ri-indicizzati nel modo seguente:
χρ(N ) ≡ χ(2N + ρ). (3.59)
Abbiamo così ottenuto un nuovo campo definito su un reticolo di spaziatura 2a, le cui 2D componenti saranno poi utilizzate per costruire 2D/2 campi ψf
α,
ciascuno dotato di 2D/2 componenti. Scegliendo in modo opportuno queste
combinazioni si ottiene l’azione SF(stag)=X N X α,β,f ¯ ˆ ψαf(N )(γµ∂ˆµ+ M )αβψˆβf(N ) + . . . , (3.60)
in cui ˆ∂ è la derivata discreta simmetrica del reticolo di spaziatura 2a, e i puntini di sospensione sottointendono termini che si annullano nel limite al continuo. Per a finito questi termini non sono invarianti sotto il gruppo delle trasformazioni chirali. Tuttavia per ˆM = 0 l’azione (3.60) conserva una simmetria sotto trasformazioni di U (1)×U (1), residuo del gruppo di simmetria chirale originario. Quindi oltre alla simmetria U (1) globale che ruota tutti i campi della stessa fase (U (1) vettoriale) in questo caso è conservata anche una simmetria non banale per un altro gruppo di trasformazioni U (1). Indicando con ψαf i campi della (3.60), in cui α è un indice fermionico e f è l’indice di
sapore, il generatore di queste trasformazioni è γ5⊗ γ5, dove il primo fattore
agisce sulla parte spinoriale e il secondo sulla parte di sapore. L’azione è cioè invariante sotto la trasformazione globale:
ψ(N ) → eiθ(γ5⊗γ5)ψ(N ) ¯
ψ(N ) → ¯ψ(N ) eiθ(γ5⊗γ5). (3.61)
Perciò si possono usare i fermioni staggered per studiare la rottura spontanea di questa simmetria residua sul reticolo. Questo è uno dei vantaggi della formulazione con i fermioni staggered rispetto ad altri metodi, come i fermioni di Wilson. Tra i suoi svantaggi invece c’è la necessità di impiegare 2D/2
fermioni degeneri, limitazione non presente in metodi differenti. Tra le altre difficoltà c’è anche quella di accertarsi che i campi compositi nel limite al continuo abbiano i giusti numeri quantici. Si vedano [26], [27], [34].
3.3
Campi di Gauge e QCD su Reticolo
Il prossimo passo consiste nel discretizzare i bosoni di gauge di un’op- portuna teoria: in questo modo avremo discretizzato tutti i tipi di campi fondamentali per la cromodinamica.
Iniziamo considerando l’azione della cromodinamica quantistica (2.30), che qui riscriviamo:
SQCD = − 1 4 Z Fµνa Faµνd4x + Z Nf=6 X f =1 ¯ ψf(i /D − mf)ψfd4x (3.62)
con Dµ = ∂µ+ ig0Aµ. Le funzioni di Green si calcolano differenziando a
partire dal funzionale generatore ZQCD[J, η, ¯η] =
Z
DAD ¯ψDψ eiSQCD+ i J · A+i(¯η·ψ+ ¯ψ·η) (3.63) Stabiliamo un modo di calcolare la (3.63) non perturbativamente, intro- ducendo un reticolo. I requisiti fondamentali dell’azione discreta saranno l’invarianza di gauge e che il suo limite al continuo sia l’azione classica.
Passiamo allo spazio euclideo, in cui si ha A0 → iA4 (così come ∂0 → i∂4).
Ricordando che S = iSE, l’azione del campo di Yang-Mills, ottenuta integran-
do (2.24), diventa:
SYM(eucl)= 1 4
Z
FaµνFµνa d4x (3.64)
Per il contributo di ciascun fermione invece riotteniamo la (3.22) con la sola sostituzione della derivata covariante a quella parziale semplice:
SF(eucl)= Z
¯
ψ(x)(γµEDµ+ M )ψ(x) d4x, (3.65)
Sottintendiamo nel seguito che tutte le espressioni sono da intendersi nello spazio euclideo.
Per affrontare la discretizzazione useremo un percorso simile a quello segui- to nella teoria continua per rendere invariante di gauge l’azione. Consideriamo perciò l’azione discreta2 fermionica ottenuta col metodo di Wilson, in cui i
campi ψ originari continuano ad occupare i siti del reticolo: SF(W )= ˆM0+ 4r X n ¯ ψ(n)ψ(n) −1 2 X n,ˆµ ¯ ψ(n)(r − γµ)ψ(n + ˆµ) + ¯ψ(n + ˆµ)(r + γµ)ψ(n) . (3.66)
Come vedremo poco più avanti il procedimento che troveremo si potrà applicare anche ai fermioni staggered.
