cubetto: non è chiaro a quel punto se esse rappresentano un’unica traiettoria o meno. Tuttavia la presenza di due correnti nello stesso cubetto è un evento molto raro e di rilevanza statistica trascurabile [12].
Un programma è dedicato a trovare i monopoli termici seguendo il processo esposto. Una volta che esso ha svolto il suo compito un terzo programma si occupa di conteggiare i monopoli di una data specie che compaiono in ciascuna configurazione, trovando così la loro distribuzione in k, il numero di avvolgimento. Nel conteggio sono inclusi sia monopoli che antimonopoli, abbiamo cioè considerato il valore assoluto |k|. A questo punto siamo in grado di effettuare il fit per trovare un valore di ˆµ per ogni temperatura.
6.2
Analisi dei Dati
Quanto esposto nel paragrafo 5.5 è la base della nostra analisi dei dati raccolti nelle simulazioni. Per ogni configurazione analizzata, corrispondente a una temperatura fissata, abbiamo conteggiato il numero di monopoli appar- tenenti a una delle due specie presenti per SU (3) (vedi §5.2 e §5.3) per ogni numero di avvolgimento k.
Figura 6.1: Densità relative ρk/ρ1 per le temperature analizzate sui reticoli
All’abbassarsi della temperatura, avvicinandosi alla temperatura di tran- sizione Tc attesa, la densità relativa ρk/ρ1 di monopoli con k avvolgimenti
cresce per ogni valore di k > 1, come si vede in figura 6.1. Ciò è in linea con quanto osservato per SU (3) (figura 5.3).
Per ricavare il valore di ˆµ abbiamo successivamente eseguito un fit con una funzione del tipo (5.105):
ρk = e−ˆµkf (k).
Abbiamo utilizzato f = C/kα con due diversi valori di α per tutte le tem-
perature: α = 0 (f costante), che corrisponde a fittare con un’esponenziale
semplice, e una α = 5/2 corrispondente al caso libero, f = C/k5/2 (non
includere la costante λ−1/3 della (5.102) non ha effetto sul valore di ˆµ trovato). Questo metodo è già stato utilizzato per i casi di SU (2) e di SU (3) in pura gauge in [21] e [12]. Come vedremo il valore dell’esponente α non ha effetti rilevabili sulla temperatura di condensazione TBEC trovata, come era stato
già osservato per il caso di pura gauge SU (2) in [21].
Figura 6.2: Fit per α = 0 eseguito sulla distribuzione in k del numero Nk di
cicli con k avvolgimenti, per una configurazione con T = 285 MeV e reticolo 323× 8. Sono esclusi i dati con k ≤ 3.
Procediamo ora all’analisi di una configurazione corrispondente alla tem- peratura T = 285 MeV ≈ 1,84 Tc e dimensione del reticolo 323 × 8, presa
6.2. ANALISI DEI DATI 97 come caso rappresentativo. A questo punto eseguiamo il fit con la funzione:
ρk = C
e−ˆµk
kα (6.3)
dove C è una costante, scegliendo inizialmente α = 0. Per ottenere valori accettabili del chi quadro ridotto, χ2/g.d.l., abbiamo dovuto includere nei fit solo i dati con k > 2 ÷ 3 per le temperature T ≤ 2,05 Tc e quelli con k > 1
per le temperature superiori. Abbiamo provato a escludere anche un numero superiore di punti, verificando che il risultato per ˆµ fosse stabile, mantenendosi entro gli errori, per esclusione dei k più bassi. Quando abbiamo osservato un’oscillazione di ˆµ nell’intervallo considerato abbiamo optato per il suo valore medio tra il massimo e il minimo misurati, prendendo la semidifferenza come errore, se superiore all’errore restituito su ˆµ come parametro di fit.
In figura 6.2 mostriamo il numero dei cicli k di monopoli termici trovati in funzione di k, con il fit per α = 0. Dal fit otteniamo il valore ˆµ = 0,62(4), con un chi quadro ridotto pari a χ2/g.d.l. = 2, 23. Escludendo un altro punto
il risultato per ˆµ non cambia considerevolmente (resta entro l’errore) ma il chi quadro ridotto si abbassa a 1,36.
Figura 6.3: Fit per α = 5/2 eseguito sulla distribuzione in k del numero Nkdi
cicli con k avvolgimenti, per una configurazione con T = 285 MeV e reticolo 323× 8. Sono esclusi i dati con k ≤ 1.
Ripetiamo lo stesso procedimento scegliendo ora α = 5/2 (figura 6.3). In generale con questa nuova scelta di α è necessario escludere un numero maggiore di punti aventi valori bassi di k per avere un buon chi quadro ridotto ed osservare congiuntamente una stabilizzazione del valore che viene ricavato per ˆµ tramite il fit. In linea generale è stato necessario escludere da un minimo di 1 a un massimo di 8 punti.
