Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
In un piano sono assegnate una circonferenzak di diametroAB, lungo 2, e una parabola p passante perAe avente per asse di simmetria il diametro perpendicolare adAB. Si sa che la parabola divide il cerchio delimitato dak in due parti, la maggiore delle quali è 5 volte la minore.
Dopo aver riferito il piano della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani: 1. determinare l’equazione dik;
2. determinare l’equazione di p;
3. trovare le coordinate dei puntiMedNcomuni alle curvek e p; 4. trovare le equazioni delle rette tangenti a p nei puntiMedN;
5. stabilire com’è situato rispetto alla circonferenza il punto in cui si secano le due rette tangenti trovate sopra.
Problema 2
Considerata una sfera di diametroAB, lungo 2, per un puntoPdi tale diametro si conduca il pianoα perpendicolare ad esso e si ponga uguale ad x la lunghezza diAP.
1. Si calcoli in funzione dix la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezzaAPe base il cerchio sezione diα con la sfera e il volume del segmento sferico avente la medesima base e altezza
PB.
2. Controllato che risulta:
d(x) =π
3(2 − x)(2x
2− x − 2),
si studi la funzioned(x) e se ne disegni il grafico.
3. Si utilizzi questo grafico per calcolare i valori dix per i quali d(x) = k, dove k è un parametro reale assegnato.
4. Si trovi, in particolare, la posizione diPper cuid(x) è massima. Questionario
1. Considerata la successione di termine generale an= 3f(n)n , dove f(n) =n 0 +n 1 +n 2 + .... +n n ,
calcolare
lim
n→∞an
e, ricorrendo alla definizione, verificare il limite così trovato.
2. Siaf(x) una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l’asse reale, tale che: Z1 0 f(x)dx = 2 e Z2 0 f(x)d x = −5. Di ciascuno dei seguenti integrali:
Z1 0 f(x 2)dx, Z2 0 f x 2 dd x, Z4 2 f x 2 dd x, Z1 0 f(2x)dx
dire se le condizioni assegnate sono sufficienti per calcolarne il valore e in caso di risposta affermativa qual è questo.
3. Si dimostri la formula della derivata del prodotto di due funzioni: D[f (x)g(x)] = f0(x)g(x) + f (x)g0(x).
4. Si dimostri che il volumeV di un segmento sferico ad una base, di raggio r ed altezza h è dato dalla seguente formula:
V =1 6πh(h
2+ 3r2).
5. Si dimostri la formula che esprime la derivata, rispetto adx, della funzione xn, doven è un intero qualsiasi non nullo.
6. Un trapezio rettangolo è circoscritto ad un semicerchio di raggior in modo che la base maggiore contenga il diametro. Si determinino i lati del trapezio sapendo che il solido generato da esso quando ruota di un giro intorno alla base maggiore ha il minimo volume.
7. Si conducano le rette tangenti ad una parabola in due suoi punti distintiAeB. Si dimostri quindi la relazione che sussiste fra l’area del triangolo mistilineo delimitato dall’arco öABdi parabola e dalle due tangenti suddette e l’area del segmento parabolico individuato dalla cordaAB, nel caso particolare in cui la rettaABè perpendicolare all’asse di simmetria della parabola.
8. Si calcoli il valore del seguente integrale: Z π3
0
sinx cos2x dx.
9. Si dimostri che ogni funzione f(x) = ax3+ b x2+ c x + d, dove a, b, c, d sono valori reali con a6= 0, ha un massimo e un minimo relativo oppure non ha estremanti.
10. In un piano cartesiano, l’insieme dei punti verificanti la condizione: xy− 3x + 5x − 15 = 0
a) dai punti(5,0) e (0,−3); b) dai punti(−5,0) e (0,3);
c) dall’intersezione delle rette di equazionix= −5 e y = 3; d) dall’unione delle rette di equazionix= −5 e y = 3; e) da una figura diversa dalle precedenti.
