Modello per il settling time

Il circuito preso in riferimento per il calcolo del settling time, gura 2.12, è adatto per descrivere il transitorio del trasferimento di carica da CS a CF

sia che il terminale di ingresso VS sia commutato fra due tensioni, sia che

la capacità CS sia precaricata ad un certo valore di tensione. Lo studio

è stato eettuato su questa topologia perché può schematizzare, oltre che al transitorio di un amplicatore SC, anche quello di un integratore SC. In più, per le versioni fully-dierential, si può utilizzare comunque questo circuito single-ended per studiare il comportamento a modo dierenziale. L'amplicatore viene considerato per questa trattazione privo di errore di guadagno e con un'impedenza di ingresso innita. All'istante t = 0 viene supposto l'arrivo di un gradino di tensione di ampiezza ∆VS.

Figura 2.12: Circuito di riferimento per il modello del settling time

Per t < 0 la situazione, senza perdere generalità, può essere supposta:    VS = 0 Vin = 0 Vo= VoQ (2.28) Per t = 0+ _{si ha:}    VS ≡ VS(0) = ∆VS Vin≡ Vin(0) = ∆VS Vo ≡ Vo(0) = VoQ+ ∆VS (2.29) Per la conservazione della carica è possibile scrivere:

Utilizzando la (2.29) e supponendo che il segnale in ingresso resti costante dopo lo scalino, si può giungere a:

Vo− V0Q = −∆VS CS CF + Vin CS+ CF CF (2.31) dalla quale si può ricavare che l'incremento di tensione a regime, rispetto a V0Q, dovuto al gradino d'ingresso vale:

∆Vo(∞) = −∆VS

CS

CF

(2.32) Dunque, l'errore residuo sulla tensione di uscita, in un qualsiasi istante del transitorio può essere legato al valore residuo della tensione Vin in ingresso

all'amplicatore:

Vεo= Vo− V0Q− ∆Vo(∞) = Vin

CS+ CF

CF

(2.33) e visto che, come detto, la tensione di ingresso a regime tende a zero, la Vin

coincide anche con l'errore residuo sulla Vin stessa, quindi si può scrivere:

Vεin = Vεo

CF

CS+ CF

(2.34)

Riferendosi alla gura 2.13 nell'intervallo di tempo [0,tSR] l'amplicatore

è in slew rate. Chiamata Iomax la massima corrente erogabile in uscita allora:

dVo

dt = Iomax

CS+ CF

CSCF

(2.35) La (2.35)può essere riportata in termini di tensione d'ingresso all'amplica- tore tramite la (2.34) dVin dt = Iomax CS (2.36) Supponendo che dopo l'istante tSR, in cui l'ingresso raggiunge la tensione di

saturazione della coppia dierenziale VDmax, l'amplicatore rientri immedia-

tamente nella zona lineare, si può trovare un'espressione approssimata per tSR.

tSR = (∆VS− VDmax)

CS

Iomax

(2.37) Da qua in poi il transitorio evolve esponenzialmente secondo la costante di tempo stabilita dalla banda dell'amplicatore. Ipotizzando che l'amplica- tore operazionale sia a singolo stadio (l'analisi poi potrà essere trasportata su amplicatori a due stadi con poco sforzo), allora la costante di tempo ricordando i risultati della sezione 2.2 vale:

τ = 1

2πβGBW = CLeq

βGm

(2.38) Per questa congurazione di amplicatore il carico equivalente è la serie delle due capacità di retroazione e β=CF/(CF + CS), dunque:

τ = Cs Gm

(2.39) Il tempo di evoluzione lineare tlinnecessario per arrivare ad avere una tensione

residua in ingresso Vεin è dato da:

tlin = τ ln

 V_Dmax Vεin



(2.40) Questa espressione può essere riscritta in termini di errore relativo sulla variazione della tensione d'uscita a regime usando la (2.34) e la (2.32)

tlin = CS Gm ln VDmax Vεo CF + CS CF  = CS Gm ln VDmax ∆VS CF + CS CF 1 εR  (2.41)

La transconduttanza Gm dell'amplicatore può essere espressa in funzione

della transconduttanza della coppia di mosfet d'ingresso gm1 introducendo

il parametro kG.

