Problema 1
In assi cartesiani ortogonali una parabola data è rappresentata da una equazione del tipoy= ax2+b x + c. Determinare a, b , c e disegnare la parabola, sapendo che questa incontra l’asse delle x nell’origineOe in un puntoAdi ascissa 4 e che la tangente alla curva nell’origine forma con l’assex un angolo di 45◦. Determinare inoltre il trapezio di area massima fra tutti quelli che hanno per base maggiore il segmento
OAe per base minore una delle corde della parabola parallela adOA. Dire anche in quale rapporto sta l’area di tale trapezio a quella del segmento parabolico determinato daOAe contenente il trapezio. Problema 2
Sopra un diametroABdi un cerchio di centroOe raggior sono dati i due puntiCeDrispettivamente medi diOAedOB. Determinare la lunghezza 2x di una cordaEFdel cerchio, parallela adAB, in modo
che, dettom un numero reale e positivo, la somma delle aree dei quadrati costruiti sui quattro lati del trapezio convessoCEFDrisulti eguale a:
(m + 2)r2
2 .
Discussione. Casi particolari a scelta del candidato. 3.15.2. Sessione autunnale
Problema 1
Di un triangolo rettangoloBAC, l’ipotenusaBCè lunga 2a ed il catetoCAè minore od uguale al cateto
BA. DettiOil punto medio diBCedMil punto in cui la perpendicolare inOaBCincontra la rettaAB, determinare l’angoloCbBAsapendo che l’area del rettangolo di latiCAedOMè uguale a 2ma2, essendo m un numero dato.
Discussione e calcolo dei valori dim per cui l’angoloCBAb risulta rispettivamente di 30◦, 45◦, 36◦. Problema 2
In coordinate cartesiane ortogonali è data la parabolay2= x + 1. Disegnare la curva e determinare i
puntiPdi essa, per cui, dettaOl’origine delle coordinate edAil punto dell’asse dellex di ascissa 1, si abbia
|PO|2
|PA|2 = m,
essendom un numero dato. Discussione.
3.16. Anno scolastico 1938-1939
3.16.1. Sessione estivaProblema 1
In un semicerchio di diametro|AB| = 2r condurre una cordaACtale che, seADè la corda che biseca l’angoloBbAC, risulti|AC| + |AD| = 2m r , con m reale e positivo. Discussione. Caso particolare
m= p
3+ 1
2 .
Si prenda come incognitaBbAC= 2x. Problema 2
In coordinate cartesiane ortogonali è data la parabola y= a −x
2
a .
DettiAeBi punti d’intersezione di essa con l’asse dellex, determinare sull’arco parabolicoABun punto
3.16.2. Sessione autunnale Problema 1
Sul diametroABdi un cerchio di centroOe raggio r è dato il puntoPmedio del raggioOA. Determi- nare sul raggioOBun puntoQtale che, condotta per esso la cordaCDperpendicolare adAB, la somma dei quadrati dei lati del triangoloPCDsia:
2 m+1 4 r2,
essendom un numero reale positivo dato. Discussione. Problema 2
Disegnare, in un sistema di assi cartesiani ortogonali, le due curve rappresentate dalle equazioni:
y= n(mx2+ 3x) (parabola)
y= 2n
x (iperbole)
sapendo che m ed n sono tali che uno dei punti d’intersezione delle due curve è il punto (1,6). Determinare inoltre le coordinate degli altri punti d’intersezione delle due curve.
È in facoltà del candidato di trovare anche il massimo dei rettangoli aventi due vertici consecutivi sull’asse delle ascisse e gli altri due sull’arco della suddetta parabola determinato da questo asse stesso.
3.17. Anno scolastico 1939-1940
3.17.1. Sessione estiva Problema
Di un trapezio isoscele gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 60◦, il perimetro è 2p, l’area è ap3
4 . Determinare i lati del trapezio.
Discussione. Si assumano come incognite la base minore ed uno dei lati non paralleli. 3.17.2. Sessione autunnale
Problema 1
Sono dati due triangoliABC,DEF, il primo rettangolo inB, il secondo con l’angoloDbEFuguale a 60◦. Le misure dei segmentiAB,BC,DE,EFformano, nell’ordine scritto, una progressione aritmetica di
ragione conosciutad positiva; inoltre la somma dei quadrati delle misure diACeDFvalemd2, conm numero reale positivo dato. Determinare la lunghezza del latoAB. Discussione.
Problema 2
Disegnare in coordinate cartesiane, la parabola:y2= 3x + 4 e determinare i punti di essa che distano
dia dal punto di coordinate x= 1, y = 0. Discussione. Nell’ipotesi che sia a=
p 85 4 ,
verificare che i punti d’intersezione sono quattro e determinare l’area del quadrangolo convesso da essi individuato.
3.18. Anno scolastico 1940-1941
3.18.1. Sessione estiva Problema 1 Risolvere il sistema: ¨ x2+ y2= 2x x+ 2y = 2ae discutere la realtà ed il segno delle radici al variare dia, che si suppone positivo. Casi particolari: a= 1 2 , a= 1 , a= 3 2 , a= 1+p5 2 .
É in facoltà del candidato di ritrovare i risultati della discussione per via geometrica, servendosi delle due linee (cerchio e retta) rappresentate, in coordinate cartesiane ortogonali, dalle due equazioni del sistema dato.
Problema 2
Un settore circolareOABè quarta parte di un cerchio di centroOe raggior . Determinare l’angolo che un raggioOP, interno ad esso, deve fare conOAaffinché, dettoCil punto medio del raggioOAeD
la proiezione ortogonale diPsuOB, si abbia|PC|2+ |PD|2= k r2, dovek è un numero positivo dato.
Discussione. Casi particolari a scelta del candidato. 3.18.2. Sessione autunnale
Problema 1
Determinare i lati di un triangolo rettangolo sapendo che la somma dei cateti è 2s e che la mediana relativa al cateto maggiore èm. Discussione e costruzione geometrica.
Problema 2
Una parabola, la cui equazione in coordinate cartesiane ortogonali è del tipoy= ax2+ b x + c, passa per i punti(0,−3), (2,−3), (3,0). Dopo aver determinato i coefficienti a, b, c, disegnare la curva e trovare i punti di essa per i quali la differenza fra l’ordinata e l’ascissa è eguale ad un numero realem. Dire inoltre come varia, rispetto agli assi coordinati, la posizione dei suddetti punti al variare dim.
3.18.3. Sessione straordinaria, marzo 1942 Problema
Determinare l’angolo della base ed i lati di un triangolo isoscele ottusangolo conoscendone il raggior del cerchio circoscritto e la differenzak r fra il doppio della base e il triplo dell’altezza. Discussione. É facoltativa la risoluzione geometrica.