3.3. CAMPI DI GAUGE E QCD SU RETICOLO 53 L’azione è invariante sotto trasformazioni globali3 di G = SU (3) delle ψ. Vogliamo renderla invariante sotto trasformazioni di gauge, quindi locali; per- ciò consideriamo una trasformazione dipendente dal sito Ω(n) ∈ G, ∀n ∈ Z4. La presenza di termini non diagonali nella (3.66) necessita l’introduzione di nuovi gradi di libertà affinché si possa riscrivere in forma invariante di gauge.
Nel caso continuo un termine del tipo ¯ψ(x)ψ(y) per essere reso invariante deve essere riscritto come
¯ ψ(x)U (x, y)ψ(y), (3.67) dove U (x, y) = eig0P Ry x Aµ(s) ds µ (3.68) è il trasporto parallelo (2.14), eseguito lungo un percorso che collega x a y.
Sia ora y = x + . Allora l’espressione ¯ψ(x)ψ(x + ) si dovrà sostituire con ¯
ψ(x)U (x, x + )ψ(x + ), in cui
U (x, x + ) ≈ eig0 ·A(x). (3.69)
Questo ci suggerisce di effettuare le seguenti sostituzioni per ottenere espressioni invarianti di gauge sul reticolo:
¯ ψ(n)ψ(n + ˆµ) −→ ¯ψ(n) Un, n+ˆµψ(n + ˆµ) ¯ ψ(n + ˆµ)ψ(n) −→ ¯ψ(n + ˆµ) Un+ˆµ, nψ(n) (3.70) in cui Un, n+ˆµ = U † n+ˆµ, n (3.71)
ed Un, n+ˆµ è un elemento del gruppo di gauge SU (3) nella rappresentazione
fondamentale (3 × 3). Si può scrivere perciò:
Un, n+ˆµ = eiφµ(n), (3.72)
dove φµ(n) ≡ φaµ(n) ta è una matrice hermitiana dell’algebra di Lie di SU (3),
con ta, a ∈ {1, . . . , 8} i generatori nella rappresentazione fondamentale. Ora
i termini trovati in (3.70) sono invarianti sotto la trasformazione locale:
ψ(n) −→ Ω(n)ψ(n), Un, n+ˆµ−→ Ω(n) Un, n+ˆµΩ†(n),
¯
ψ(n) −→ ¯ψ(n)Ω†(n), Un+ˆµ, n −→ Ω†(n) Un+ˆµ, nΩ(n).
Notiamo che le Un, n+ˆµ “vivono” sul collegamento tra due siti del reticolo,
per cui vengono solitamente chiamate “variabili di link ”. Hanno una natura
3La nostra discussione è valida anche per un gruppo di gauge G unitario diverso da
direzionale, il che si vede dalla (3.71) e si può intuire dal fatto che siano state introdotte come l’analogo dei trasporti paralleli continui sul reticolo.
Facendo le sostituzioni (3.70) nella (3.66) otteniamo l’azione invariante di gauge per i fermioni di Wilson:
SF(W ) ψ, ¯ψ, U = ˆM0+ 4r X n ¯ ψ(n)ψ(n) −1 2 X n,ˆµ h ¯ψ(n)(r − γ µ)Un, n+ˆµψ(n + ˆµ) + ¯ψ(n + ˆµ)(r + γµ)U † n, n+ˆµψ(n) i . (3.73)
Aver seguito il nostro percorso piuttosto che un altro per ottenere quest’a- zione non è di fondamentale importanza: ciò che conta è se l’azione (3.73), invariante di gauge, si riduce nel limite continuo alla (3.65). Per determinarlo è necessario stabilire un collegamento tra le variabili di link e il potenziale vettore Aaµ(x). Se è vero che φaµ(n) varia in un intervallo di valori compatto e al contrario Aaµ(x) può assumere ogni valore di R, dobbiamo ricordare che Aa
µ(x)
ha le dimensioni dell’inverso di una lunghezza, mentre φa
µ(n) è adimensionale.
Facendo allora l’ansatz φaµ(n) = caAaµ(n) nel limite a → 0 l’intervallo di valori ammissibili per Aaµ(x) sarà infinito, come ci si aspetta. Scalando la massa M0
e i campi ψ e ¯ψ come nella (3.25), e facendo l’identificazione
Un, n+ˆµ≈ 1 + ig0a Aµ(n) (3.74)
la (3.76) restituisce il limite corretto.
