Eetto del transitorio non esaurito

La tensione d'uscita del primo integratore ha a disposizione metà del periodo di campionamento per assestarsi. Come visto nei capitoli 2 e 3, il valore di regime, entro una certa banda di tolleranza, viene raggiunto con una velocità dipendente dal prodotto guadagno banda e dallo slew rate. In un modulato- re Delta-Sigma, l'ampiezza del gradino in ingresso al primo integratore, da considerare per il transitorio, è data dalla dierenza fra il segnale d'ingresso al modulatore e quello di feedback del comparatore. Il caso peggiore, ovvero il transitorio più lungo possibile, si ha quando il segnale in ingresso è vicino ad uno dei due rail di alimentazione e il comparatore produce in uscita il rail opposto. La questione fondamentale, per ottenere delle regole sul dimensio- namento dell'amplicatore, è capire quanto sia l'errore relativo tollerabile, nel worst case, sulla tensione d'uscita del primo integratore, in funzione della risoluzione del convertitore. Medeiro e Vazquez in [6] propongono di rias- sumere l'eetto di tale errore nel guadagno dell'integratore. La trattazione che eseguono è molto complicata, ma porta a risultati coerenti con il modello del settling time proposto nel capitolo 2 se si trascurano, come in quest'ul- timo, le capacità di carico e d'ingresso dell'amplicatore. L'approssimazione non risulta particolarmente pesante perché nell'architettura di Wooley che impiega integratori ritardati, nella fase di amplicazione φ2 i due stadi sono

scollegati e ciascuno vede, in riferimento alla gura 4.6, solo la serie della CS

e della CF. Per completezza, nella fase φ1 la CS si carica con costante di

tempo Ron−switchCS che è piccola se gli interruttori sono ben dimensionanti.

La tensione di uscita V0

out invece evolve con costante di tempo τ

0 ₌ CL

Gm; in

genere è minore di quella che regola la fase 2. La CL del primo stadio è

rappresentata dalla CS del secondo e può essere più piccola perché non deve

essere ottimizzata rispetto al rumore KT/C. Da qui in avanti ci focalizzeremo solamente sullo studio della fase 2.

Figura 4.6: Integratore ritardato

te esaurito ha un andamento, rispetto al segnale d'ingresso, simile a quel- lo in gura 4.7. In particolare è importante notare che per ingressi mi- nori, in modulo, del range di linearità d'ingresso VDmax dell'amplicatore,

gni è minore del guadagno ideale gi = CS/CF, ma resta indipendente da

Vi. Per |Vi| > VDmax invece, gni sperimenta una dipendenza dall'ingresso e

notoriamente un fenomeno del genere provoca distorsioni in uscita.

Figura 4.7: Guadagno comprendente errore di settling

Una volta conosciuta la forma del guadagno, Vazquez propone di ap- prossimarla con uno sviluppo in serie troncato al termine di quinto grado, scegliendo il polinomio che minimizzi l'errore quadratico medio. Nell'articolo [5] è stato dimostrato che per un modulatore Delta-Sigma, in cui il guadagno del primo integratore è una funzione polinomiale del tipo:

gni(Vi) = gi j

X

αjVij−1 (4.11)

il modulo della j-esima armonica Aj all'uscita del modulatore, considerando

in ingresso una sinusoide di ampiezza A, è:

Aj = αjAj/(2j − 1) (4.12)

Per cui, interpolando la curva del guadagno non ideale ed utilizzando la (4.12) si possono calcolare le distorsioni. L'approccio seguito da Medeiro e Vazquez porta a dei risultati che sono dicili da utilizzare in fase progettuale, ma comunque ore una procedura numerica per stimare le distorsioni. Nel lavoro di tesi l'idea seguita è stata quella di scrivere l'errore sul guadagno rielaborando le equazioni del capitolo 2, giungendo ad una forma più intuitiva e di aiuto nella fase progettuale.

