Fra le seguenti questioni il candidato tratti quelle che ritiene piu adeguate alla sua preparazione. Tempo concesso: 5 ore.
1. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy, sono assegnate le parabole di equazione: y=1 4x 2+1 4ax− a 2
dovea è un numero reale positivo.
Tra di esse determinare la parabola p che, con la sua simmetrica q rispetto all’origineO, delimita una regione di area 128/3.
Constatato che per la parabolap risulta a= 2, calcolare l’area del quadrilatero convesso individuato dagli assi di riferimento e dalle tangenti alle due parabole p, q nel loro punto comune di ascissa positiva.
Considerato infine il quadrilatero convesso avente per vertici i punti medi dei lati del quadrilatero precedente, dimostrare che si tratta di un parallelogramma e calcolarne l’area.
2. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy, è assegnata la curva k di equazione:
y= x
2
4− x3.
Dopo aver studiato la funzione
f x) = x2 4− x3
(dominio, eventuali zeri ed estremi, asintoti dik), disegnare l’andamento di k.
Indicata contla tangente ak parallela all’asse delle ascisse distinta dall’asse stesso, calcolare l’area della regione piana delimitata dak e dat.
A completamento del problema, prendere in esame le due seguenti proposizioni:
a) Una funzione reale di variabile reale non derivabile in un punto non è continua in quel punto.
b) Una funzione reale di variabile reale non continua in un punto non è derivabile in quel punto.
Dire di ciascuna se è vera o falsa e fornire una esauriente giustificazione della risposta.
3. Considerato il rettangoloABCD, il cui latoADè lungo 8a, dove a è una lunghezza nota, siaMil punto medio del latoAB. Sulla perpendicolare al piano del rettangolo condotta perM, prendere un puntoVin modo che il piano del triangoloVCDformi col piano del rettangolo un angoloα tale che
tanα =3 4.
Mostrare che la superficie laterale della piramide di verticeV e baseABCDè costituita da due triangoli rettangoli e da due triangoli isosceli. Sapendo che l’area di tale superficie laterale è 92a2, calcolare la lunghezza diAB.
Constatato che tale lunghezza è 5a, condurre un pianoσ parallelo alla base della piramide e proiettare ortogonalmente su tale base il poligono sezione diσ con la piramide stessa, ottenendo in questo modo un prisma retto. Determinare la posizione diσ per la quale il volume di tale prisma risulta massimo.
A completamento del problema, dimostrare che se i numeri reali positivix, y variano in modo che la loro somma si mantenga costante, allora il prodottox2· y è massimo quando risulta x = 2y.
3.70.2. Sessione suppletiva
Fra le seguenti questioni il candidato tratti quelle che ritiene piu adeguate alla sua preparazione. Tempo concesso: 5 ore.
1. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy, sono assegnate le curve di equazione:
y= 2x
2+ ax + b
x3
dovea, b sono parametri reali.
Trovare quale relazione lega questi parametri quando le curve considerate hanno un punto di massimo ed uno di minimo relativi e stabilire a quali altre condizioni devono soddisfarea e b affinché tali punti, quando esistono, abbiano ascisse dello stesso segno.
Tra le curve assegnate determinare la curvak avente gli estremi relativi nei puntiA,Bdi ascisse 1 e 3 rispettivamente e disegnarne l’andamento.
Calcolare infine l’area della regione piana delimitata dalla curvak e dalla retta y= q, dove q è l’ordinata del puntoB.
2. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy, sono assegnate le curve di equazione:
y= x3+ ax2+ b x + c dovea, b , c sono numeri reali.
Determinare tra queste le due curvek1ek2che passano per l’origine e per il puntoA(2,0) e sono
tangenti all’asse delle ascisse rispettivamente inOe inA. Disegnare l’andamento dik1e dik2.
Considerata la regione pianaR delimitata dagli archi di k1ek2aventi gli estremi inOe inA, calcolarne l’area e trovare tra le sue corde parallele all’asse delle ordinate quella di lunghezza massima. Calcolare poi l’area del quadrilatero convesso avente per vertici gli estremi di questa corda e i puntiOeA.
Verificare che le equazioni delle due curvek1ek2si trasformano una nell’altra con la sostituzione ¨ x= 2 − x0
y= −y0 ed esprimere questa proprietà in termini geometrici. 3. Nel triangoloABC, rettangolo inA, risulta:
|AB| = a , sinABCb = 4 5, dovea è una lunghezza nota.
Indicato conDun punto della semicirconferenza di diametroBC, non contenenteA, esprimere l’areaΣ del triangoloABDin funzione dell’ampiezzax dell’angoloBbAD. Constatato che si ha:
S=a
2
6 4 sin
studiare questa funzione e disegnarne l’andamento con riferimento alla questione geometrica. Utilizzare il disegno ottenuto al fine di calcolare per quali valori dix l’areaΣ risulta uguale a ka2,
dovek è un parametro reale.
Determinare infine il perimetro del triangoloABDper il quale è massima l’areaΣ.