Una sola risposta è corretta: individuarla fornendo una esauriente motivazione. 3.75.2. Esempio di prova - 2
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
Della parabola f(x) = ax2+ b x + c si hanno le seguenti informazioni, tutte localizzate nel punto x= 0: f (0) = 1, f0(0) = 0, f00(0) = 2.
1. Determinata la parabola, si scrivano le equazioni delle tangenti ad essa condotte per il puntoP
dell’assey di modo che valga 60° l’angoloAbPB, essendoAeBi rispettivi punti di tangenza; 2. accertato che il puntoPha ordinata 1/4, si scriva l’equazione della circonferenza passante perA,
BeP;
3. si calcolino le aree delle due parti in cui la circonferenza risulta divisa dall’arco di parabola di estremiAeB.
Problema 2
Vincenzo Viviani(1622-1703) nell’opera De Maximis et Minimis, data alle stampe nel 1659, avvertì la necessità di inserire un problema a cui aveva dato soluzione e che era stato oggetto di studio anche da parte di altri più noti e valenti matematici del tempo.
Il problema è il seguente: “Dato un triangoloABC , i cui angoli misurano ciascuno meno di 120°, trovare un puntoXtale che la sommaXA+XB+XCsia minima”.
La soluzione di Viviani, trovata, egli dice, non senza iterati sforzi, è questa:Xè il punto, interno al triangolo, che “vede” o proietta i latiAB,BC,CA, sotto angoli di 120°.
Il problema conserva inalterata la sua importanza in quanto se i vertici A, B, C rappresentano, ad esempio, tre villaggi o città che si vogliono collegare tra loro, ragioni di convenienza potrebbero consigliare di realizzare la rete stradale minima.
Il candidato:
1. localizzi il puntoXnell’ipotesi semplificatrice che la retta passante perCe per il punto medioM
del segmentoABsia perpendicolare a tale segmento;
2. dimostri che il puntoXche realizza il minimo appartiene al segmentoCM;
3. introdotto un sistema di coordinate tale cheCsia l’origine eCMcoincida con l’assex positivo e indicate con(a, b) e (x,0) rispettivamente le coordinate diAe diX, dimostri che
s(x) = |XA| + |XB| + |XC| è data dalla formula:
s(x) = x +Æ(a − x)2+ b2
4. dimostri che sea≤ b /p3,s(x) assume il minimo in x = 0, mentre se a > b/p3,s(x) assume il minimo inx= a − b/p3;
5. interpreti geometricamente il risultato confrontandolo con l’enunciato e la soluzione, più generale, di Viviani.
Questionario
1. Illustrare il teorema dil’Hôpital e applicarlo per dimostrare che: lim
x→+∞
x4 ex = 0.
2. Determinare i valori dei parametrim ed n in modo che risulti: Z1
0
emx+ndx= e
n
m
e che l’integrale fra 1 e 2 della stessa funzione sia doppio dell’integrale precedente. 3. Interpretare geometricamente la questione posta sopra.
4. Illustrare il problema classico dellaquadratura del cerchio, la cui impossibilità Dante Alighieri così evocava poeticamente:
“Qual è ’l geometra che tutto s’ affigge per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond’ elli indige, ...”
(Paradiso, c. XXXIII, vv.133-135).
5. Dare un esempio di funzionef(x) definita su tutto R ed ivi continua, tale che lim
x→−∞f(x) = 2 x→+∞lim f(x) = 3.
6. Determinare al variare del parametrok il numero delle soluzioni reali dell’equazione: x3− k x + 2 − k = 0
7. Considerate le formule
V = 4 3πx
3 e S= πx2
che danno rispettivamente il volume di una sfera di raggiox e l’area di un cerchio sempre di raggio x se ne illustrino i risultati della derivazione rispetto a x.
8. Dimostrare, utilizzando il teorema di Rolle, che se l’equazione: xn+ an−1xn−1+ .... + a1x+ a0= 0
ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell’equazione: nxn−1+ (n − 1)an−1xn−2+ ··· + a1= 0
9. Fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una data sfera mostrare che quello di minima area laterale ha il suo vertice distante dalla superficie sferica della quantitàrp2, se r è il raggio della sfera.
