Amplicatore fully dierential switched capacitor

Il circuito in gura 1.26, combina i vantaggi dell'architettura fully-dierential a quelli della tecnica dei condensatori commutati.

Figura 1.26: Amplicatore FD-SC

VSA e VSB sono i terminali di ingresso a cui è applicato il segnale, VRO e

VRI sono tensioni costanti. Nella seguente analisi Vn rappresenta il rumore

dell'amplicatore schematizzato come un generatore di tensione applicato fra i due ingressi. Viene assunto che C1A=C11B=C1C2A=C12B=C2. Nella fase 1

l'amplicatore si trova nella congurazione buer per cui è possibile scrivere: V_iA(1) = VCM O+ Vn(1) 2 (1.25) V_iB(1) = VCM O− Vn(1) 2 (1.26)

Dove VCM O è il modo comune della tensione di uscita, che è ssato dall'ap-

posito circuito di controllo interno all'amplicatore (visualmente è segnala- to dal rombo sulla punta del simbolo dell'amplicatore). Le altre tensione d'interesse per il circuito valgono:

V_C1A(1) = VCM O+ Vn(1) 2 − VRI (1.27) V_C1B(1) = VCM O− Vn(1) 2 − VRI (1.28) V_C2A(1) = VRO − VCM O− Vn(1) 2 (1.29) V_C2B(1) = VRO− VCM O + Vn(1) 2 (1.30)

e dunque la tensione d'uscita nella fase 1 vale:

vod= VoB− VoA = −v(1)n (1.31)

Nel passaggio fra fase 1 e fase 2, sarebbe da considerare anche il contributo del rumore KT/C che per semplicità in questa analisi viene trascurato. Nella fase 2 il circuito assume la forma in gura 1.27 nella quale sono evidenziati i fenomeni di iniezione di carica schematizzati dalle cariche QJ A e QJ B.

Tenendo conto dei risultati della fase 1 e supponendo che l'amplicatore non assorba carica, è possibile giungere alle seguenti equazioni:

v(2)_od = C1 C2 V_SD(2)− (v(2) n − v (1) n )(1 + C1 C2 ) + QJ A− QJ B 2 (1.32) VSD ≡ VSA− VSB (1.33) V_ic(2) = VCM O+ VRO− VCM O 1 + A + A 1 + A(VSC − VRI) (1.34) VSC ≡ (VSA+ VSB)/2 (1.35)

Dalla (1.32) è possibile ricavare alcune conclusioni importanti:

• Il guadagno dell'amplicatore vale come nel caso unipolare C1/C2

• L'eetto complessivo dell'iniezione di carica viene ridotto perché, ma- nifestandosi su entrambi i rami, entra come disturbo a modo comune e sull'uscita i due contributi, peraltro molto simili in valore assoluto per simmetria, si sottraggono.

• L'amplicatore performa courrelated double sampling (CDS) perchè i campioni di rumore delle due fasi si sottraggono nell'espressione del- la tensione di uscita. I due campioni non sono identici, dato che il rumore è un processo stocastico, però le componenti spettrali a fre- quenza minore della frequenza di sampling sono fortemente correlate (intuitivamente perché variano lentamente rispetto al campionamento eettuato). Dunque la sottrazione dei campioni di rumore comporta una forte riduzione del rumore icker e dell'oset.

Il modo comune di ingresso nella fase 2, come mostrato dall'equazione (1.34), può essere reso uguale a quello della fase 2 ssando VRO=VCM O e

VRI = VSC. La seconda condizione può non essere realizzabile perché non è

detto che si conosca esattamente il modo comune d'ingresso della sorgente, in quel caso bisogna comunque assicurarsi che il modo comune in ingresso all'amplicatore non ecceda mai i limiti di funzionamento per i valori estremi dell'ingresso. Mantenere costante il modo comune d'ingresso è necessario anche per limitare il fenomeno dell'iniezione di carica che, è dovuto si agli switch ma anche alle variazioni del modo comune d'ingresso in combinazione con le capacità parassite.

