Esercizio1.
Lafunzione propostaede nitasututtol'assereale,pertantoC :E:=IR . Poicheperx< 2ex>0,si
hax 2
+2x>0,utilizzandoilimitinotevoli,otteniamo
lim
x!+1 h
x p
jx 2
+2xj i
= lim
x!+1 x
h
p
1+2=x 1 i
= lim
x!+1 x
1
2
2
x
= 1;
pertanto y= 1easintotoorizzontaleperx!+1. Invece,
lim
x! 1 h
x p
jx 2
+2xj i
= lim
x! 1
[x jxj]= lim
x! 1
2x= 1:
Poiche,perx! 1,lafunzioneein nita diordine1rispettoadx,studiamosec'easintotoobliquo. Dai
calcolifattiprecedentementesiricava
lim
x! 1 f(x)
x
= lim
x! 1 2x
x
=2
lim
x! 1
[f(x) 2x]= lim
x! 1 h
x+ p
x 2
+2x i
= lim
x! 1 x
2
(x 2
+2x)
x p
x 2
+2x
= lim
x! 1 2x
2x
=1;
dove,nell'ultimopassaggio abbiamoutilizzatoil fattoche, perx! 1, p
x 2
+2xjxj= x. Pertanto,
y =2x+1easintotoobliquo perx ! 1. Osserviamochela funzione propostaecontinuain tutto IR ,
in quanto somma ecomposizionedi funzioni continue. Ovviamente, f(0) = 0e per x < 0, la funzione e
negativa. Perx>0,siottiene,invece,che
f(x)<0 () x<
p
jx 2
+2xj () x
2
<jx 2
+2xj
() x
2
<x 2
+2x () x>0
in quanto, comegiaosservato,perx>0,x 2
+2x=x(x+2)>0. Pertanto,lafunzionepropostaesempre
negativa,perx6=0. Possiamoriscrivere
f(x)= 8
<
: x
p
x 2
+2x sex< 2; x>0;
x p
x 2
2x se 2x0;
pertanto
f 0
(x)= 8
>
>
<
>
>
: 1
x+1
p
x 2
+2x
sex< 2; x>0;
1+
x+1
p
x 2
2x
se 2<x<0;
edinoltre
lim
x! 2
f
0
(x)=1 lim
x!0
f
0
(x)=1
quindiipuntix= 2ex=0sono puntidi nonderivabilita,dovef presentaduecuspidi. Dallostudiodel
segnodif 0
(x), siottiene
f 0
(x)>0 per x< 2; 1 1=
p
2<x<0;
f 0
(x)<0 per 2<x< 1 1=
p
2; x>0;
f 0
(x)=0 per x= 1 1=
p
2 cherisultaessereunpunto diminimorelativo;
inoltre,i puntix= 2ex=0sonopuntidimassimorelativo. In ne
f 00
(x)= 1
p
2 3
per x< 2; 2<x<0;x>0;
da cui si ottiene che f (x) e sempre positiva, dove e de nita e quindi f e convessa. Per completezza,
osserviamochenei due punti dimassimo relativosi ha: f( 2)= 2,f(0)=0;pertantox =0epunto di
massimoassoluto.
Ilgra coe
Esercizio2.
Poniamoa
n
(x)=(n x
+1)sin
tan(1=n)
ericordiamochesin
tan(1=n)
tan(1=n)1=n. Allora,
- perx<0,siottienechea
n
(x)sin
tan(1=n)
1
n
!0;
- perx=0,siottienechea
n
(0)=2sin
tan(1=n)
2
n
!0;
- perx>0,siottieneche
a
n (x)n
x
1
n
1
n 1 x
! (
0 se0<x<1,
1 sex=1,
+1 sex>1.
Ricapitolando,la successionepropostae in nitesimaper x<1,convergead1perx =1ede in nita
perx>1.
Esercizio3. L'integralepropostovastudiatoin unintornodi 0 +
einunintornodi +1. Utilizzando
ilteoremadelconfrontoasinototicopergliintegrali,otteniamo
U(0 +
) f(x)
x 2
x 5=2
4
= 1
4x 1=2
chehaintegraleconvergente,
U(+1) f(x)
2logx
x 5=2
3x 3
=
2
3x 11=2
(logx) 1
chehaintegraleconvergente,
quindilafunzionepropostaeintegrabilein sensoimproprioin(0;+1).
Esercizio4.
Poniamoz=a+ib,dacuiIm(z)=b. L'equazionepropostasiriscrivenellaforma
e 2a 3b
e 2bi
=e 0
e
i
;
dacui,uguagliandoimoduliegliargomenti,amenodi multiplidi2,siottieneilsistema
(
2a 3b=0;
2b=(2k+1); k2Z ;
() (
a=3b=2;
b==2+k ; k2Z :
Imponendolacondizioneb2( ;),siricavab=
2
equindia= 3
4
,dacuileduesoluzioniz
1
= 3
4 +
2 i
ez
2
=
3
i.
