Secondo le simulazioni presenti in letteratura [11][14] la transizione tra fase confinata e deconfinata in QCD non avviene ad una vera e propria temperatura critica: si tratterebbe piuttosto di un cross-over, in cui le diverse proprietà del sistema cambiano in maniera (più o meno) rapida, ma analitica, all’interno di un dato intervallo di temperature. Temperature di transizione definite usando osservabili diverse, quindi, possono anche differire, e vengono anche chiamate temperature pseudocritiche. La situazione non è esotica, e si verifica per esempio anche nel caso dell’acqua2 [14].
Pur con questa premessa, il risultato che abbiamo ottenuto per la tempe- ratura di condensazione dei monopoli termici, TBEC = 145(25) MeV, è com-
patibile con il valore della temperatura di deconfinamento Tc≈ 155(9) MeV
determinato in [11].
Un’altra caratteristica interessante dell’andamento del potenziale chimico misurato ˆµ è che per temperature superiori ai 300 MeV sembra essere presente un residuo della parte di pura gauge della teoria: infatti la temperatura critica per SU (3) in assenza di fermioni è di circa 270 MeV [12]. Questa potrebbe essere una futura direzione in cui muoversi per indagare la teoria.
2L’acqua presenta un punto critico x
0 ≈ (647,096 K; 22,064 MPa) nel piano (T, P ).
Per pressioni inferiori a quella del punto critico aumentando la temperatura il sistema attraversa una transizione di fase del primo ordine (del secondo ordine in coincidenza con x0). Per pressioni superiori a ∼ 22,064 MPa però la transizione tra acqua e vapore è
Capitolo 7
Conclusioni
Nel contesto dell’ipotesi della superconduttività duale per spiegare il confi- namento in QCD abbiamo visto come sia possibile individuare dei sottogruppi abeliani U (1) all’interno del gruppo di gauge totale. Per farlo è stato ne- cessario scegliere una gauge particolare, tramite la massimizzazione di un funzionale dei campi di gauge della teoria. Lo studio dei monopoli termici individuati tramite la proiezione abeliana che abbiamo compiuto su una simulazione di full QCD, cioè in presenza di fermioni con masse fisiche, ci ha poi confermato che è possibile associare una temperatura di condensazione ai monopoli magnetici della cromodinamica quantistica, e che essa coincide con la regione di transizione fra fase confinata e deconfinata [14].
Nelle nostre simulazioni abbiamo anche potuto constatare che, come nel caso di pura gauge [12], la densità di traiettorie con dato numero di avvolgi- menti k nella direzione temporale aumenta allo scendere della temperatura e avvicinandosi a quella di condensazione TBEC. Inoltre i rapporti fra avvol-
gimenti sembrano essere indipendenti dalla spaziatura del reticolo, e sono dunque considerabili come una buona quantità fisica. Abbiamo così provato a fittare l’andamento di queste densità in funzione del numero di avvolgi- menti k, ricavando un potenziale chimico effettivo per i monopoli termici. Avendone ricostruito l’andamento in funzione della temperatura abbiamo infine verificato che la temperatura di condensazione TBEC da esso indicata
è vicina alla temperatura a cui avviene il ripristino della simmetria chirale, il che si può considerare come un’ulteriore conferma che il meccanismo di superconduttività duale potrebbe essere realizzato anche in full QCD, come ottenuto anche tramite il metodo del parametro d’ordine in [17].
7.1
Sviluppi futuri
Possibili direzioni in cui muovere la ricerca sono indagare altre proprietà dei monopoli, come la correlazione spaziale e le interazioni fra di essi. Per la teoria con fermioni tale studio non è stato ancora affrontato.
Un altro motivo di interesse, che è emerso per la prima volta in questa tesi, è la possibile presenza di una componente del plasma che continua a comportarsi come per la teoria di pura gauge, e che condensa alla temperatura nota per SU (3), rilevabile dall’andamento del potenziale chimico effettivo dei monopoli.
Una volta compreso il comportamento dei gradi abeliani della teoria, poi, si può immaginare di passare a studiare i gradi non abeliani, almeno in parte responsabili per esempio del fenomeno di anti-screening osservato per le cariche in QCD, che è anche legato al fenomeno del confinamento. Inoltre anche le correlazioni fra i gradi di libertà abeliani potrebbero essere indicative di interazioni residue dovute ai gradi di libertà non abeliani.