Figura 1.28: Iniezione di carica dovuta alla variazione del modo comune in ingresso

Per i vantaggi illustrati nei paragra precedenti, e quelli mostrati dall'a- nalisi di questo circuito, la maggior parte degli amplicatori e integratori che devono essere impiegati in sistemi di lettura di sensori o convertitori analogi- co digitali, ad oggi, sono proprio realizzati con architetture fully-dierential switched capacitor.

Capitolo 2

Amplicatori operazionali per SC

Come visto nel primo capitolo, il funzionamento di sistemi SC si articola in almeno due fasi scandite dalla commutazione degli switch, la quale va a modicare la topologia del circuito. All'inizio di ogni fase, le tensioni non si trovano al valore di regime per la congurazione corrente, bensì hanno il valore nale della fase precedente e devono quindi eseguire un transitorio che no a questo momento era stato trascurato nella trattazione. La durata del transitorio della tensione d'interesse, in genere quella d'uscita, deve es- sere minore della durata della singola fase per garantire che nell'istante di campionamento, abbia raggiunto il valore nale. Dato che, l'evoluzione della tensione di uscita verso il termine ha un andamento esponenziale, teorica- mente il valore di regime viene raggiunto in un tempo innito. In applicazioni pratiche il transitorio viene considerato esaurito quando la tensione raggiun- ge un certo intorno del valore di regime, scelto in relazione alla precisione richiesta dall'applicazione. Ad esempio, nel caso di un convertitore analogico digitale ash a 6 bit, che esegue la conversione confrontando la tensione con 26 _{soglie, è ragionevole che l'intorno del valore di regime sia almeno infe-}

riore alla distanza fra due soglie successive. La velocità di evoluzione della tensione d'uscita del sistema, che in genere coincide con quella di uno degli amplicatori operazionali utilizzati nel realizzarlo, dipende fortemente dalle caratteristiche di quest'ultimo, in particolare dal prodotto guadagno banda e dallo slew rate. Inoltre, il tempo di assestamento (settling time) della sud- detta tensione è anche dipendente dall'errore sulla funzione di trasferimento ad anello chiuso dell'amplicatore operazionale. Questo errore, che è dovu- to principalmente al guadagno nito dell'amplicatore ad anello aperto, fa assestare la tensione su un valore di regime che non è quello ideale. Se la dierenza fra il valore di regime ideale e quello reale, è troppo grande, in rela- zione alla precisione domandata, c'è addirittura il rischio che la tensione non possa mai raggiungere l'intorno desiderato. Da quanto detto, si comprende

che le caratteristiche di particolare importanza di un amplicatore opera- zionale per uso SC sono: prodotto guadagno banda, slew rate e guadagno ad anello aperto. Queste speciche, al ne di ottenere un buon amplica- tore operazionale, praticamente utilizzabile, vanno relazionate e confrontate anche con le richieste di stabilità e consumo.

2.1 Errore di guadagno e guadagno ad anello

aperto

L'errore sulla funzione di trasferimento in retroazione, introdotto dal gua- dagno nito ad anello aperto, può essere stimato con precisione, tenendo conto anche degli eetti caricanti, ricorrendo ad una versione modicata del teorema di scomposizione trattata in [3].

Figura 2.1: (a) amplicatore operazionale ideale chiuso in reazione (b) congurazione per il calcolo dei parametri

Figura 2.2: amplicatore operazionale reale chiuso in retroazione

La risposta di un amplicatore operazionale ideale (ovvero con guadagno innito, resistenza di ingresso innita e resistenza di uscita nulla) chiuso in

reazione vale: AL = − Vout Vs = αN βN (2.1) Dove i parametri αN e βN in riferimento alla gura 2.1(b) sono deniti come:

αN =     Ve Vs     Vo=0 (2.2) βN =     Ve Vo     Vs=0 (2.3) e dipendono solo dalle caratteristiche della catena di retroazione. Conside- rando invece un amplicatore reale, come quello in gura 2.2, a causa del guadagno nito ad anello aperto e alla presenza della resistenza di uscita, il guadagno in retroazione subisce un'alterazione che può essere quanticata in termini di errore relativo con la seguente equazione:

εr =     ALreale− AL AL     ≤ 1 |β∗_A|  1 +     γ AL      (2.4) dove i vari parametri che compaiono si calcolano sulla rete scomposta in gura 2.3

Figura 2.3: (a) Rete scomposta (b) congurazione per il calcolo dei parametri

β∗ =     Vr Vo     Vs=0 (2.5) A =     Vout Vp     Vs=0 = AOL Zβ//ZL Zout+ Zβ//ZL (2.6) γ =     Vout Vs     Vp=0 (2.7)

Nell'espressione di A, con Zβ è intesa la resistenza vista dal generatore Vo.

Notare che in caso di amplicatori a mosfet, che intrinsecamente presentano un'alta impedenza d'ingresso, βN ' β∗. Le precedenti relazioni, in particola-

re la (2.4) e la (2.6), possono essere utilizzate in fase di progetto per decidere come dimensionare il guadagno ad anello aperto dell'amplicatore operazio- nale. Il primo step è decidere il guadagno ideale ad anello chiuso, e quindi la topologia ed il dimensionamento della rete di retroazione. Poi bisogna scegliere, in base all'applicazione, il massimo errore tollerabile sulla funzione di trasferimento e dimensionare il guadagno ad anello aperto in modo che l'errore relativo resti sotto la soglia scelta per le peggiori condizioni di carico. L'errore relativo sul guadagno si trasmette direttamente in errore relativo sulla tensione di uscita, motivo per cui se ad esempio necessito di un settling time allo 0,5% rispetto al valore ideale di regime, allora l'errore di guadagno deve essere almeno inferiore allo 0,5%. Come si nota dalla (2.6), il valore del parametro A presente nel calcolo dell'errore, può essere molto più piccolo di AOL se la resistenza di uscita è elevata. Solitamente questo è proprio il

caso di amplicatori operazionali integrati, i quali in genere non utilizzano uno stadio nale a source comune per ridurre la Zout perché limiterebbe la

dinamica della tensione d'uscita.

In amplicatori a singolo stadio, questo problema è particolarmente sen- tito perché il guadagno in continua ad anello aperto è interamente adato all'alta impedenza del nodo di uscita.

Figura 2.4: Circuito equivalente Norton di un amplicatore a singolo stadio ad anello aperto in continua

AOL=     Vo Vd     = GmZout (2.8)

Sostituendo la (2.8) nella (2.6), considerando Zout>> Zβ//ZL si ottiene:

A =     Vout Vp     Vs=0 = GmZout Zβ//ZL Zout+ Zβ//ZL ≈ Gm(Zβ//ZL) (2.9)

e dunque il guadagno A che va ad attenuare l'errore relativo è molto basso rispetto ad AOL. In ambito SC vengono utilizzati condensatori sia nelle

retroazioni che come carico, per cui dal punto di vista del guadagno non caricano il nodo di uscita e permettono di mantenere A molto simile ad AOL anche in amplicatori a singolo stadio, che in genere hanno vantaggi

riguardanti consumo e compatezza.

In amplicatori operazionali a due stadi invece, l'eetto caricante è sor- montabile anche in presenza di carichi resistivi, perché la porzione di guada- gno ad anello aperto adata al primo stadio non è inuenzata dal carico.

Figura 2.5: Circuito equivalente Norton di un amplicatore a due stadi ad anello aperto in continua AOL=     Vo Vd     = Gm1Gm2Zout1Zout2 (2.10)

Dunque A nel caso peggiore di impedenza di carico piccola rispetto a Zout2

vale comunque:

A = Gm1Gm2Zout1ZL (2.11)

che può esser dimensionato per essere un numero sucientemente grande senza richiedere valori eccessivi ai termini che lo compongono.