10. Chiarire il significato din! (fattoriale di n) e il suo legame con i coefficienti binomiali. 3.75.3. Sessione ordinaria
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
Si consideri la seguente relazione tra le variabili realix, y: 1 x+ 1 y = 1 a dovea è un parametro reale positivo.
a) Esprimerey in funzione di x e studiare la funzione così ottenuta, disegnandone il grafico in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy.
b) Determinare per quali valori dia la curva disegnata risulta tangente o secante alla rettatdi equazionex+ y = 4.
c) Scrivere l’equazione della circonferenzak che ha il centro nel punto di coordinate(1,1) e intercetta sulla rettatuna corda di lunghezza 2p2.
d) Calcolare le aree delle due regioni finite di piano in cui il cerchio delimitato dak è diviso dalla rettat.
e) Determinare per quale valore del parametroa il grafico, di cui al precedente punto a), risulta tangente alla circonferenzak.
Problema 2
Considerato un qualunque triangoloABC, sianoDedEdue punti interni al latoBCtali che: RD= DE=EC. Siano poiMedNi punti medi rispettivamente dei segmentiADedAE.
a) Dimostrare che il quadrilateroDENMè la quarta parte del triangoloABC. b) Ammesso che l’area del quadrilateroDENMsia
45 2a
dove a è una lunghezza assegnata, e ammesso che l’angolo AbBC sia acuto e si abbia inoltre: |AB| = 13a, |BC| = 15a, verificare che tale quadrilatero risulta essere un trapezio rettangolo. c) Dopo aver riferito il piano della figura, di cui al precedente punto b), ad un conveniente sistema
di assi cartesiani, trovare l’equazione della parabola avente l’asse perpendicolare alla rettaBCe passante per i puntiM,N,C.
d) Calcolare, infine, le aree delle regioni in cui tale parabola divide il triangoloADC. Questionario
1. Indicata con f(x) una funzione reale di variabile reale si sa che f (x) → l per x → a, essendo l eda numeri reali. Dire se ciò è sufficiente per concludere che f(a) = l e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.
2. Siaf(x) una funzione reale di variabile reale, continua nel campo reale, tale che f (0) = 2. Calcolare: lim
x→0
Rx
0 f(t)dt
2xex
dove e è la base dei logaritmi naturali.
3. Si consideri il cubo di spigoliAA0,BB0,CC0,DD0, in cui due facce opposte sono i quadratiABCD
eA0B0C0D0. SiaEil punto medio dello spigoloAB. I pianiACC0A0eD0DEdividono il cubo in quattro parti. Dimostrare che la parte più estesa è il quintuplo di quella meno estesa.
4. Un tronco di piramide ha basi di areeB e b ed altezza h. Dimostrare, col metodo preferito, che il suo volumeV è espresso dalla seguente formula:
V = 1 3h
B+ b +pB b.
In ogni caso esplicitare ciò che si ammette ai fini della dimostrazione.
5. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, derivabile in un intervallo [a, b] e tale che, per ogni x di tale intervallo risulti f0(x) = 0. Dimostrare che f (x) è costante in quell’intervallo.
6. Dimostrare che si ha:
n k =n − 1 k +n − 1 k− 1
doven, k sono numeri naturali qualsiasi, con n> k > 0. 7. Fra i triangoli inscritti in un semicerchio quello isoscele ha:
a) area massima e perimetro massimo; b) area massima e perimetro minimo;
c) area minima e perimetro massimo; d) area minima e perimetro minimo.
8. Considerata la funzione:
f(x) = ax3+ 2ax2− 3x
dovea è un parametro reale non nullo, determinare i valori di a per cui essa ha un massimo e un minimo relativi e quelli per cui non ha punti estremanti.
9. Il limite della funzione
sinx− cos x x quandox tende+∞ :
a) è uguale a 0; b) è uguale a 1;
c) è un valore diverso dai due precedenti; d) non è determinato.
