PROGRAMMA di Analisi Matematica 1: fino al 18/11
A.A. 2008-2009, canale 2, prof.: Monica Motta Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza
Testo Consigliato:
Analisi Matematica, M. Bertsch, R. Dal Passo & L. Giacomelli, McGraw-Hill Editore.
Appunti di lezione e complementi in rete (http://www.math.unipd.it/∼ motta/).
PARTE 1: Elementi di base
Cap. 1: Introduzione
• Simboli e operazioni sugli insiemi. Simboli logici. Prodotto cartesiano.
• 1.1 Insiemi numerici: N, Z, Q. Propriet`a delle operazioni, relazione d’ordine. Propriet`a di densit`a di Q (con dim.). Propriet`a di Archimede di Q (con dim.).
• 1.2 Numeri reali: definizione dei numeri reali con gli allineamenti decimali. Propriet`a di densit`a di Q in R. Principio di Archimede in R. Lemma: Q non contiene√
2 (con dim.).
Definizione di valore assoluto e sue prime propriet`a
• 1.2.1 Estremo inferiore, superiore e completezza: maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore e inferiore di insiemi di numeri reali. Caratterizzazione di sup e inf (anche infiniti). Lemma: se esiste il massimo (o il minimo) esso `e unico (con dim.).
Propriet`a di completezza di R.
• 1.4 Disuguaglianze notevoli: disuguaglianza triangolare (con dim.), disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (con dim.), relazione tra la media aritmetica e la media geometrica per due (con dim.) o piu’ elementi.
• 1.5 Sommatorie: definizione e loro propriet`a. La somma di una progressione geometrica (con dim.), la somma di una progressione telescopica.
• 1.6 Principio di induzione: enunciato (propriet`a dei numeri naturali, e dim. del P.di I., fa- coltativi). Esempi di dimostrazioni per induzione: disuguaglianza di Bernoulli (con dim.).
• App. 1.B Fattoriali, coefficienti binomiali: definizioni e propriet`a. Formula del binomio di Newton.
Cap. 2: Funzioni
• 2.1 Funzione, dominio, immagine, grafico definizioni ed esempi. Codominio, immagine e antimmagine di un insieme. Restrizione di una funzione. Dominio naturale di una funzione.
• 2.3 Funzione iniettiva e suriettiva: definizione e caratterizzazioni equivalenti. Risolvibilit`a di un’equazione.
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• 2.4 Funzione composta: definizione di composizione di funzioni e propriet`a della compo- sizione.
• 2.5 Funzione inversa: definizione e caratterizzazione della f inversa. Grafico della f inversa nei reali.
• 2.2 Funzioni limitate: superiormente, inferiormente, limitate. Caratterizzazione del sup e inf di funzioni e del massimo e del minimo.
• 2.7 Operazioni con le funzioni.
• 2.6 Funzione monotona: crescente, decrescente: Composizione di funzioni monotone. (Dal Cap. 3) 3.1 Funzioni pari e dispari, funzioni periodiche: definizioni e propriet`a.
Cap. 3: Introduzione allo studio qualitativo
• 3.1.1 Funzione lineare e funzione potenza: definizione e propriet`a delle funzioni lineari.
Potenze ad esponente naturale, radici n-esime in R; - potenze ad esponente intero, razionale, reale, loro propriet`a e grafici. (Si vedano anche le propriet`a in 1.2.2)
• Funzione valore assoluto: definizione, propriet`a e grafico. (Appunti di lezione)
• 3.1.2 Funzione esponenziale e logaritmica: loro propriet`a e grafici.(Si vedano anche le propriet`a in 1.2.2)
• Funzioni trigonometriche, trigonometriche inverse: definizioni, loro propriet`a e grafici. (Si vedano gli appunti di lezione, le definizioni e propriet`a in Cap. 1, App. 1.A e in Cap. 2, 2.5.1)
• Funzioni iperboliche e loro inverse: definizioni, propriet`a e grafici. (Cap. 6, 6.2.1)
PARTE 2: Funzioni di una variabile
Cap. 4: Propriet`a locali e concetto di limite
• 4.1 Intorni: definizione di distanza, distanza euclidea, intorno sferico di x0reale. Definizione di retta ampliata e di intorno di ±∞. Propriet`a degli intorni (topologia). Definizione di punto di accumulazione e di punto isolato. Definizione di propriet`a che una funzione possiede ”definitivamente” per x → x0.