Bibliografia
Libri
[1] D. Bleecker. Gauge theory and variational principles. Global analy-
sis, pure and applied. Addison-Wesley Pub. Co., Advanced Book Pro- gram/World Science Division, 1981
[2] Giuseppe Grosso e Giuseppe Pastori Parravicini. Solid State Physics. Second Edition. Amsterdam: Academic Press, 2014. doi: https://doi .org/10.1016/B978-0-12-385030-0.00019-0
[3] M. Maggiore. A Modern Introduction to Quantum Field Theory. Oxford
Master Series in Physics. Oxford University Press, 2005
[4] Istvan Montvay e Gernot Münster. Quantum Fields on a Lattice. Cam-
bridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, 1994. doi: 10.1017/CBO9780511470783
[5] Heinz J Rothe. Lattice Gauge Theories. An Introduction. 3a ed. World
Scientific, 2005. doi: 10.1142/5674. eprint: https://www.worldscie ntific.com/doi/pdf/10.1142/5674
[6] Andrei Smilga. Lectures on Quantum Chromodynamics. WORLD SCIEN-
TIFIC, 2001. doi: 10.1142/4443. eprint: https://www.worldscient ific.com/doi/pdf/10.1142/4443
[7] Mark Srednicki. Quantum Field Theory. Cambridge University Press,
2007. doi: 10.1017/CBO9780511813917
[8] J. Zinn-Justin. Path Integrals in Quantum Mechanics. Oxford Graduate Texts. OUP Oxford, 2010
Articoli
[9] Stephen L. Adler. «Axial-Vector Vertex in Spinor Electrodynamics».
Phys. Rev. 177 (5 gen. 1969), pp. 2426–2438. doi: 10.1103/PhysRev .177.2426
[10] J. S. Bell e R. Jackiw. «A PCAC puzzle: p0-gg in the s-model». Il
Nuovo Cimento A (1965-1970) 60.1 (1969), pp. 47–61. doi: 10.1007 /BF02823296
[11] Tanmoy Bhattacharya et al. «QCD Phase Transition with Chiral Quarks
and Physical Quark Masses». Physical Review Letters 113.8 (ago. 2014). doi: 10.1103/physrevlett.113.082001
[12] Claudio Bonati e Massimo D’Elia. «The Maximal Abelian Gauge in
SU(N) gauge theories and thermal monopoles for N=3». Nuclear Physics B 877.2 (dic. 2013), pp. 233–259. doi: 10.1016/j.nuclphysb.2013.1 0.004
[13] V. G. Bornyakov et al. «Dynamics of monopoles and flux tubes in
two-flavor dynamical QCD». Physical Review D 70.7 (ott. 2004). doi: 10.1103/physrevd.70.074511
[14] Szabolcs Borsányi et al. «Is there still any Tc mystery in lattice QCD? Results with physical masses in the continuum limit III». Journal of High Energy Physics 2010.9 (set. 2010). doi: 10.1007/jhep09(2010)073 [15] Lowell S Brown e William I Weisberger. «Remarks on the static potential
in quantum chromodynamics». Physical Review D 20.12 (1979), p. 3239
[16] Nicola Cabibbo e Enzo Marinari. «A new method for updating SU(N)
matrices in computer simulations of gauge theories». Physics Letters B 119.4 (1982), pp. 387–390. doi: https://doi.org/10.1016/0370-26 93(82)90696-7
[17] J. M. Carmona et al. «Color confinement and dual superconductivity
in full QCD». Physical Review D 66.1 (lug. 2002). doi: 10.1103/phys revd.66.011503
[18] M. N. Chernodub e V. I. Zakharov. «Magnetic Component of Yang-Mills
Plasma». Physical Review Letters 98.8 (feb. 2007). doi: 10.1103/phys revlett.98.082002
[19] Michael Creutz. «Overrelaxation and Monte Carlo simulation». Phys.
Rev. D 36 (2 lug. 1987), pp. 515–519. doi: 10.1103/PhysRevD.36.515
[20] A. D’Alessandro e M. D’Elia. «Magnetic monopoles in the high tempe-
rature phase of Yang–Mills theories». Nuclear Physics B 799.1-2 (ago. 2008), pp. 241–254. doi: 10.1016/j.nuclphysb.2008.03.002
ARTICOLI 107
[21] Alessio D’Alessandro, Massimo D’Elia e Edward V. Shuryak. «Thermal
monopole condensation and confinement in finite temperature Yang- Mills theories». Physical Review D 81.9 (mag. 2010). doi: 10.1103/ph ysrevd.81.094501
[22] L. Del Debbio et al. Abelian projection in SU(N) gauge theories. 2002. arXiv: hep-lat/0203023 [hep-lat]
[23] L.Del Debbio, A.Di Giacomo e G. Paffuti. «Detecting dual supercon-
ductivity in the ground state of gauge theory». Physics Letters B 349.4 (apr. 1995), pp. 513–518. doi: 10.1016/0370-2693(95)00266-n
[24] T. A. DeGrand e Doug Toussaint. «Topological excitations and Monte
Carlo simulation of Abelian gauge theory». Phys. Rev. D 22 (10 nov. 1980), pp. 2478–2489. doi: 10.1103/PhysRevD.22.2478
[25] A. Di Giacomo e G. Paffuti. «Disorder parameter for dual superconduc- tivity in gauge theories». Physical Review D 56.11 (dic. 1997), pp. 6816– 6823. doi: 10.1103/physrevd.56.6816
[26] Maarten F.L. Golterman. «Staggered mesons». Nuclear Physics B 273.3
(1986), pp. 663–676. doi: https://doi.org/10.1016/0550-3213(86 )90383-4
[27] Maarten F.L. Golterman e Jan Smit. «Lattice baryons with staggered
fermions». Nuclear Physics B 255 (1985), pp. 328–340. doi: https: //doi.org/10.1016/0550-3213(85)90138-5
[28] Luuk H. Karsten e Jan Smith. «Lattice fermions: Species doubling,
chiral invariance and the triangle anomaly». Nuclear Physics B 183.1 (1981), pp. 103–140. doi: https://doi.org/10.1016/0550-3213(81
)90549-6
[29] H. Kluberg-Stern et al. «Flavours of lagrangian Susskind fermions».