Una sola risposta è corretta: individuarla e darne un’esauriente spiegazione. 10. Si consideri la funzione
x+ sin x x− cos x.
Stabilire se si può calcolarne il limite perx→ +∞ e spiegare se il calcolo può essere effettuato ricorrendo al teorema di De L’Hopital.
3.75.4. Sessione suppletiva
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
Si consideri la funzione reale fm, di variabile realex tale che:
fm=
x2
|x − 2m| + m dove m è un parametro reale non nullo.
a) Trovare gli insiemi di definizione, di continuità e di derivabilità della funzione.
b) Indicata conC1la curva rappresentativa della funzione f(x) corrispondente ad m = 1, studiarla e disegnarla in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali, dopo aver determinato, in particolare, le equazioni dei suoi asintoti e il comportamento nel puntoAdi ascissa 2.
c) Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dalla curvaC1e dalla retta parallela all’asse delle ascisse condotta per il puntoA.
Problema 2
Una piramide retta, di verticeV, ha per base il triangoloABC, rettangolo inA, la cui area è 24a2dove a è una lunghezza assegnata. Si sa inoltre che
|AB|
|BC| = 3 5
e che il piano della facciaVABdella piramide forma col piano della baseABCun angoloγ tale che sinγ =12
13. a) Calcolare l’altezza della piramide.
b) Controllato che essa è
24 5a,
calcolare la distanza del verticeCdal piano della facciaVAB.
c) Condotto, parallelamente alla baseABC, un pianoα che sechi la piramide e considerato il prisma retto avente una base coincidente con il triangolo sezione e per altezza la distanza diα dalla base
ABC, calcolare per quale valore di tale distanza il prisma ha volume massimo. d) Il prisma di volume massimo ha anche la massima area totale?
Questionario
1. Considerata una funzione reale di variabile reale f(x), si prendano in esame le due seguenti proposizioni:
A: condizione necessaria e sufficiente affinché f(x) sia definita in un punto a è che sia continua ina.
B: condizione necessaria e sufficiente affinchéf(x) sia continua in un punto a è che sia derivabile ina.
Una sola delle seguenti combinazioni è corretta: individuarla e fornire un’esauriente giustificazione della risposta:
a) A vera - B vera; b) A vera - B falsa; c) A falsa - B vera; d) A falsa - B falsa.
2. Si consideri il cubo di spigoliAA0,BB0,CC0,DD0in cui due facce opposte sono i quadratiABCD
eA0B0C0D0. Indicato conEil punto medio dello spigoloAB, siaCFla retta perpendicolare aDE
condotta perC. I pianiD0DEeC0CFdividono il cubo in quattro parti. Calcolare a quale frazione del cubo equivale ciascuna di esse.
3. Calcolare se esiste un numero naturalen per il quale risulti: n X k=0 n k = 1048576.
4. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, derivabile con derivata continua in tutto il campo reale, tale che f(0) = 1 ed f0(0) = 2. Calcolare:
lim
x→0
Rx
0 f(t)dt − x
cos 2x− 1 .
5. Dimostrare che la derivata, rispetto a x, della funzione ax, dovea è un numero reale positivo
diverso da 1, èaxloga.
6. Fra i rettangoli di dato perimetro determinare quello di area massima. 7. Una primitiva della funzione f(x) è x2+ 2x. Se è possibile calcolare
Z1 0 fx 2 dx
determinare il valore dell’integrale. In caso contrario spiegare perché il calcolo non è possibile. 8. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy, sia T un trapezoide di base
[a, b] relativo alla funzione f (x), continua in tale intervallo. Dimostrare la formula che esprime il volume del solido generato dal trapezoide quando ruota di un giro completo attorno all’assex. 9. Calcolare la derivata della funzione sin 2x rispetto alla variabile x, ricorrendo alla definizione di
derivata.
