Le correnti di monopolo formano percorsi chiusi, poiché ˆ∂µjmµ = 0 come
è evidente dalla (5.79). Questi percorsi possono avere topologia banale, o avvolgersi attorno al reticolo. Nella formulazione euclidea la temperatura finita T si impone al sistema compattificando la direzione temporale x4 in una
circonferenza di lunghezza 1/T , così i punti della traiettoria di una particella x = (~x, x4+ s/T ), s ∈ Z vengono identificati. Il numero s si chiama numero
di avvolgimento della traiettoria [18]. Le proprietà delle particelle termiche sono contenute nelle traiettorie avvolte in direzione temporale con s 6= 0. Le particelle virtuali non si avvolgono, s = 0. Mentre nella fase confinata le traiettorie si avvolgono sia in direzione temporale che spaziale [12] nella fase deconfinata avvolgimenti non banali permangono solo in direzione temporale, associata a proprietà termiche della teoria. Identifichiamo così i monopoli (antimonopoli) termici con quelli aventi un numero di avvolgimento positivo (negativo) attorno alla direzione temporale euclidea.
Alcune delle traiettorie dei monopoli si avvolgeranno più di una volta. Se k 6= 0 è il numero di avvolgimento di una tale traiettoria, la interpretiamo
5.5. MONOPOLI TERMICI 91 come k monopoli differenti che subiscono una permutazione ciclica dopo un avvolgimento nel tempo. Queste traiettorie si possono mettere in relazione con le proprietà che hanno i monopoli in quanto particelle quantistiche
identiche. Come abbiamo visto, infatti, per un sistema di N particelle
identiche all’equilibrio termico l’integrale di cammino coinvolge cammini periodici a meno di una possibile permutazione delle particelle
L’ensemble dei monopoli termici abeliani è certamente diverso da un gas ideale non relativistico di particelle identiche non interagenti. Per il caso SU (2) sono già state investigate [20] le interazioni tra particelle, trovando la presenza di interazioni attrattive nel caso monopolo-antimonopolo e repulsive per il caso monopolo-monopolo. La loro presenza interferisce con vari passaggi fatti per arrivare alla (5.102), per esempio non è più valida la (5.95). Tener conto di tutti gli effetti dovuti alle interazioni non è semplice, perciò invece di cercare una soluzione esatta analizziamo le possibili differenze e somiglianze con quanto accade per il gas di bosoni liberi, in particolare per la densità di cicli k della (5.102). Ci si può aspettare [12] che per aggiungere una particella a un ciclo di lunghezza k, per andare da k a k + 1, sia necessario un quantitativo finito di energia libera che svolge il ruolo di un potenziale chimico effettivo, a cui si aggiunge un contributo dipendente dall’interazione:
ρk= e−ˆµkf (k) (5.105)
dove f è una funzione che decresce più lentamente di un’esponenziale con k, in cui ci aspettiamo che il contributo dominante sia ∝ 1/kα. Chiameremo ˆµ “potenziale chimico”, anche se dev’essere chiaro che si tratta più che altro di un parametro in una descrizione effettiva della distribuzione dei cicli di lunghezza k. Il risultato del caso libero, (λ3k5/2)−1
, sarà modificato dall’interazione, ma in ogni caso la temperatura di transizione verrà raggiunta quando il potenziale chimico si annullerà, quindi al punto di condensazione valori alti di k non saranno più soppressi esponenzialmente.
Dall’analisi dei monopoli termici per la teoria di pura gauge SU (3) con- dotta in [12] riportiamo la figura 5.3. Da essa risulta evidente come il peso relativo della densità ρk, con k > 1, cresca rispetto alla densità ρ1, usata come
normalizzazione, in prossimità della temperatura di transizione Tc. Inoltre
ogni serie di dati relativi a una temperatura può essere fittata senza difficoltà dalla (5.102), con cui sono state tracciate le curve in figura.
A partire da queste curve è stato possibile trovare i valori di ˆµ corrispon- denti a diverse temperature, e quindi realizzare un fit sulla dipendenza di ˆµ da T per ricavare una stima della temperatura di condensazione, assumendo un comportamento critico del tipo:
ˆ
In figura 5.4 possiamo vedere la dipendenza trovata per ˆµ, che per SU (3) ha restituito la temperatura di transizione attesa: TBEC(SU (3)) ≈ Tc(SU (3)) [12].
