Rumore termico

Per ADC ad alta risoluzione, il contributo del rumore termico dovuto al cam- pionamento e all'amplicatore operazionale non è trascurabile, anzi spesso è il principale fattore limitante per la risoluzione. Per capire l'impatto del rumore termico, in un modulatore Delta-Sigma switched capacitor, prima di tutto bisogna analizzare il caso di un integratore SC. La trattazione seguen- te, con qualche considerazione aggiuntiva, riassume quella eseguita in [10]. L'integratore considerato è quello di gura 4.14 in cui il la temporizzazione degli switch è la stessa della gura 4.6.

Durante la fase 1 il circuito equivalente per il calcolo del rumore è:

Figura 4.15: Congurazione per il calcolo del rumore nella fase 1

Vn1, Vn3 sono i contributi di rumore termico delle resistenze degli switch

Ron1 e Ron3, che per semplicità vengono considerate uguali.

Svn1(f ) = Svn3(f ) = 4KT Ron (4.21)

La potenza totale di rumore di tensione sulla capacità CS vale:

< VCS,1 > 2₌ Z ∞ 0 8KT Ron     1 1 + 2π2RonCS     2 df = KT CS (4.22) VnA è il rumore termico dell'amplicatore riportato in ingresso che viene

scritto come: SvnA(f ) = 16 3 KT gm1 (1 + θ) (4.23)

in cui gm1 è la transconduttanza della coppia dierenziale d'ingresso e θ è

un fattore aggiuntivo che è stato introdotto per tener conto dell'eccesso di rumore dovuto agli altri transistori oltre a quelli di ingresso. Supponendo che l'amplicatore sia a singolo stadio e abbia una risposta ad anello aperto a polo dominante, allora la risposta nella congurazione corrente β = 1 vale:

Af(f ) = 1 1 + j2πβGBW = 1 1 + j2πkGgm1 CL (4.24) Il GBW, richiamando la trattazione del capitolo 2, è:

GBW = Gm 2πCL

= kGgm1

2πCL (4.25)

La potenza di rumore all'uscita dell'amplicatore allora: < Vno,1>2= Z ∞ 0 SvnA(f )|Af(f )|2df = 4KT kG 3CL (1 + θ) (4.26)

Riassumendo, nella fase 1 sono stati identicati un contributo di rumore sulla capacità CS < VC2S,1 > ed uno in uscita all'amplicatore < Vno,1 >

2_{. Il}

passaggio alla fase 2 modica la topologia del circuito che, per lo studio del rumore, diventa:

Figura 4.16: Topologia per il calcolo del rumore in fase 2

Figura 4.17: Topologia per il calcolo del rumore in fase 2 sostituendo il circuito equivalente dell'amplicatore

Calcolando la tensione di rumore sul condensatore CS in questa fase,

nell'ipotesi che βGmRout>> 1 si trova:

VCS,2 =

Vn2− Vn1− VnA

1 + j2πf τ (4.27)

La costante di tempo τ, supponendo che le resistenze degli switches siano uguali a Ron2 = Ron4 = Ron, è:

τ = 2Ron+ 1/Gm (4.28)

Svolgendo l'integrale per calcolare la potenza totale di rumore su CS, posto

x = 2RonGm, si ottiene: < VCS,2> 2₌ KT CS  x + 4/3(1 + θ) 1 + x  (4.29)

In genere la resistenza degli switches è progettata per essere molto piccola, per cui si può approssimare x ' 0

< VCS,2>

2_' KT

CS

4

3(1 + θ) (4.30) Complessivamente, considerando entrambe le fasi, una schematizzazione equi- valente per il rumore è quella di gura 4.18.