Il guadagno non ideale può essere espresso in questa forma:

in cui εR è l'errore relativo sulla tensione di uscita. Per ricavare εR, è suf-

ciente invertire la (2.48) per un transitorio interamente in regime lineare e la (2.40) per un transitorio che comprende lo slew rate. Volendo essere veramente precisi, nel calcolo di gni andrebbe contato anche l'errore dovu-

to al guadagno nito usando la (2.4). Per semplicità di trattazione questo contributo viene trascurato supponendo un guadagno ad anello aperto AOL

sucientemente grande da poter non considerare tale errore, che comunque risulterebbe di tipo lineare e quindi non avrebbe impatto sulla distorsione. Il tempo totale per andare a regime è stato ssato pari alla metà del periodo TS. Dopo alcuni passaggi algebrici:

gni= ( gi(1 − exp(−2πβGBWT₂s)) se |V s| < |VDmax| gi(1 −_(1−β)k1 _vexp  −2πβGBW [TS 2 − ∆VS βαtotsR(1 − 1 kv)]  se |VS| > |VDmax| (4.14) dove gi = CS/CF, β = _CSC_+CF _F e αtot è il parametro denito in sezione 2.5.3 (se

non c'è il circuito di SRE enhancement αtot = α). Per un'architettura singolo

stadio, GBW e slew rate non sono due caratteristiche indipendenti perché entrambe sono funzioni della corrente consumata e del carico. Il rapporto può essere espresso utilizzando i parametri del capitolo 2.

GBW SR

= kG

rαtot2πVT E (4.15)

Sfruttando le relazioni sopra si ottiene: εR= 1 (1 − β)kv exp  −2πβGBWTs 2 + γkG(kv− 1) αtotr  (4.16) Quest'ultima formulazione dell'errore relativo è particolarmente comoda per- ché lo esprime in funzione del GBW, che è un po' il parametro principe di un'amplicatore operazionale, e del parametro kv, che quantica l'ampiez-

za del gradino in ingresso rispetto al range di linearità. Qualitativamen- te dalla (4.16) al crescere del termine GBWTs

2, l'errore relativo diminuisce

ed il guadagno della gura 4.7 tende ad appiattirsi e a provocare minore distorsione.

Figura 4.8: Errore relativo in funzione di GBW TS/2 e kv

A questa fase teorica sono seguite delle simulazioni Matlab, a livello siste- ma del modulatore, con un Toolbox sviluppato dall'università di Pavia dal gruppo del professor Maloberti [13], per cercare di estrarre alcune regole sul dimensionamento degli amplicatori.

Figura 4.10: Blocco integratore reale

Il toolbox, in gura 4.9, implementa un modulatore di Wooley single ended di ordine due alimentato [+Vref, −Vref]. A livello di rapporto segna-

le rumore di quantizzazione è equivalente allo stesso modulatore realizzato fully-dierential e alimentato [0, Vref]. Nel toolbox sono incluse varie non

idealità di un modulatore reale fra cui il jitter nel campionamento del segna- le d'ingresso, il rumore termico dell'amplicatore e il rumore termico degli switches. Scendendo nel dettaglio del primo integratore, gura 4.10, si nota che sono inclusi gli eetti di: saturazione, guadagno nito (con il parame- tro alfa) e del transitorio della tensione di uscita tramite lo script Matlab slewRate. Per le simulazioni di questa sezione sono state disattivate tutte le fonti di non idealità ad esclusione del transitorio non esaurito al ne di isolare questo fenomeno ed evitare di confonderne l'eetto con quello di altri. Lo script slewRate tratta il transitorio considerando sia la parte non lineare (se presente) che quella esponenziale. Come parametri di input acquisisce il GBW, lo slew rate, la tensione d'ingresso all'integratore, il periodo di cam- pionamento TS e in base a questi calcola il valore della tensione di uscita al

termine di TS/2. Sono state apportate alcune modiche al codice per aggiun-

gere l'eetto inerziale del percorso di soli condensatori fra ingresso e uscita che, nell'istante di inizio del transitorio come analizzato nel capitolo 3, causa un gradino in direzione opposta a quella di assestamento. Inoltre, è stato aggiunto il parametro αtot per modellare la possibile presenza di un circui-

to si slew rate enhancement ed è stato corretto il calcolo della costante di tempo dell'esponenziale che non teneva conto del fattore β. I vari parametri che il toolbox permette di impostare sono: ampiezza e frequenza del segnale di ingresso, fattore di oversampling, coecienti del modulatore, banda del ltro con il quale sarà poi ltrata la bitstream, caratteristiche del primo in- tegratore, capacità per il calcolo del rumore termico e varianza del jitter. I coecienti del modulatore coincidono con il guadagno degli integratori e

