Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 10 quesiti del questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
Il triangolo rettangoloABCha l’ipotenusa|AB| = a e l’angoloCABb = π/3.
a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro inB e raggio x, l’arco di circonferenza di estremiPeQrispettivamente suABe suBC. Sia poiRl’intersezione con il catetoCAdell’arco di circonferenza di centroAe raggioAP. Si specifichino le limitazioni da imporre ad x affinché la costruzione sia realizzabile.
A B
C
P Q R
b) Si esprima in funzione dix l’area S del quadrilatero mistilineoPQCRe si trovi quale sia il valore minimo e quale il valore massimo diS(x).
c) Tra i rettangoli con un lato suABe i vertici del lato opposto su ciascuno dei due cateti si determini quello di area massima.
d) Il triangoloABCè la base di un solidoW . Si calcoli il volume di W sapendo che le sue sezioni, ottenute tagliandolo con piani perpendicolari adAB, sono tutti quadrati.
Problema 2
Assegnato nel piano il semicerchio Γ di centro Ce diametro|AB| = 2, si affrontino le seguenti
questioni.
a) Si disegni nello stesso semipiano diΓ un secondo semicerchio Γ1tangente adABinCe di uguale raggio 1. Si calcoli l’area dell’insieme piano intersezione dei due semicerchiΓ e Γ1.
A C B
b) Si trovi il rettangolo di area massima inscritto inΓ .
c) SiaPun punto della semicirconferenza diΓ , Hla sua proiezione ortogonale suAB. Si ponga
PbCB= x e si esprimano in funzione di x le aree S1eS2dei triangoliAPHePCH. Si calcoli il rapporto
f(x) = S1(x) S2(x).
d) Si studif(x) e se ne disegni il grafico prescindendo dai limiti geometrici del problema. Questionario
1. Si consideri la seguente proposizione: “Se due solidi hanno uguale volume, allora, tagliati da un fascio di piani paralleli, intercettano su di essi sezioni di uguale area”. Si dica se essa è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta.
2. Ricordando che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio, si provi che sin π 10= p 5− 1 4 .
3. Fra le casseruole, di forma cilindrica, aventi la stessa superficieS (quella laterale più il fondo) qual è quella di volume massimo?
4. Si esponga la regola del marchesede L’Hôpital(1661 − 1704) e la si applichi per dimostrare che è: lim
x→+∞
x2008
2x = 0.
5. Si determini un polinomioP(x) di terzo grado tale che: P(0) = P0(0) = 0, P(1) = 0 e Z1 0 P(x)dx = 1 12. 6. Se n 1 , n 2 ,n 3
7. Si determini, al variare dik, il numero delle soluzioni reali dell’equazione: x3− 3x2+ k = 0.
8. Sia f la funzione definita daπx− xπ. Si precisi il dominio di f e si stabilisca il segno delle sue derivate, prima e seconda, nel punto x= π.
9. Sia f(x) = x 2− 1 |x − 1|; esiste il lim x→1f(x)? Si giustifichi la risposta.
10. Secondo il codice della strada il segnale di “salita ripida” (vedi la figura sottostante) preavverte di un tratto di strada con pendenza tale da costituire pericolo. La pendenza vi è espressa in percentuale e nell’esempio è 10%.
Se si sta realizzando una strada rettilinea che, con un percorso di 1, 2 km, supera un dislivello di 85 m, qual è la sua inclinazione (in gradi sessagesimali)? Quale la percentuale da riportare sul segnale?
3.82.2. Sessione suppletiva
Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 10 quesiti del questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
Dato un quadranteAOBdi cerchio, di centroO e raggio 2, si consideri sull’arco öABun puntoP. a) Si esprima in funzione di
t= tanx
2 (con x =BOPb )
l’area del quadrilateroOMPN, essendoMedNi punti medi dei raggiOAeOB.
b) Si studi la funzione f(t) così ottenuta e si tracci il suo grafico γ, indipendentemente dai limiti posti dal problema geometrico.
c) Si dica per quale valore di x l’area del quadrilatero assume valore massimo. d) Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curvaγ e l’asse x.
Problema 2
Si consideri la funzione
y= sin x(2cos x + 1).
a) Tra le sue primitive si individui quella il cui diagrammaγ passa per il puntoP(π,0).
b) Si rappresenti graficamente la curvaγ nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π e si dimostri che essa è simmetrica rispetto alla rettax= π.
c) Si scrivano le equazioni delle retta tangenti alla curva nei suoi due puntiAeBdi ascisseπ/2 e 3π/2 e si determini il loro punto d’intersezioneC.
d) Si calcoli l’area della parte finita di piano compresa tra la curva e le due suddette tangenti. Questionario
1. Si determini la distanza delle due rette parallele:
3x+ y − 3p10= 0 , 6x + 2y + 5p10= 0.
