Ilproblemadeiduecorpieapplicazioniastro˛siche Universit„adelSalento

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Universit„ a del Salento

Il problema dei due corpi e applicazioni astro˛siche

Relatore Achille Nucita

Candidato Mos„ e Giordano

20 ottobre 2011

(2)

Introduzione

Il problema dei due corpi „ e lo studio del moto di due corpi soggetti solamente alla mutua interazione.

Il problema di Keplero si occupa del caso particolare della forza di gravit„ a

F = ` ~ Gm ₁ m ₂ r ² r; ^ con ~ r = ~ r ₂ ` ~ r ₁ :

O

x

y z

~ r

1

m

1

~ r

2

m

2

~ r

CM

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Esempi di sistemi binari

Crediti: W. M. Keck Observatory.

Crediti: NASA/JPL-Caltech.

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Risultati del problema dei due corpi

I

Il moto dei due corpi pu„ o essere ricondotto al moto di un solo corpo in un potenziale esterno

I

Si conserva il momento angolare e il moto dei due corpi si svolge in un piano

O

x y

z

~ r

~ p

~ l

0

~ r

~ p

~ l

0

I

E valida la „ seconda legge di Keplero

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Risultati del problema dei due corpi

I

Il moto dei due corpi pu„ o essere ricondotto al moto di un solo corpo in un potenziale esterno

I

Si conserva il momento angolare e il moto dei due corpi si svolge in un piano

O

x y

z

~ r

~ p

~ l

0

~ r

~ p

~ l

0

I

E valida la „ seconda legge di Keplero

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Risultati del problema dei due corpi

I

Il moto dei due corpi pu„ o essere ricondotto al moto di un solo corpo in un potenziale esterno

I

Si conserva il momento angolare e il moto dei due corpi si svolge in un piano

O

x y

z

~ r

~ p

~ l

0

~ r

~ p

~ l

0

I

E valida la „ seconda legge di Keplero

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Equazione dell’orbita nel problema di Keplero

L’equazione dell’orbita „ e

r(„) = p

1 + e cos „

cio„ e l’equazione in coordinate polari di una conica (circonferenza, ellisse, parabola, iperbole). Nel caso dell’ellisse e della circonferenza abbiamo la prima legge di Keplero.

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Ellisse

x ” x0

y0 y

F2 O0 O ” F1

„ r

a c

b

p

a ` c

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Evoluzione temporale

Equazione di Keplero

’(t) ” !t = (t) ` e sin (t)

x y

Q G

C F

B R

„(t) (t)

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Applicazioni: Sgr A*

3 Stima della massa di corpi non visibili

Crediti: NASA/CXC/SAO.

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(11)

Applicazioni: Sgr A* (continua)

Grandezza Valore

R ₀ 7:96 kpc

P 15:86 yr

a 126:5 mas

e 0:8904

R _min 0:535 mpc M _S2 circa 15 M _˛

Con questi dati M _BH = 4:06 ´ 10 ⁶ M _˛ .

S2

S1 S4

S8

S9

S12

S13

S14 S17

S21

S24 S31

S33 S27

S29 S5

S6

S19

S18 S38

0.4 0.2 0. -0.2 -0.4

-0.4 -0.2 0.

0.2 0.4

R.A. H"L

DecH"L

Crediti: S. Gillessen et al.

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Applicazioni: Cygnus X-1

Funzione di massa

f (m ₁ ; m ₂ ) = v ³ ₁ P 2ıG Dati noti

P = 5:6 d;

v ₁ = 75 km=s.

Risultato m ₂ & 4 M ^˛ .

Crediti: ESA/Hubble.

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Applicazioni: transiti

3 Individuazione e studio di pianeti extrasolari

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Applicazioni: transiti (continua)

´t = t _ef ` t _ii = P (r ₁ + r ₂ ) ıa

r

1

r

²

luminosit„ a

t

ii

t

mi

t

if

t

ei

t

mf

t

ef

t

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Applicazioni: transiti (continua)

0:985 0:990 0:995 1:000 1:005 0:990

0:995 1:000

Fase orbitale

luminosit„a

Crediti: Nucita et al.

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Applicazioni: velocit„ a radiale

3 Calcolo della velocit„ a di allontanamento dei sistemi binari

0 2 4 6

`150

`100

`50 0 50

„ v

los

( „ ) (km = s)

m

₁

m

₂

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