3.71. Anno scolastico 1996-1997
3.71.1. Sessione ordinaria
Il candidato scelga a suo piacimento due dei seguenti problemi e li risolva. Tempo concesso 5 ore. 1. In un piano sono assegnate una circonferenzak di raggio di lunghezza nota r ed una parabola p
che secak nei puntiAeBe passa per il suo centroC. Inoltre l’asse di simmetria della parabola è perpendicolare alla rettaACe la cordaABè lunga quanto il lato del triangolo equilatero inscritto ink. Dopo aver riferito il piano ad un conveniente sistema di assi cartesianiOxy:
a) determinare l’equazione della parabola p;
b) calcolare il volume del solido generato, con una rotazione completa attorno alla rettaAC, dalla regione piana delimitata dai segmenti di retteABeACe dall’arcoBCdella parabola p; c) considerata la rettat, tangente alla parabola p e parallela alla rettaAB, trovare la distanza
delle rettetedAB;
d) dopo aver dimostrato analiticamente chep e k non hanno altri punti comuni oltre adAeB, calcolare le aree delle regioni piane in cui p divide il cerchio delimitato da k.
2. Sono assegnate le funzioni inx:
y= x
4+ ax2+ b
x2+ 1
dovea, b sono parametri reali.
a) Fra tali funzioni indicare con f(x) quella per cui la curva Γ di equazione y = f (x), disegnata in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy, soddisfi alle seguenti condizioni:
— la retta di equazioney= 1 sechi Γ in due punti e sia tangente ad essa in un punto; — l’assex sia tangente aΓ in due punti distinti.
b) Disegnare l’andamento diΓ .
c) Calcolare l’area della regione piana delimitata daΓ e dall’asse x. d) Calcolare: Z3 0 f x 3 dx.
3. Considerare i coni circolari retti in cui è uguale ad una lunghezza assegnata la somma del doppio dell’altezza col diametro della base.
Fra tali coni determinare quello di volume massimo e stabilire se ha anche la massima area laterale. Nel cono di volume massimo inscrivere poi il cilindro circolare retto avente la base sul piano di base del cono e volume massimo.
A completamento del problema, considerata una funzione reale di variabile reale f(x), definita in un intervalloI , e detta f(x) decrescente in I se x0< x00implica f(x00) > f (x0) per ogni x0,x00, dimostrare il seguente teorema:
Sia f(x) una funzione reale di variabile reale derivabile in un intervallo I . Condizione sufficiente ma non necessaria affinché f(x) sia decrescente in I è che risulti f0(x) < 0 per ogni x appartenente adI .
3.71.2. Sessione suppletiva
Il candidato svolga a suo piacimento due soli problemi scelti tra i tre proposti. Tempo concesso: 5 ore.
1. Data l’equazione
y= ax2+ b x + c
rappresentata in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali da parabole con asse parallelo all’asse delley, determinare, in funzione del coefficiente a, i coefficienti b e c che individuano la famigliaΓ delle parabole passanti perA(1,1) eB(2,0).
Determinare e rappresentare nel piano cartesiano il luogo dei vertici delle parabole della famiglia
Γ .
Considerate le due paraboleγ1, eγ2, della famigliaΓ aventi vertici rispettivamente inAe inB,
calcolare il rapporto tra l’areaS della regione di piano racchiusa tra le due parabole e l’area R del quadrilatero determinato dalle tangenti inAe inBalle due parabole.
Calcolare il volume del solido che si ottiene ruotando attorno all’asse dellex la superficie delimitata, oltre che dall’assex stesso, dall’arcoOA(essendoOl’origine degli assi cartesiani) della parabolaγ1 e dall’arcoABdella parabolaγ2.
2. Data una semicirconferenza di centro O e diametro |AB| = 2 si tracci la tangente t a detta semicirconferenza nel puntoA.
Preso un puntoPsulla semicirconferenza si tracci la perpendicolarePHalla rettat. Dimostrare che la semirettaPAè bisettrice dell’angoloHPOb .
Posto|PH| = x esprimere in funzione di x l’area y del quadrilateroAOPH. Determinare per quale valore dix l’area y= f (x) è massima.
Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione della curva, che rappresenta la funzione y= f (x), attorno all’asse delle x sapendo che 0 ≤ x ≤ 2.
3. Due circonferenze concentricheγ1eγ2di centroChanno raggio rispettivamente uguale ax e a 1 , conx< 1.
Da un puntoPdiγ2tracciare le tangenti aγ1. SianoQeRi due punti di tangenza. Determinare la funzioney= f (x) che rappresenta l’area del triangoloPQRin funzione dix.
Rappresentare in coordinate cartesiane ortogonali la funzioney= f (x).
Verificare che l’area è massima per x = 1/2 e dimostrare che in tale caso il triangoloPQRè equilatero.
Calcolare l’area della superficie di piano delimitata dalla curva rappresentante la funzioney= f (x) e dall’assex. (Si consiglia di integrare per sostituzione ponendo 1− x2= t2).