MATEMATICA GENERALE VS II (secondo semestre) Prof.ssa Elisabetta Michetti

MATEMATICA GENERALE VS II (secondo semestre)

Prof.ssa Elisabetta Michetti

A. MATRICI

1. Calcolare il determinante della matrice 1 2

3 6

A   

  

 . 2. Determinare a  tale che 2 2

1 0 a

a a

 

 .

3. Calcolare il determinante della matrice

3 2 1/ 2

1 1 0

0 4 2

A

 

 

 

  

 

4. Determinare k  tale che il determinante di

2 2

1 1 0

0 1 2

k k k

A k

  

 

   

 

 

sia 4.

5. Risolvere la seguente disequazione:

1 1

1 0 1 0

0 1

k k

k







6. Si scriva una matrice (5 5)A  avente determinante nullo.

7. Data

2 1 3 7

1/ 2 3 / 4 0 1

2 1 3 7

1 0 11/ 2 8

A

  

  

 

  

 

 

, calcolare il determinante.

8. Il determinate di

1 7

3 / 4 1

1 7

0 8

a a

b b

A c c

d d

 

 

   

 

   

  

 

con , , ,a b a d  è nullo. Vero o falso? Perché?

9. Calcolare il determinante di 3 1 9 2 0 4

A  

  .

10. Risolvere la seguente equazione: ² 1 4 16

1 0

1 3 9 x x 

B. FUNZIONI DI DUE VARIABILI

B.1 DOMINIO

Determinare per via grafica il dominio delle seguenti funzioni:

1. z y2x 1 ln(x² y 3) 2. ^zln





3.

2 2

9

2 4

x y

z x y

  

  

4. 1

ln 2

z y

x

 

    

5. z x² y²2x 8 ln(x²   y 1)

6. ₂ 2₂ 1

ln( ) 9

y x

z x

x y

 

 

 

7. z y 1 ln ( x² y 1)(x²y²2y3)

8. y x ln( ^{2 2} 9)

z x y

y x

     



B.2 CURVE DI LIVELLO

Tracciare le curve di livello delle seguenti funzioni:

1. 3

z y

  x 2. z  y e^x 3. zx³ y 4. z4y3x 1 5. z2y6x 1 6. zx² y² 7. zx² y

B.3MASSIMI E MINIMI LIBERI

Determinare i punti di massimo e minimo relativi delle seguenti funzioni:

1. zx²2y²8y 5 2. z  x⁴ 2y⁴ 3 3. z y²2x²xy 4. z2y⁴ 8y2x⁴ 5.

3

2 1

3

z y  y x 

6. zx³3x² y² 1 7. z  x³ 3xy⁴ 4y

8. 2 ³ 3 ² 1 ³ 1 ²

3 2 3 2 2

z x  x  x y  y  y 9. zx y^{2 2}2x y² 2x² x

10. 2 ^{3 2 2 2 2} z 3x y x y  y  y 11. ^{4 2} 4 ^{3 2 3}

3 3

zx y  x y  y  y 12. z(xy y)( ² y)

13. z(x³x²)(y2)2x 14. z(x² y y)( ² 1)

B.4 MASSIMI E MINIMI VINCOLATI

(1) Determinare i punti di massimo e minino relativi delle seguenti funzioni soggette ai vincoli di seguito indicati.

1. z3xy con vincolo 2x4y  1 0 2. zxy² con vincolo x2y  1 0 3. zx² y² con vincolo 2 y  x 0 4. ^{z y x}





(2) Determinare per via grafica i punti di massimo e minimo vincolati.

1. z y 2x con vincolo 1 x² y² 2x4y11 0 2. zxy con vincolo x   y 5 0

3. z2y con vincolo x yx²  0 4. z y x con vincolo x² y²2y 0 5. zx² y² con vincolo x   y 4 0

C. FUNZIONI DI UNA VARIABILE

C.1 FUNZIONE COMPOSTA

Date le seguenti funzioni, si dica se esistono le funzioni composte f  e g fg  ed in caso affermativo le si determinino:

1.

2 3

1, 2

f x  gx  x 2.

2, ln

f x g x 3.

, 1

f x g

  x

4.

2 2, ln( 1)

f   x g x 5.

ln , ^x 1

f x x g e ^ 6.

3 2

2, ln( 1) 3

f  x  g x  

C.2 FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE

D. INTEGRALI IMMEDIATI

Si risolvano i seguenti integrali

2 2

1

2 5

3

2 0

2

5 1

1) 2

3 2) 5 2 3) 4) 2

1 1

5) 2 6) 4

x

x

x dx

e dx

x x dx x dx

x xdx e x dx





 

















Si risolvano i seguenti integrali