Gm = kGgm1 = kG

ID1

VT E1 (2.42)

VT E è una tensione, denita in [2], chiamata tensione termica ecace. Tal-

volta, in articoli scientici, un fattore che compare nel valutare l'ecienza di un circuito è Gm/ID = 1/VT E perché quantica la capacità, a parità di

corrente, di ottenere una transconduttanza elevata, spesso necessaria per ri- chieste sulla banda o sul rumore. In riferimento al singolo transistore VT E è

denita:

 



(VGS− Vt)/2 M OSF ET in f orte inversione

mVT M OSF ET in debole inversione

VT BJ T

(2.43)

Figura 2.14: Andamento della VT E in base alla polarizzazione

Dalla gura 2.14, la VT E di un transistore BJT è sempre più piccola di

quella di un MOSFET (il parametro m è maggiore di 1), per cui, da questo punto di vista, i transistori bipolari sono più ecienti.

Tornando alla trattazione del settling time, a questo punto vengono de- niti i seguenti parametri adimensionali:

α = Iomax Isupply (2.44) r = Isupply ID1 (2.45) γ = VDmax VT E1 (2.46)

kv =

∆VS

VDmax

(2.47) Supponendo che il gradino in ingresso sia abbastanza ampio da mandare l'amplicatore in slew rate, ttot è tSR e tlin. Sostituendo nelle espressioni

ricavate i parametri appena introdotti si giunge a: ttot = ∆VSCS Isupply  r γkvkG ln  1 kvεR CF + CS CS  + 1 α  1 − 1 kv  (2.48) Il signicato dei vari parametri deniti è il seguente:

α: modella l'ecienza di slew rate dell'amplicatore, più è grande α più è grande la massima corrente in uscita a parità di corrente consumata a riposo. kv: confronta l'ampiezza del gradino in ingresso ∆VS con il range di linearità

dell'amplicatore VDmax. Per fare una stima del settling time conviene rife-

rirsi al worst case e considerare l'ampiezza massima per il gradino d'ingresso. Notare che questo parametro dipende dal dimensionamento della coppia dif- ferenziale in ingresso attraverso il range di linearità.

kG: misura la capacità della topologia dell'amplicatore nell'ottenere un alto

Gm complessivo a parità di transconduttanza dei dispositivi d'ingresso.

r: quantica la corrente di alimentazione richiesta dalla topologia a pari- tà di corrente nei dispositivi d'ingresso.

γ: mette in relazione il range di linearità in ingresso con la tensione ter- mica ecace VT E = ID/gm dei transistori d'ingresso. In forte inversione

possiamo considerare VDmax =

√

2(VGS− Vt)e VT E = (VGS− Vt)/2 e dunque

γ ≈ 2.8. In debole inversione invece VT E = mkBT /q, VDmax = 4VT E e quindi

stavolta γ = 4. La variabilità di questo parametro è molto limitata.

Il termine (CS + CF)/CS = 1 + A−1, in cui A = CS/CF è il guadagno

dell'amplicatore, può essere prossimo ad uno negli impieghi classici in cui il circuito deve amplicare. In un convertitore analogico digitale delta-sigma invece, gli integratori presenti nell'anello in genere attenuano il segnale, per cui questo fattore tende ad aumentare il settling time.

l'espressione del tempo lineare può essere riscritta come: tlin = τ ln  VDmax Vεin  = GM 1 Cc ln VDmax Vεin  (2.49) Denendo λ = CC/CL ed utilizzando gli stessi parametri deniti in prece-

denza, con la sola dierenza che nel kG con Gm complessivo si intende il Gm

complessivo del primo stadio, si giunge ad un'equazione molto simile a quella per amplicatori operazionali ad unico stadio.

ttot−2stadi = ∆VSCS Isupply  rλ γkvkG ln  1 kvεR CF + CS CS  + 1 α  1 − 1 kv