Nonostante la diversa scelta per la funzione f (k), l’andamento ricavato per il potenziale chimico ˆµ nei due casi α = 0 e α = 5/2 differisce di poco, e anzi un semplice calcolo mostra che le due serie di valori hanno un’alta correlazione lineare pari a 0,992. Riportiamo in figura l’andamento trovato per ˆµ tramite fit con esponenziali semplici. Il grafico ricavato tramite il fit con α = 5/2 è pressocché identico.
Figura 6.4: Andamento del potenziale chimico effettivo ˆµ ricavato dai dati fittando un’esponenziale semplice (α = 0).
Dal grafico possiamo apprezzare già come ˆµ sembri andare ad annullarsi nella regione in cui ci aspettiamo di vedere la condensazione, intorno a Tc= 155(9) MeV. Vediamo però che per temperature più elevate l’andamento
non segue più quello atteso, che è della forma [12]: ˆ
µ = A(T − TBEC)ν. (6.4)
Eseguiamo ora un fit con questa funzione sui dati, considerando solo i valori di ˆµ corrispondenti a T < 1,4 Tc. Il fit è mostrato in figura 6.5. Otteniamo
6.2. ANALISI DEI DATI 99
TBEC = 167(2) MeV. Tuttavia dobbiamo specificare che la temperatura
TBEC trovata varia considerevolmente a seconda dei valori iniziali assegnati ai
parametri del fit e del numero di punti iniziali inclusi, per questo l’incertezza è sottostimata. In generale l’intervallo di temperature in cui osserviamo la fluttuazione di TBEC ripetendo il fit è quello compreso tra 120 MeV e 170 MeV,
circa, con un valore intermedio di 145(25) MeV. I motivi di questa instabilità possono essere molteplici. In primo luogo potrebbe esserci la necessità di più dati da analizzare nella zona di temperature prossime a Tc. In secondo luogo
ricordiamo che il modello a cui ci stiamo riferendo non descrive esattamente il nostro sistema. La TBEC che ricaviamo quindi potrà essere solo indicativa
della regione in cui ci aspettiamo la condensazione. In ogni caso la TBEC
trovata è nella regione in cui ci si aspetta che avvenga il cross-over tra la fase confinata e quella deconfinata della QCD [14].
Figura 6.5: Fit della funzione ˆµ = A(T − TBEC)ν sul potenziale chimico ˆµ.
Prima di concludere il paragrafo mostriamo la stabilità dei rapporti ρk/ρ1
al variare della spaziatura del reticolo. Le densità di monopoli con alti numeri di avvolgimento sono anche quelle più affette da possibili errori dovuti alle dimensioni finite della simulazione [21]. L’effetto dovrebbe essere più rilevante in prossimità della temperatura di transizione, perché l’estensione spaziale di un ciclo può essere messa in relazione alla lunghezza di correlazione del sistema. Abbiamo così confrontato i risultati ottenuti per i due reticoli 243× 6
e 323× 8. Mostriamo nelle figure 6.6 e 6.7 i dati per due temperature, dove possiamo vedere un buon accordo tra le densità misurate sui due reticoli.
Figura 6.6: Rapporto ρk/ρ1 per T = 184 MeV per i due reticoli usati.
6.2. ANALISI DEI DATI 101 Abbiamo anche calcolato la densità totale dei monopoli di prima specie, definita come [18]: ρ = h P kk|nk|i Vs , (6.5)
dove Vs è il volume spaziale. In particolate abbiamo calcolato il rapporto
adimensionale: ρ T3 = hN3 t P kk|nk|i N3 s . (6.6)
Per un gas di particelle e antiparticelle libere quantistiche di massa m esso dovrebbe tendere [12] a una costante per T m, mentre nel caso dei monopoli termici in pura gauge SU (3) questo rapporto decresce con la temperatura seguendo un andamento del tipo [12][18]:
ρ T3 =
A ln(T /Λeff)
3, (6.7)
in cui Λeff è una scala efficace. Quanto osserviamo nei dati però indica un
comportamento differente, come si può vedere dalla figura, in cui appare evidente come la curva abbia una prima fase di discesa, per poi risalire a partire da circa 1,3 Tc.
Figura 6.8: Rapporto ρ/T3 per i monopoli di prima specie, per le due
L’andamento (6.7) si può ricavare [18] da considerazioni teoriche che indicano una proporzionalità a g6, dove g(T ) è la costante di accoppiamento
rinormalizzata, da cui la (6.7). Nel nostro caso però la presenza dei fermioni potrebbe essere la responsabile del diverso comportamento osservato. Capire l’origine precisa della curva in figura 6.8 è un altro punto su cui sarebbe interessante condurre future ricerche.