quindi stabiliscono anche il β. Al termine della simulazione viene realizzato lo spettro della bitstream e calcolata, in base al rapporto segnale rumore,la risoluzione in bit. In più, viene prodotto un istogramma dell'uscita di cia- scun integratore, utile per vericare se ci sono problemi di saturazione. Per le prove seguenti, l'ampiezza A, del segnale d'ingresso Vin, è stata posta a metà

dell'alimentazione Vref=1 per evitare problemi di stabilità. Il SQNR nel caso

teorico era stato calcolato riferendosi ad una sinusoide ampia Vref, con l'am-

piezza dimezzata vengono persi 6dB di potenza di segnale e la risoluzione cala di un bit a parità di tutto il resto. La frequenza del segnale d'ingresso fin è stata ssata ad un sesto della banda del ltro per evitare di tagliare

la terza e la quinta armonica che compaiono in caso di distorsione. Il valore della banda del ltro BW è stato fatto variare in maniera inversamente pro- porzionale al fattore di oversampling così da mantenere costante la frequenza di campionamento fS = 2OSRBW per i tre valori di OSR esaminati (512,

256 e 128). Per ciascun OSR è stato indagato l'eetto del prodotto GBWTs

2

sulla risoluzione ed è stato messo in relazione con εR stimato con l'equazio-

ne (4.16). Nella (4.16), il parametro kv dipende dalla tensione in ingresso

all'integratore Vi che a sua volta non è costante, ma vale, dalla gura 4.6:

Vi = Vin+ Vcomp (4.17)

Sicuramente il modulo della Vi è compreso in questa fascia:

|Vcomp| − |Vin−max| ≤ |Vi| ≤ |Vcomp| + |Vin−max| (4.18)

Volendo stimare il kv nel worst case:

kv−max= ∆Vin−max VDmax = |Vcomp| + |Vin−max| VDmax (4.19) Per il valore di ampiezza impostato, se il comparatore produce [+Vref;-Vref]

Figura 4.11: Andamento temporale della Vi

La gura 4.11, estratta dal Maloberti toolbox con una sonda per il segnale, mostra l'andamento di Vi nel tempo per un ingresso sinusoidale con ampiezza

metà dell'alimentazione. Considerando che il graco è già scalato del gua- dagno 0.5 del primo integratore, la Vi è compresa esattamente fra i bound

stabiliti di sopra. Riassumendo, le impostazioni per la prova OSR=256 so- no: Vref = 1, fin = 2.026KHz, ampiezza del tono in ingresso A = 0.5,

BW = 12.156KHz, β= CF

CS+CF = 2/3, Ts = 2BW OSR e αtot = 1. Per quel-

la OSR=512 cambiano solamente fin = 1.013KHz e BW = 6.078KHz. Il

parametro C delle tabelle seguenti indica l'argomento dell'esponenziale della (4.16).

C = −2πGBW βTS 2 +

γkG(kv− 1)

αtotr (4.20)

GBW TS/2 R per OSR=512 R per OSR=256 C εR

∞ 18.82 16.01 / / 10 18.86 15.98 -21.67 3.88 × 10−11 7 18.7 16.14 -9.19 1.02 × 10−5 6 18.5 16.2 -5.05 6.4 × 10−4 5 14.51 14.39 -0.91 0.04 4 8.49 8.49 3.23 2.5 3 1.81 1.81 7.37 /

Tabella 4.1: Risoluzione R,in bits, per le prove con OSR=512 e OSR=256, entrambe con αtot = 1

Le caselle barrate indicano che il valore da inserire sarebbe stato talmente grande o talmente piccolo da essere privo di signicato pratico. Gli stessi test sono stati ripetuti per αtot = 4.

GBW Ts/2 R per OSR=512 R per OSR=256 C εR

∞ 18.88 16.01 / / 6 18.9 16.03 -19.93 2.21 × 10−11 5 18.78 16.28 -15.78 1.402 × 10−8 4 18.7 16.11 -11.63 8.89 × 10−7 3 18.58 16.2 -7.49 5.58 × 10−5 2 13.69 13.64 -3.3 3.68 × 10−3 1 8.59 8.59 0.81 0.225

Tabella 4.2: Risoluzione R, in bits, per le prove con OSR=512 e OSR=256, entrambe con αtot = 4

Per il caso OSR=128, le due simulazioni eettuate hanno entrambe αtot=1,

fin = 4.052KHz, BW = 24.31KHz ma una utilizza A = 0.5 e l'altra A =

0.25. GBW Ts/2 R per A=0.5 C εR ∞ 14.01 / / 10 13.96 -21.67 3.88 × 10−11 7 13.94 -9.19 1.02 × 10−5 6 13.87 -5.05 6.4 × 10−4 5 13.62 -0.91 0.04 4 8.49 3.23 2.5 3 1.81 7.37 /