Figura 5.3: Densità relativa di traiettorie con k avvolgimenti come funzione di k nel caso SU (3), al variare della temperatura [12].
Figura 5.4: Andamento del potenziale chimico ˆµ nel caso SU (3), al variare della temperatura, fittato con la (5.106) [12].
Capitolo 6
Analisi della Simulazione
Come abbiamo visto nel capitolo precedente, simulando una teoria di gauge su reticolo possiamo identificare i monopoli magnetici termici con quelli aventi un numero di avvolgimento non nullo attorno alla direzione temporale euclidea. Campionando le loro traiettorie in una simulzione di full QCD, quindi con la presenza di fermioni dinamici (dotati di massa finita), ci siamo proposti in questa tesi di studiare la distribuzione degli avvolgimenti ciclici di lunghezza k, per ogni temperatura indagata, con l’obiettivo di determinare il potenziale chimico ˆµ in funzione della temperatura, per poi determinare la presenza o meno di una temperatura TBEC corrispondente alla condensazione
di Bose-Einstein dei monopoli termici e la sua relazione con la temperatura di deconfinameto Tc nota da recenti simulazioni su reticolo. Come valore di
riferimento1 usiamo T
c≈ 155(9) MeV [11].
6.1
Dettagli della Simulazione
Per la nostra simulazione abbiamo utilizzato due reticoli con spaziature rispettivamente 243× 6 e 323× 8, includendo fermioni staggered e 2 + 1 sapori.
La massa mu = md è stata impostata per ottenere un valore di 135 MeV
per la massa del pione. Per il rapporto mu/ms usiamo il valore fisico. La
temperatura e il volume in una simulazione sono pari a:
T = 1
Nta
, V = (Nsa)3, (6.1)
1La transizione di deconfinamento in QCD sembra essere, secondo le indicazioni delle
simulazioni, un cross-over analitico, in cui si può definire una temperatura pseudocritica una volta che si è scelta un’osservabile di riferimento, come specifichiamo anche nella sezione 6.3.
dove a è la spaziatura del reticolo. Per Nt fissato la temperatura si può
variare modificando a. Questo implica che si dovranno variare i parametri bare della teoria in modo adeguato (vedi §3.4). A temperatura fissata si possono controllare gli effetti della discretizzazione. Riportiamo nella tabella seguente per ciascuna dimensione del reticolo i valori di temperatura utilizzati per l’analisi dati.
Reticolo Temperature Analizzate (MeV)
243× 6 171, 184, 185, 200, 217, 234, 250,
251, 285, 286, 300, 318, 351, 384
323× 8 165, 184, 217, 251, 285, 318
Tabella 6.1: Misure del reticolo e temperature analizzate.
Le configurazioni sono state ottenute con il metodo Monte Carlo [5], impiegando una combinazione di update ottenuti con gli algoritmi heat- bath [16] e di sovrarilassamento (over-relaxation) [19]. Per ogni insieme di
parametri abbiamo poi misurato le proprietà dei monopoli termici su un numero di ordine compreso fra 102 e 103 di configurazioni decorrelate. Il
codice che ha generato le configurazioni era stato precedentemente realizzato per compiere studi di full QCD su reticolo.
Per fissare la gauge su una data configurazione di uno degli ensemble generati dalla simulazione abbiamo massimizzato con un secondo program- ma il funzionale (5.81) mettendoci nella MAG generalizzata, imponendo la condizione (5.89), che per SU (3) significa
˜
λ = diag(1, 0, −1). (6.2)
In ogni fetta temporale del reticolo individuiamo le posizioni dei monopoli termici come i punti attraversati da correnti con numero di avvolgimento non nullo. È presente un’ambiguità in quest’identificazione, perché le correnti estratte dal reticolo non sono strettamente unidimensionali: sono invece cluster che diventano approssimativamente unidimensionali nella fase di alta temperatura, ma a causa del rumore UV presente sotto forma di piccoli loop intorno alla corrente restano di dimensione finita. Abbiamo fissato la posizione dei monopoli nel primo punto in cui la corrente è stata individuata dall’algoritmo di ricerca, introducendo quindi un rumore casuale che però ha effetti sistematici trascurabili [21]. Scelta un fetta corrispondente ad un dato tempo (ad es. t = 0) individuiamo quindi le correnti di monopolo che la attraversano, per poi seguire la corrente sul reticolo tenendo conto del numero di avvolgimenti che compie, finché non ritorniamo nel punto di rilevamento
6.2. ANALISI DEI DATI 95