Il candidato scelga a sua piacimento due dei seguenti problemi e li risolva. Tempo concesso: 5 ore. 1. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy, sono assegnate le curve di
equazione:
y= ax3+ 3x + b dovea, b sono parametri reali con a6= 0.
a) Determinare i valori dia per i quali queste curve hanno un punto di massimo ed uno di minimo relativi e quelli per i quali non ammettono tali punti.
b) Calcolare i valori dia e b in modo che la curvaγ corrispondente abbia un massimo relativo uguale a 0 e sechi l’assex nel punto di ascissa−2p2.
c) Controllato che la curvaγ si ottiene per a = −1/2, disegnarne l’andamento. d) Calcolare l’area della regione piana delimitata dalla curvaγ e dall’asse x.
2. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy, è assegnata la curva C0di
equazione:
y= x
2− 1
2x .
a) Studiarla e disegnarne l’andamento, indicando conAeBi punti in cui la curva seca l’assex (xA> xB).
b) Trovare l’equazione della circonferenzaC00tangente aC0inAe passante perB.
c) DisegnareC00sullo stesso piano diC0dopo aver determinato il raggio e il centro diC0e inoltre le coordinate dell’ulteriore punto in cuiC00secaC0.
d) Determinare l’angolo sotto cuiC0eC00si secano inB.
3. Un cateto di un triangolo rettangolo è lungo 2a, dove a è una lunghezza nota, e l’angolo acuto adiacente ad esso ha coseno uguale a 4/5.
a) Condotta per il vertice dell’angolo retto una rettatche non attraversa il triangolo e indicata conx la misura dell’angolo che questa retta forma col cateto maggiore, esprimere in funzione dix il volume V(x) del solido generato dal triangolo quando compie una rotazione completa intorno alla rettat.
b) Verificato che risulta:
V(X ) =1 2πa
3(4sin x + 3cos x)
conx appartenente ad un determinato intervallo, studiare la funzione V(x) nell’intervallo stabilito e disegnarne il grafico in un piano cartesiano.
c) Utilizzare il grafico disegnato per determinarex in modo che il volume del solido di rotazione descritto sopra siakπa3, dovek è un parametro reale assegnato.
d) Completare la risoluzione dimostrando, col metodo preferito, che il volumeV di un tronco di cono di raggiR ed r ed altezza h è espresso dalla seguente formula:
V = 1 3πh(R
2+ r2+ Rr ).
3.72.2. Sessione suppletiva
Il candidato scelga a suo piacimento due dei problemi e li risolva. Tempo concesso: 5 ore. 1. Sia data la funzione
f(x) = (x + 1)e(1−x). Il candidato:
a) studi la funzione f(x);
b) in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy, disegni la curva C di equazioney= f (x);
c) determini l’area della regione finita di piano compresa tra la curvaC , l’asse delle ascisse e le due rette, parallele all’asse delle ordinate e passanti rispettivamente per il puntoA(x0,f(x0)), essendox0il valore dix in cui f(x) assume valore estremo relativo, e per il puntoB(x1,f(x1)), essendox1il valore dix in cui f(x) ha un flesso.
2. SiaS una semisfera di centroOe raggio 1 eΓ la sua circonferenza massima. Sulla semiretta di origineO, perpendicolare al piano diΓ e che interseca S, si consideri il puntoBtale che|OB| =p3. Il candidato:
a) individui il puntoCdel segmentoOBche sia il centro dell’ulteriore cerchio di intersezione diS con il conoΣ di base Γ e verticeB;
b) dettoPun punto del segmentoOCla cui distanza daOsiax, scriva in funzione di x i volumi dei coni di verticeOe di base rispettivamente i cerchiΓ1, eΓ2ottenuti dall’intersezione con S e conΣ del piano perP, perpendicolare adOC;
c) considerata la corona circolareW delimitata daΓ1, eΓ2, determini il volumeV(x) del solido delimitato daW e dalle superfici laterali dei coni anzidetti;
d) disegni, in un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy, la curva di equazioney= V (x).
3. In una circonferenza di diametro|AB| = 2r è inscritto un triangolo rettangoloABC, retto inCed avente il catetoCBuguale ai doppio del catetoAC. SiaPun punto dell’arco di estremiAeB, che non contieneC.
II candidato:
a) determini i cateti del triangoloABCed i valori di sinα e cosα, essendo α =CABb ; b) indicato conϑ l’angoloCbAP, esprima in funzione dix= cotϑ il rapporto:
R(x) =4· |AB|2− 4 · |CP|2 5· |PB|2+ 3 · |CP|2
c) tracci, in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, la curva di equazioney= R(x) e descriva l’andamento di R(x);
d) trovi i valori dix quando y assume il valore 1/3.
3.73. Anno scolastico 1998-1999
3.73.1. Sessione ordinaria
Il candidato scelga a suo piacimento due dei seguenti problemi e li risolva. Tempo concesso: 5 ore. 1. Siaf(x) una funzione reale di variabile reale derivabile in un punto x0.
a) Dire se la condizione f0(x
0) = 0 è:
— necessaria ma non sufficiente, — sufficiente ma non necessaria, — necessaria e sufficiente
per concludere che la funzione ha un estremo relativo nel puntox0. Fornire una esauriente dimostrazione della risposta.
b) Posto
f(x) = x
3
dovea, b sono parametri reali, determinare tali parametri in modo che la curvaγ di equazione cartesianay= f (x) abbia un estremo relativo nel punto di coordinate
3 4, 27 32 .
c) Controllato che la curvaγ cercata si ottiene per a = 2, studiare tale curva e disegnarne l’andamento in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy.
d) Nello stesso pianoOxy disegnare l’andamento della curvaγ0di equazioney= f0(x), dopo
aver determinato in particolare le coordinate dei punti comuni aγ e γ0. e) Sussiste un’evidente relazione fra l’andamento diγ e quello di γ0. Quale?