Nuclear Physics B 220.4 (1983), pp. 447–470. doi: https://doi.org /10.1016/0550-3213(83)90501-1
[30] J. Kogut e Leonard Susskind. «Vacuum polarization and the absence
of free quarks in four dimensions». Phys. Rev. D 9 (12 giu. 1974), pp. 3501–3512. doi: 10.1103/PhysRevD.9.3501
[31] A.S. Kronfeld et al. «Monopole condensation and color confinement».
Physics Letters B 198.4 (1987), pp. 516–520. doi: https://doi.org /10.1016/0370-2693(87)90910-5
[32] Wolfgang Lucha, Franz F. Schöberl e Dieter Gromes. «Bound states of
quarks». Physics Reports 200.4 (1991), pp. 127–240. doi: https://do i.org/10.1016/0370-1573(91)90001-3
[33] S. Mandelstam. «II. Vortices and quark confinement in non-Abelian gauge theories». Physics Reports 23.3 (1976), pp. 245–249. doi: https: //doi.org/10.1016/0370-1573(76)90043-0
[34] A. Morel e J.P. Rodrigues. «How to extract QCD baryons from a lattice theory with staggered fermions». Nuclear Physics B 247.1 (1984), pp. 44–60. doi: https://doi.org/10.1016/0550-3213(84)90371-7 [35] H.B. Nielsen e M. Ninomiya. «Absence of neutrinos on a lattice: (I).
Proof by homotopy theory». Nuclear Physics B 185.1 (1981), pp. 20–40. doi: https://doi.org/10.1016/0550-3213(81)90361-8
[36] H.B. Nielsen e M. Ninomiya. «Absence of neutrinos on a lattice: (II). Intuitive topological proof». Nuclear Physics B 193.1 (1981), pp. 173– 194. doi: https://doi.org/10.1016/0550-3213(81)90524-1
[37] H.B. Nielsen e P. Olesen. «Vortex-line models for dual strings». Nuclear Physics B 61 (1973), pp. 45–61. doi: https://doi.org/10.1016/055 0-3213(73)90350-7
[38] Konrad Osterwalder e Robert Schrader. «Axioms for Euclidean Green’s
functions». Communications in Mathematical Physics 31.2 (1973), pp. 83–112. doi: 10.1007/BF01645738
[39] Néda Sadooghi e Heinz J. Rothe. «Continuum behavior of lattice QED,
discretized with one-sided lattice differences, in one-loop order». Physical Review D 55.11 (giu. 1997), pp. 6749–6759. doi: 10.1103/physrevd .55.6749
[40] V. Singh, D.A. Browne e R.W. Haymaker. «Structure of Abrikosov
vortices in SU(2) lattice gauge theory». Physics Letters B 306.1-2 (mag. 1993), pp. 115–119. doi: 10.1016/0370-2693(93)91146-e
[41] Vandana Singh, Richard W. Haymaker e Dana A. Browne. «London
relation and fluxoid quantization for monopole currents in U(1) lattice gauge theory». Phys. Rev. D 47.4 (feb. 1993), pp. 1715–1718. doi: 10.1103/PhysRevD.47.1715. arXiv: hep-lat/9206019 [hep-lat]
[42] John D. Stack, Steven D. Neiman e Roy J. Wensley. «String tension
from monopoles in SU(2) lattice gauge theory». Phys. Rev. D 50 (5 set. 1994), pp. 3399–3405. doi: 10.1103/PhysRevD.50.3399
[43] John D. Stack, William W. Tucker e Roy J. Wensley. «The maximal
abelian gauge, monopoles, and vortices in SU(3) lattice gauge theory». Nuclear Physics B 639.1-2 (set. 2002), pp. 203–222. doi: 10.1016/s05 50-3213(02)00537-0
ARTICOLI 109
[44] Tsuneo Suzuki e Ichiro Yotsuyanagi. «Possible evidence for Abelian
dominance in quark confinement». Phys. Rev. D 42 (12 dic. 1990), pp. 4257–4260. doi: 10.1103/PhysRevD.42.4257
[45] G. ’t Hooft. «Gauge theories with unified weak, electromagnetic and
strong interactions». High Energy Physics. A cura di A. Zichichi. Editrice Compositori, 1976
[46] G. ’t Hooft. «Topology of the gauge condition and new confinement
phases in non-abelian gauge theories». Nuclear Physics B 190.3 (1981), pp. 455–478. doi: https://doi.org/10.1016/0550-3213(81)90442- 9