Data questa relazione tra Un, n+ˆµ e Aaµ(n), valida nel limite a → 0,
scriveremo:
Uµ(n) ≡ Un, n+ˆµ= eig0aAµ(n). (3.75)
Poiché le trasformazioni di gauge non mescolano le componenti fermio- niche possiamo usare lo stesso procedimento su ciascuno dei campi χ presenti sul reticolo nel caso dei fermioni staggered per rendere invariante di gauge l’azione (3.57). Otteniamo: SF(stag)= 1 2 X n,µ ηµ(n) ¯χ(n)Uµ(n)χ(n + ˆµ) − Uµ†(n − ˆµ)χ(n − ˆµ) + ˆM0 X n ¯ χ(n)χ(n). (3.76)
A questo punto abbiamo un’azione discreta invariante di gauge che ripro- duce la parte fermionica della teoria nel limite continuo. Ci resta solo da
3.3. CAMPI DI GAUGE E QCD SU RETICOLO 55 trovare un’azione adeguata a rappresentare sul reticolo la parte di pura gauge (3.64). Questa dovrà essere ancora invariante sotto trasformazioni locali, e includere solo le variabili di link. Per ottenere l’invarianza di gauge Sappia- mo dal paragrafo 2.1.1 che un invariante di gauge è la traccia dell’integrale P-ordinato lungo una curva chiusa del potenziale vettore A: in modo analogo, sul reticolo un invariante è la traccia del prodotto ordinato lungo un percorso chiuso delle variabili di link. La natura locale dell’integrando nella (2.109) ci porta a considerare il più piccolo percorso possibile; siamo portati allora a scegliere il prodotto ordinato attorno a una placchetta elementare del piano indicato dagli indici µ e ν, definendo l’operatore placchetta:
Uµν(n) ≡ Uµ(n) Uν(n + ˆµ) Uµ†(n + ν) U †
ν(n) . (3.77)
Possiamo ora definire una versione discreta del tensore di campo Fµν. Questa
si ricava sostituendo la (3.75) nella (3.77), ottenendo: Uµν(n) = eig0a
2F
µν(n) (3.78)
dove Fµν è una versione discreta del tensore di campo. Nel caso abeliano è
facile verificarlo, trovando per Fµν:
F(ab) µν =
1
a[(Aν(n + ˆµ) − Aν(n)) − (Aµ(n + ˆν) − Aµ(n))] . (3.79) Nel caso di SU (3) i calcoli sono complicati dalla non commutatività e si deve ricorrere alla formula CBH. Svolgendo il conto si arriva comunque a dimostrare [5] che:
Fµν −−→
a→0 Fµν = ∂µAν− ∂νAµ+ ig0[Aµ, Aν]. (3.80)
Segue allora dalla (3.78) che SYM(SU (3))(U ) = 2 g2 0 Tr X n, µ, ν µ<ν 1 − 1 2 Uµν(n) + U † µν(n) (3.81)
tende all’azione di pura gauge per SU (3) data da (3.64). Nel caso generale di SU (N ) quest’azione ha la forma4: SYM(SU (N ))(U ) = 2N g2 0 X P 1 − Tr 1 2N UP + U † P , (3.82) 4
in cui UP indica l’operatore corrispondente alla placchetta P calcolato in
senso antiorario, e la somma si estende su tutte le placchette P .
Notiamo per inciso che la costante di accoppiamento g0 compare con una
potenza negativa nell’azione, per cui un’espansione attorno all’accoppiamento forte è quella più naturale sul reticolo.
Abbiamo così trovato5 l’azione da usare per la QCD discretizzata: essa è
data dalla somma di (3.81) e (3.73), cioè da:
SQCD(r) = SYM(SU (3))(U ) + SF(W ) ψ, ¯ψ, U (3.83) dove l’apice “(r)” sta ad indicare che si tratta dell’azione sul reticolo.
Possiamo ora usare l’azione (3.83) in un integrale di cammino, da cui si potranno poi ricavare tutte le funzioni di correlazione di fermioni e variabili di link. Questo integrale coinvolgerà un’integrazione sul gruppo unitario a cui appartengono le variabili di link Uµ(n), ossia un’integrazione effettuata su
una varietà compatta che nel caso di SU (3) è parametrizzata da 8 coordinate. Abbiamo posto molta attenzione a cercare un’azione che fosse invariante di gauge. Per non perdere questa invarianza dobbiamo trovare anche una misura che sia invariante di gauge. Se il caso abeliano non presenta difficoltà, nel caso di SU(3) la misura corretta è la cosiddetta misura di Haar, che ha una forma del tipo:
DU =Y
s
J (φs) dφs, (3.84)
in cui φs sono le coordinate della variabile di link Ussulla varietà, la produtto-
ria è estesa a tutti i valori di s e il jacobiano J (φs) è determinato dall’invarianza
di gauge richiesta. Ricaveremo esplicitamente J (φs) nel paragrafo seguente.
Una funzione di correlazione arbitraria si calcola così a partire dalla seguente espressione: hψa1 α1(n1) . . . ψ b1 β1(m1) . . . U cd µ1(p1) . . . i = 1 Z Z DU D ¯ψDψ ψa1 α1(n1) . . . ψ b1 β1(m1) . . . U cd µ1(p1) . . . e −SQCD(r) , (3.85) dove Z = Z DU D ¯ψDψ e−SQCD(r) . (3.86)
5Accenniamo soltanto che per l’esistenza di un’hamiltoniana hermitiana e non negativa
con matrice di trasferimento definita positiva è necessario che l’azione soddisfi un criterio, detto di “reflection positivity” [38]. L’azione (3.83) soddisfa tale criterio. Per dettagli si può consultare [4].
3.4. LIMITE AL CONTINUO 57