2. In un pianoα sono assegnate una circonferenza k di raggio di lunghezza data r e una parabola p passante per gli estremiA, Bdi un diametro dik e avente come asse di simmetria l’asse del segmentoAB. L’area del segmento parabolico delimitato dalla parabola p e dal segmentoABè
8 3r
2.
Dopo aver riferito il piano ad un conveniente sistema di assi cartesianiOxy: a) determinare l’equazione della circonferenzak,
b) determinare l’equazione della parabolap; c) trovare le coordinate dei punti comuni ak e p;
d) calcolare le aree delle regioni piane in cui la parabola p divide il cerchio delimitato da k; e) stabilire per quale valore dir la maggiore di tali aree è uguale a
32+ 22π − 15p3
3 cm
2.
3. Considerato il quadratoABCD, sull’arco di circonferenza di centroAe raggioAB, contenuto nel quadrato, si prenda un puntoTin modo che l’angoloTABb misuri 2x radianti. Si conduca quindi perTla retta tangente alla circonferenza e si chiaminoPeQi punti in cui essa seca le retteBCe
CDrispettivamente.
a) Esprimere in funzione dix il rapporto:
f(x) =|CP| + |CQ| |AT| .
b) Studiare la funzionef(x) ottenuta, tenendo conto dei limiti imposti alla variabile x dalla questione geometrica, e disegnare il grafico in un piano cartesiano ai fini della soluzione del punto c).
c) Utilizzare il grafico disegnato per determinare x in modo che il rapporto considerato sia uguale ad un numero realek assegnato.
d) Verificare che il rapportof(x) può essere scritto nella seguente forma: f(x) = 2 · sin 2x+ cos2x
sin 2x+ cos2x + 1. e) Stabilire che risulta:
tanπ 8 =
p 2− 1. 3.73.2. Sessione suppletiva
Il candidato scelga a suo piacimento due dei seguenti problemi e li risolva. Tempo concesso: 5 ore. 1. Data una semicirconferenza di centroOe di diametro|AB| = 2, si assuma su di essa un puntoCin
modo ohe l’angoloAOCb sia acuto. Indicata conϕ l’ampiezza di tale angolo, siano: — x= t gϕ
2,
— y= raggio della circonferenza tangente tanto al diametro quanto, nel puntoC, alla semicir- conferenza.
Dopo aver dimostrato che il centro di tale circonferenza appartiene al raggioOC, si studi e si rappresenti graficamente la funzione y = f (x) senza tenere conto delle limitazioni di natura geometrica poste adx dal problema.
2. Si deve costruire un recipiente a forma di cilindro circolare retto che abbia una capacità di 16πcm3. II candidato determini le dimensioni del recipiente che richiederanno la quantità minima di materiale.
Verificato che il cilindro cercato è quello equilatero, si determinino la superficie ed il volume della sfera ad esso circoscritta.
Considerate infine le formule:
V = 4 3πx
3 , S= πx2
che danno rispettivamente il volume di una sfera di raggiox e l’area di un cerchio sempre di raggio x se ne illustrino i risultati della derivazione rispetto a x.
3. L’informazione che si ha della parabola f(x) = ax2+ b x + c è tutta concentrata nel punto di ascissax= 5 ed è:
f(5) = 0 , f0(5) = −1 e f00(5) = −2.
— determinata la parabola e dettiAeBi suoi punti d’intersezione con l’assex calcolare l’area del triangoloABCove conCsi è denotato il punto d’incontro delle tangenti alla parabola in
Ae inBe stabilire il rapporto tra tale area e quella del segmento parabolico di baseAB; — stabilire altresì il rapporto tra i volumi descritti dalle aree prima considerate per effetto della
3.73.3. Sessione straordinaria
Il candidato scelga a suo piacimento due dei seguenti problemi e li risolva. Tempo concesso: 5 ore. 1. È assegnata, nel piano riferito ad assi cartesiani ortogonaliOxy, la curva g di equazione
y= 1 − 1 1+ x2.
Il candidato
a) studi e disegni il grafico di g e quello della curva g1simmetrica di g rispetto alla retta y= 1; b) determinik (k> 0) in modo tale che la regione limitata da g e g1e dalle rettex= ±k sia
equivalente al cerchio di raggio unitario;
c) dica in che cosa consista il problema dellaquadratura del cerchio e perché venga definito un problema classico.
2. È assegnato un tronco di cono il cui volume è doppio di quello di una sfera di raggior . Stabilire se tale tronco può essere circoscritto alla sfera e in caso affermativo esprimere i raggi delle basi del tronco in funzione del raggior della sfera. Generalizzare la questione ponendo uguale a k il rapporto tra il volume del tronco di cono e quello della sfera; stabilire le condizioni di risolubilità del problema illustrando altresì il casok= 3/2.
3. Della parabola f(x) = ax2+ b x + c si hanno le seguenti informazioni, tutte localizzate nel punto x= 0: f (0) = 1, f0(0) = 0, f00(0) = 2.
a) Determinata la parabola, si scrivano le equazioni delle tangenti ad essa condotte per il punto
Pdell’assey di modo che valga 60° l’angoloAPBb , essendoAeBi rispettivi punti di tangenza; b) accertato che il puntoPha ordinata 1/4, si scriva l’equazione della circonferenza passante
perA,BeP;
c) si calcolino le aree delle due parti in cui la circonferenza risulta divisa dall’arco di parabola di estremiAeB.