Figura 4.18: Schematizzazione equivalente per il rumore

Il valore dei due generatori di rumore è: < Vn,in >2=< VCS,1 >

2 _{+ < V} CS,2 >

2

< Vn,out >2=< Vno,1>2 (4.31)

Considerando il campionamento del segnale ad una frequenza fS, le varie

densità spettrali di potenza di rumore che contribuiscono a Vn,in e Vn,out

subiscono fold over. Ciascuna di queste, ha una banda in genere molto più ampia rispetto alla frequenza di campionamento perché le costanti di tempo che compaiono nelle equazioni (4.22)(4.27) sono più piccole di TS. Le densità

spettrali dei segnali tempo discreto risultanti dal campionamento possono essere approssimate piatte in frequenza e valgono:

( Svn,in(f ) = <Vn,in>2 fs/2 Svn,out(f ) = <Vn,out>2 fs/2 (4.32) Inseriamo adesso l'integratore all'interno di un modulatore Delta-sigma del secondo ordine. Il generatore di tensione di rumore Vn,out, data la posizione,

viene trattato dal loop di reazione nello stesso modo di un disturbo iniettato dal secondo integratore e quindi viene ltrato con una NTF di ordine che lo rende trascurabile nel calcolo del rumore complessivo. Il contributo principale di rumore, riportato in ingresso al modulatore, è dovuto dunque al generatore Vn,in. Il rapporto segnale rumore può esser calcolato in maniera equivalente

in ingresso o in uscita dal modulatore dato che la STF vale 1. La potenza di rumore σ2

T, della sorgente Vn,in, che eettivamente nisce nella banda BW ,

stabilita dal ltraggio passa basso nale, è: σ_T2 = KT C  1 + 4 3(1 + θ)  BW f s/2 = KT C  1 + 4 3(1 + θ)  1 OSR (4.33)

ψ = 1 + 4

3(1 + θ) (4.34)

Il rapporto segnale rumore per un ingresso sinusoidale di ampiezza picco picco full scale, tenendo conto sia del rumore termico che di quello di quantizzazione vale: SN R = Pu σ2 Q+ σT2 = 1 π4 15OSR5 + KT CS ψ OSR 8 V2 ref (4.35) La trattazione appena eettuata vale per un integratore single ended, ma può essere trasportata facilmente anche al caso fully dierential aggiungendo un fattore 2 davanti a tutta l'espressione del rumore termico perché, nell'imple- mentazione FD, è necessario utilizzare il doppio di switches. Utilizzando la stessa alimentazione, nel caso fully dierential il SNR sale di 3dB nonostante l'aumento di rumore perché il segnale, avendo il doppio della dinamica, gua- dagna 6dB in potenza. Se gli integratori di un ADC Delta-Sigma utilizzano capacità dell'ordine del pF, il contributo del rumore termico è trascurabile no a circa 14 bit. Per risoluzioni maggiori entrambi i termini σ2

Qe σT2 posso-

no essere signicativi. Analizziamo singolarmente i due contributi per capire in che modo agire su ognuno e trovare un buon bilanciamento tra i due.

Il rumore di quantizzazione benecia particolarmente di un aumento di OSR, come già visto, supponendo che sia il solo rumore presente, la risolu- zione guadagna 2.5 bits ogni raddoppio e quindi questo rumore è abbattibile con poco sforzo. Il rumore termico può essere ridotto lavorando di nuovo sull'OSR o in alternativa sulla dimensione delle capacità. La tensione Vref

di solito non è una variabile di progetto, ma è ssata dalla tecnologia o dal- l'applicazione. Stavolta l'impatto dell'OSR è ridotto, serve quadruplicare la frequenza di sampling per guadagnare un bit di risoluzione. Analogamente, a parità di frequenza di campionamento, è necessario quadruplicare il valo- re della capacità per guadagnare un bit. Che venga adottata una o l'altra soluzione, il costo in potenza per modicare adeguadamente il GBW, in con- seguenza alla scelta, è comunque un fattore quattro. Aumentare il valore delle capacità viene pagato anche in area del chip mentre aumentare troppo il fattore di oversampling può rendere dicoltosa la progettazione degli am- plicatori (ad esempio è più complesso garantire un ampio margine di fase) e può introdurre problematiche legate all'alta frequenza.

Volendo arrivare ad una risoluzione di N bit, in fase di progetto è ragio- nevole dimensionare l'OSR in modo che sia almeno sucientemente grande da rendere trascurabile il rumore di quantizzazione. A parità di potenza di rumore totale e di OSR infatti, se il rumore di quantizzazione è trascurabile, posso permettermi di utilizzare capacità più piccole.

Figura 4.19: Budget di rumore consigliato in [6]

4.3 Regole per la progettazione del primo inte-