10. Considerata una funzione reale di variabile reale f(x), derivabile almeno due volte in un dato puntoa, affinché la funzione f(x) abbia in a un punto di flesso la condizione f00(a) = 0 è:
a) necessaria e sufficiente; b) necessaria ma non sufficiente; c) sufficiente ma non necessaria.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.
3.76. Anno scolastico 2001-2002
3.76.1. Sessione ordinaria
Il candidato risolva uno dei due problemi 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy è assegnata la curva k di equazione y= f (x), dove è:
f(x) = x
2+ 2
x3+ 3.
a) Determinare per quali valori dix questa è situata nel semipiano y> 0 e per quali nel semipiano y< 0.
b) Trovare l’equazione della parabola passante per l’origineOdegli assi e avente l’asse di simmetria parallelo all’assey, sapendo che essa incide ortogonalmente la curva k nel punto di ascissa−1. (N.B.Si dice che una curva incide ortogonalmente un’altra in un punto se le rette tangenti alle due curve in quel punto sono perpendicolari).
c) Stabilire se la retta tangente alla curvak nel punto di ascissa−1 ha in comune con k altri punti oltre a quello di tangenza.
d) Determinare in quanti punti la curvak ha per tangente una retta parallela all’asse x.
e) Enunciare il teorema di Lagrange e dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si possa applicare alla funzione f(x) assegnata, relativamente all’intervallo −p2≤ x ≤ 0.
Problema 2
Si considerino le lunghezze seguenti:
(1) a+ 2x , a− x , 2a− x
dovea è una lunghezza nota non nulla ed x è una lunghezza incognita.
a) Determinare per quali valori dix le lunghezze(1) si possano considerare quelle dei lati di un triangolo non degenere.
b) Stabilire se, tra i triangoli non degeneri i cui lati hanno le lunghezze(1), ne esiste uno di area massima o minima.
c) Verificato che perx= 4 le (1) rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la costruzione geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo, acutangolo od ottusangolo.
d) Indicato conABCil triangolo di cui al precedente punto c), in modo cheBCsia il lato maggiore, si conduca perAla retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su di essa un punto
Dtale cheADsia lungoa: calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale) dell’ampiezza dell’angolo formato dai due pianiDBCeABC.
Questionario
1. Il rapporto fra la base maggiore e la base minore di un trapezio isoscele è 4. Stabilire, fornendone ampia spiegazione, se si può determinare il valore del rapporto tra i volumi dei solidi ottenuti facendo ruotare il trapezio di un giro completo dapprima intorno alla base maggiore e poi intorno alla base minore o se i dati a disposizione sono insufficienti.
2. Due tetraedri regolari hanno rispettivamente aree totaliA0eA00 e volumiV0eV00. Si sa che A0= 2 · A00. Calcolare il valore del rapporto
V0 V00.
3. Considerati i numeri realia, b , c, d - comunque scelti - se a> b e c > d allora: a) a+ d > b + c; b) a− d > b − c; c) ad> b c; d) a d > b c.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e motivare esaurientemente la risposta.
4. Si consideri la seguente proposizione:la media aritmetica di due numeri reali positivi, comunque scelti, è maggiore della loro media geometrica. Dire se è vera o falsa e motivare esaurientemente la risposta.
5. Determinare, se esistono, i numeria, b in modo che la seguente relazione: 1 x2− 2x − 3= a x− 3+ b x+ 1 sia un’identità. 6. Si consideri la funzione: f(x) = (2x − 1)7(4 − 2x)5.
Stabilire se ammette massimo o minimo assoluti nell’intervallo 1/2 ≤ x ≤ 2. 7. Calcolare la derivata, rispetto adx della funzione f(x) tale che:
f(x) = Z x+1
x
logt dt , conx> 0.
8. La funzione reale di variabile reale f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [1,3] e derivabile nell’intervallo aperto]1,3[. Si sa che f (1) = 1 e inoltre 0 ≤ f0(x) ≤ 2 per ogni x
dell’intervallo]1,3[. Spiegare in maniera esauriente perché risulta 1 ≤ f (x) ≤ 5.
9. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesianiOxy è assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano alla seguente equazione:
y=px2− 1 +p1− x2.
Tale luogo è costituito da: a) un punto;
b) due punti; c) infiniti punti; d) nessun punto.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della risposta. 10. La funzione reale di variabile reale f(x), continua per ogni x, è tale che:
Z2 0 f(x)dx = a , Z6 0 f(x)dx = b dovea, b sono numeri reali.
Determinare, se esistono, i valoria, b per cui risulta: Z3 0 f(2x)dx = log2 , Z3 1 f(2x)dx = log4. 3.76.2. Sessione suppletiva
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
Se il polinomiof(x) si divide per x2− 1 si ottiene x come quoziente e x come resto. a) Determinare f(x).
b) Studiare la funzione
y= f(x) x2− 1
e disegnarne il graficoG in un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy, dopo avere trovato, in particolare, i suoi punti di massimo, minimo e flesso e i suoi asintoti.
c) Trovare l’equazione della rettattangente aG nel suo punto di ascissa 2. d) Determinare le coordinate dei punti comuni alla rettate alla curvaG. e) Dopo aver determinato i numeria e b tali che sussista l’identità:
x x2− 1= a x+ 1+ b x− 1 si calcoli una primitiva della funzione f(x).
Problema 2
Una piramide di verticeV, avente per base il trapezio rettangoloABCD, è tale che:
— il trapezio di base è circoscritto ad un semicerchio avente come diametro il latoABperpendicolare alle basi del trapezio;
— lo spigoloVAè perpendicolare al piano di base del piramide;
— la facciaVBCdella piramide forma un angolo di 45◦col piano della base.
a) Indicato conEil punto medio del segmentoAB, dimostrare che il triangoloCEDè rettangolo. b) Sapendo che l’altezza della piramide è lunga 2a dove a è una lunghezza assegnata, e cheBC= 2·AD,
calcolare l’area e il perimetro del trapezioABCD.
c) Determinare quindi l’altezza del prisma retto avente volume massimo, inscritto nella piramide in modo che una sua base sia contenuta nella baseABCDdella piramide.
d) Stabilire se tale prisma ha anche la massima area laterale. Questionario
1. Si consideri la seguente equazione inx, y:
2x2+ 2y2+ x + y + k = 0
dove k è un parametro reale. La sua rappresentazione in un piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali:
a) è una circonferenza per ogni valore dik; b) è una circonferenza solo perk< 1/2 ; c) è una circonferenza solo perk< 1/4; d) non è una circonferenza qualunque siak.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e giustificare la risposta. 2. Considerata la funzione di variabile reale
f(x) =px− 1 +p1− x
dire se esiste il limite di f(x) per x tendente a 1 e giustificare la risposta.
3. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale. Si sa che: f (x) è derivabile su tutto l’asse reale; f(x) = 0 solo per x = 0; f (x) → 0 per x → ±∞; f0(x) = 0 soltanto per x = 2 e x = −1; f (−2) = 1 e f(1) = −2.
Dire, dandone esauriente spiegazione, se le informazioni suddette sono sufficienti per determinare gli intervalli in cui la funzione è definita, quelli in cui è continua, quelli in cui è positiva, quelli in cui è negativa, quelli in cui cresce, quelli in cui decresce. Si può dire qualcosa circa i flessi di f(x) ?
4. Siaf(x) una funzione reale di variabile reale definita nel modo seguente: f(x) = 1 asin 2x, per 0< x < π 2, 1+ a sinx, per − π 2 < x < 0,
dovea è un parametro reale non nullo. Stabilire se esiste un valore di a per il quale il dominio della funzione possa essere prolungato anche nel puntox= 0.
5. Un titolo in borsa ha perso ieri l’x% del suo valore. Oggi quel titolo, guadagnando l’y%, è ritornato al valore che aveva ieri prima della perdita. Esprimerey in funzione di x.
6. Come si sa, la condizione che la funzione reale di variabile reale f(x) sia continua in un intervallo