Tabella 4.3: Risoluzione R, in bits, per la prova con OSR=128, A=0.5 e αtot = 1

GBW Ts/2 R per A=0.25 C εR ∞ 13.1 / / 10 13.18 -25.14 1.46 × 10−12 7 12.98 -12.72 3.625 × 10−7 6 13.1 -8.58 2.276 × 10−5 5 13.13 -4.44 1.429 × 10−3 4 11.46 -0.3 0.089 3 5.20 3.84 /

Innanzitutto, dai risultati delle tabelle, la risoluzione per GBW innito è molto vicina a quella prevista dalla teoria. É molto interessante notare che la risoluzione ha un andamento a ginocchio rispetto al prodotto GBWTS

2 in

conseguenza, probabilmente, alla dipendenza esponenziale dell'errore relati- vo dallo stesso termine, gura 4.8. Il valore di frontiera, oltre il quale la risoluzione non è più limitata dal prodotto guadagno banda nito dell'am- plicatore, per le prove con αtot = 1 è circa GBWT₂S = 6 e cambia di poche

unità al variare di OSR. In fase di progetto dell'amplicatore è conveniente posizionarsi poco oltre lo scalino per evitare di sovradimensionare il prodot- to guadagno banda sprecando corrente di alimentazione. Ad esempio, per OSR=512 è suciente GBW = 8 2

TS, per OSR=128 basta GBW = 6

2 TS.

Con αtot=4, cioè inserendo il circuito di slew rate enhancement, la soglia

all'incirca si dimezza permettendo di ridurre i consumi. Tornando nel caso αtot = 1, mettendosi nella condizione GBW TS/2 = 4, per tutti e tre i valori

di OSR la risoluzione è ssata a 8.49 bit e quindi il fattore limitante in questa condizione è proprio il valore di regime poco accurato. In gura 4.12, nella densità spettrale di potenza (PSD) della tensione d'uscita del modulatore per GBW TS/2 = 4 e OSR=256, si distinguono chiaramente i picchi della terza

e della quinta armonica responsabili della distorsione e del conseguente calo di risoluzione. Nel corso dei test è stata anche arretrata la frequenza del se- gnale, ad un decimo della banda del ltro, per vedere se includendo anche le armoniche superiori i risultati sarebbero cambiati, ma non sono state notate dierenze degne di nota e si può dire che l'approssimazione di Medeiro, di troncare lo sviluppo in serie del guadagno al quinto ordine, non è pesante. Nella gura 4.13 invece, rispetto al caso in 4.12, il termine GBW TS/2è stato

Figura 4.12: Densità spettrale di potenza dell'uscita del modulatore per GBW TS/2 = 8 e OSR=256

Figura 4.13: Densità spettrale di potenza dell'uscita del modulatore per GBW Ts/2 = 4 e OSR=256

segnale d'ingresso, una volta considerato il calo di 6dB nella potenza del se- gnale, la risoluzione della conversione risente meno di GBW Ts/2. Ad esempio

per GBW Ts/2 = 4 con ampiezza A=0.5 si ottengono 8.49 bit, con A=0.25

11.46. Questo accade perché, diminuendo l'ampiezza in ingresso, kv−max di-

minuisce e l'errore relativo lo segue. Per essere più precisi, oltre al kv−max,

cala anche il valore medio del valore assoluto di kv e la risoluzione ne giova.

Per ottenere un sistema robusto comunque, una volta stabilita la massima ampiezza consentita in ingresso, bisogna dimensionare il kv−max su quella.

L'ampiezza del gradino in ingresso all'integratore può variare in base anche alla tensione Vref usata perché questa controlla il valore dei livelli del com-

paratore. A ben vedere, per trovare una regola generale di progettazione, è meglio spostare le considerazioni sul fattore C, che include il kv−max al

suo interno, o direttamente sull'errore relativo. In particolare, la massima risoluzione si raggiunge circa con:

• εR<1 × 10−5 e quindi C ≤ −10 per OSR=512

• εR<2 × 10−4 e quindi C ≤ −6 per OSR=256

• εR<1 × 10−3 e quindi C ≤ −4 per OSR=128