• 4.1.1 Insiemi aperti e chiusi: definizione di punto interno, esterno di frontiera ad un insieme.
Definizione di insieme aperto e insieme chiuso; un insieme `e chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione reali.
• 4.2. Limite: definizione di limite (con gli intorni ed esplicita, sia per x0 ed l reali che infiniti –∀ε ∃δ..., ecc..–). Teorema di unicit`a del limite (con dim.). Definizione di limite destro e sinistro.
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• 4.3. Propriet`a dei limiti: limitatezza locale delle funzioni con limite finito (con dim.), Teo- rema di permanenza del segno (con dim., nel caso di limite reale), Teorema del confronto (con dim. nel caso di limite reale). Teoremi di calcolo: limite di somme, prodotti, rapporti, ecc.. per funzioni con limite finito. Limite del prodotto di una funzione infinitesima per una localmente limitata. Limite di somma, prodotto, reciproco e rapporto quando una delle funzioni `e infinita. Forme indeterminate. Teorema di esistenza del limite dx e sx per funzioni monotone (con dim. nel caso di f crescente e limite sinistro). Teorema sul limite di funzione composta (con dim.) Limiti delle funzioni elementari.
• Definizione di funzione continua. Teoremi su somme, prodotti, composizione di funzioni continue. Teorema di permanenza del segno per funzioni continue (Cap. 7, 7.1) .
• 4.4. Primi limiti notevoli: limx→0 sin xx = 1 e derivati. Scala di funzioni infinite a +∞.
• Infinitesimi, infiniti e confronti: definizione di infinito e di infinitesimo di ordine superiore (inferiore) e dello stesso ordine per x → x0. Funzioni non confrontabili per x → x0. Funzioni asintotiche per x → x0. Definizione di o-piccolo per x → x0. Principali propriet`a di o-piccolo. Funzioni campione e concetto di ordine di infinito o infinitesimo rispetto al campione per x → x0. Uso del concetto di o-piccolo, di funzione asintotica e delle scale di infiniti e infinitesimi per x → x0 nel calcolo dei limiti (Cap. 6, 6.1).
Cap. 5: Successioni e serie
• 5.1. Successioni a valori in R: definizione di limite di successione. Successione convergente, divergente e irregolare. Teoremi sui limiti di successione (riformulazione dei teoremi sulle funzioni). Scala di successioni infinite. Criterio del rapporto per successioni (con dim.).
• 5.2. Il numero e. Definizione di e come limite di successione.
• 5.3. Sottossuccessioni: definizione. Teorema: una successione ha limite l se e solo se tutte le sue sottosuccessioni hanno lo stesso limite.
Cap. 6: Ulteriori elementi della teoria dei limiti
• 6.2. Ulteriori limiti notevoli (derivati dalla definizione di e).
• 6.3. Non esistenza di limiti. Enunciato del Teorema-ponte tra il limite di f e il limite di successioni. Criterio di non esistenza del limite.
N.B. I teoremi da sapere con dimostrazione sono solo quelli in cui viene specificato ”(con dim.)”.
Per gli altri teoremi, lo studente deve essere in grado di esporre rigorosamente l’enunciato, spiegare il significato e le applicazioni del risultato. Lo studente deve inoltre saper enunciare tutte le definizioni in modo rigoroso. Gli esempi inclusi nel testo non fanno parte del programma di teoria, ma se ne consiglia vivamente la lettura per una migliore comprensione degli argomenti svolti.
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