanenza del segno, massimi e minimi assoluti e Teorema di Weierstrass. Insiemi aperti connessi, connessi per archi, convessi e stellati. Teorema dei valori intermedi (dim).
- Funzioni derivabili parzialmente e vettore gradiente. Significato geometrico della derivata parziale. Regole di derivazione, primo teorema di derivazione della funzione composta. Derivata direzionale e significato geometrico. Funzioni differenziabili, interpretazione geometrica. Derivabilità delle funzioni differenziabili (dim), Formula di Taylor del primo ordine e piano tangente. Condizione equivalente alla differenziabilità.
Proprietà di continuità delle funzioni differenziabili (dim) SETTIMANA 5:
- Teorema del gradiente (dim). Interpretazione geometrica del gradiente. Teorema del differenziale (dim).
- Secondo Teorema di derivazione delle funzioni composte (dim). Vettore gradiente e curve di livello.
- Teorema sulle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso (dim).
- Terzo Teorema di derivazione delle funzioni composte.
- Massimi e minimi relativi. Teorema sulla condizione necessaria per l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim).
- Derivate parziali seconde e matrice hessiana, Teorema di Schwartz.
- Formula di Taylor del II ordine. Matrici definite positive e negative e matrici indefinite.
Teorema di caratterizzazione delle matrici definite positive e negative. Teorema sulla condizione sufficiente per l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim).
SETTIMANA 6:
- Test delle derivate parziali seconde per l'esistenza di massimi e minimi relativi. Ricerca di massimi e minimi relativi, esempi.
- Massimi e minimi assoluti in domini compatti, esempi
- Massimi e minimi vincolati. Funzioni implicite e Teorema del Dini in R2 (dim). Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (dim) e problemi di ricerca di massimi e minimi vincolati.
- Superfici, sostegno di una superficie, esempi: superfici cartesiane SETTIMANA 7:
- Cilindro e sfera, coordinate cilindriche e sferiche. Superfici regolari, versore normale e piano tangente.
- Superfici semplici. Superfici equivalenti. Parametrizzazione di una superficie di rotazione. Superfici rigate.
- Funzioni di tre o più variabili: definizione di limite, di funzione continua, derivate parziali, gradiente. Funzioni differenziabili e derivate direzionali.
SETTIMANA 8:
- Formula di derivazione delle funzioni composte.
- Massimi e minimi relativi, condizione necessaria del I ordine per l’esistenza. Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Condizione sufficiente del II ordine per l'esistenza di massimi e minimi relativi.
- Teorema del Dini e Teorema sui moltiplicatori di Lagrange per funzioni di tre variabili.
Integrale dipendente da un parametro, continuità e regola di Leibniz di derivazione sotto segno di integrale
- Integrale curvilineo per funzioni di n variabili. Proprietà elementari. Baricentro di un corpo filiforme.
- Domini normali nel piano. Definizione di integrale doppio su domini normali. Proprietà elementari dell'integrale doppio e formule di riduzione.
SETTIMANA 9:
- Esempi. Proprietà di simmetria nell'integrale doppio. Baricentro di un corpo piano.
- Cambiamento di variabili ammissibile e Teorema di cambiamento di variabili nell'integrale doppio.
- Coordinate polari e polari ellittiche. Esempi. Calcolo di aree e di volumi.
- Integrale di superficie. Area di una superficie. Primo Teorema di Guldino sull'area di una superficie di rotazione (dim).
- Domini normali in R3. Integrale triplo: definizione, proprietà elementari e formule di riduzione.
SETTIMANA 10:
- Calcolo di baricentri e volumi. Cambiamento di variabili ammissibile e Teorema di cambiamento di variabili nell'integrale triplo.
- Coordinate cilindriche e sferiche. Esempi. Calcolo di aree e di volumi. Teorema di Guldino.
- Campi vettoriali, campi vettoriali conservativi e potenziali.
- Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva e proprietà' elementari.
- Teorema sul lavoro di un campo conservativo (dim).
- Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi (dim)
- Campi vettoriali irrotazionali, Teorema sui campi irrotazionali (dim). Insiemi semplicemente connessi.
- Teorema sui campi irrotazionali in insiemi semplicemente connessi (Lemma di Poincaré) - Metodi per determinare un potenziale di un campo conservativo.