2. Un trapezio rettangolo è circoscritto ad una semicirconferenza di raggior in modo che la base maggiore contenga il diametro. Si calcoli in gradi e primi (sessagesimali) l’ampiezzax dell’angolo acuto del trapezio, affinché il solido da esso generato in una rotazione completa attorno alla base maggiore abbia volume minimo.
3. Si determinino le equazioni degli asintoti della curva:
f(x) = −x + 1 +px2+ 2x + 2.
4. Si calcoli il limite della funzione:
cosx− cos 2x 1− cos x , quandox tende a 0.
5. Si calcoli il valore medio della funzione
f(x) = log x +p1+ x2 nell’intervallo 0≤ x ≤ 1.
6. Si sechi il solido di una sfera con un piano, in modo che il circolo massimo sia medio proporzionale fra le superficie appianate delle calotte nelle quali rimane divisa la sfera.
7. La regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione y= ex/2(x + 1)
e dall’assex nell’intervallo 0≤ x ≤ 1 è la base di un solido S le cui sezioni sono tutte esagoni regolari. Si calcoli il volume diS.
8. Si stabilisca per quali valori del parametro realek esiste una piramide triangolare regolare tale che k sia il rapporto fra il suo apotema e lo spigolo di base.
9. Si scriva l’equazione della tangente al diagramma della funzione: f(x) = (x2+ 1)sinx nel puntoPdi ascissax= π/2.
10. Dato un sistema di riferimento cartesiano (ortogonale monometrico) in un piano, si dica che cosa rappresenta l’insieme dei puntiP(1 + t2, 1+ t2), ottenuto al variare di t nei reali.
3.82.3. Sessione straordinaria
Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 10 quesiti del questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
Sia data la parabola
y= ax2+ b x + c.
a) Si determininoa, b , c, in modo che la parabola passi per i puntiA(0,−6),B(1,0) e nel puntoB
sia tangente alla retta di coefficiente angolare 5.
b) Si determinino le misure dei lati del rettangolo di perimetro massimo inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola e dall’assex.
c) Trovato questo rettangolo ed essendoMedN i due suoi vertici che stanno sulla parabola, si calcoli, in gradi e primi (sessagesimali), l’ampiezza dell’angolo acuto formato dalle due tangenti alla parabola inMedN.
d) Si calcoli il rapporto tra i volumi dei solidi generati in una rotazione attorno all’assex dal segmento parabolico e dal rettangolo di perimetro massimo considerato.
Problema 2
Si consideri la funzione
f(x) = log x+ 1 x2+ 2.
a) Si studi tale funzione e si tracci il suo graficoγ, su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy.
b) Si scriva l’equazione della tangente alla curvaγ nel punto di intersezione con l’asse y. c) Si studi la funzione
g(x) = ef(x) e se ne tracci il graficoΓ .
d) Si calcoli l’area della superficie piana delimitata dalla curvaΓ , dagli assi cartesiani e dalla retta di equazionex=p2.
Questionario
1. Si determinino le costantia e b in modo che la funzione F(x) = a cos x + b cos3x sia una primitiva della funzione
f(x) = 3sin x − 2sin3x. 2. Si determinino le equazioni degli asintoti della curva
f(x) = arctan x − x 1+ x2.
3. Fra tutti i cilindri inscritti in un cono circolare retto, avente raggio di baser e altezza h, si trovi quello di volume massimo.
4. Si consideri la funzione f(x) = 3x+ p 4x2 x , sex6= 0; 2, sex= 0.
Se ne studi la continuità perx= 0 e poi si tracci il suo grafico.
5. Si consideri la seguente proposizione: “Due pianiα e β sono tra loro perpendicolari se e solo se ogni retta diα è perpendicolare a ogni retta di β”. Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta.
6. Si determini, in base alla definizione, la derivata della funzione f(x) = sin2x in x=π
4. 7. Si provi che alla funzione
f(x) = tan x + sin x, nell’intervallo 0≤ x ≤ π, non è applicabile il teorema di Rolle. 8. Si calcoli il valor medio della funzione
y= x
4+ 1
x2+ 1,
nell’intervallo 0≤ x ≤ 1.
9. Si determini il campo di esistenza della funzione
y= logpx2− 2x − x + 4.
10. Si calcoli il limite della funzione
esinx− cos x ecosx− e log(x + e),