Fra le seguenti questioni il candidato tratti quelle che ritiene piu adeguate alla sua preparazione. Tempo concesso: 5 ore.
1. Sui lati oppostiAB eCDdi un rettangoloABCD ed esternamente ad esso si costruiscano due triangoli isosceliAPBeCQDaventi gli angoli alla base di ampiezzaα.
Sapendo che il perimetro dell’esagonoAPBCQDè 2p, si determinino le lunghezze dei lati del rettangolo in modo che l’area dell’esagono risulti massima. Per quale valore diα tale esagono è inscrittibile in una circonferenza?
2. Si rappresenti la funzione:
y= 6x
2+ 2x + 3
2(2x2+ 1)
dopo aver determinato massimi, minimi, flessi ed asintoti. Effettuata la sostituzionex= t e y = s, si interpreti las come la distanza percorsa su di una retta da un punto al variare del tempo t e si dica per quali valori del tempot positivo la velocità è massima in modulo e si descriva il moto del punto.
Facoltativamente si interpreti il significato della funzione pert< 0.
3. In un sistema di assi coordinati cartesiani si consideri la parabola di equazione y= x2+p3x+ 1.
Condotte per l’origineOle due rette tangenti ad essa, si scriva l’equazione della circonferenza passante perOe per i due punti di contatto e si calcolino le aree delle due regioni finite di piano delimitate dalle due curve.
4. Si enuncino le condizioni di derivabilità e di integrabilità delle funzioni e si dia qualche esempio di funzione integrabile ma non derivabile.
3.54.2. Sessione suppletiva
Fra le seguenti questioni il candidato tratti quelle che ritiene piu adeguate alla sua preparazione. Tempo concesso: 5 ore.
1. Data la funzione
y= 1+ sin x sinx
se ne rappresenti il grafico dopo aver determinato i massimi ed i minimi, per i valori di x nell’intervallo[0,2π].
Si consideri poi facoltativamente la funzione: y= log 1+ sin x sinx
e la si rappresenti utilizzando gli elementi ottenuti per la rappresentazione della funzione prece- dente.
2. In un settore circolare di raggio r e di ampiezzaπ/6, si inscriva un rettangolo avente un lato su uno dei raggi limitanti il settore e gli altri due vertici, uno sull’arco e l’altro sul rimanente raggio. Si determini tra tali rettangoli quello per il quale è minima la diagonale e si costruisca, in tal caso particolare, la figura con riga e compasso.
3. Si scriva l’equazione della parabolaα avente l’asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate, passante per i puntiP(0,3), Q(2,3) ed il cui vertice V stia sulla parabolaβ di equazione y = −x2+ 3x.
DettoWl’ulteriore punto comune alle due curve, si scrivano l’equazione della retta tangente adα inWe quella della retta tangente aβ inVe si calcoli l’area della superficie del trapezio mistilineo delimitato da queste due rette e dalle due parabole.
4. Applicando la definizione di derivata se ne determini il valore per la funzioney= sin2x.
3.55. Anno scolastico 1980-1981
3.55.1. Sessione ordinaria
Fra le seguenti questioni il candidato tratti quelle che ritiene piu adeguate alla sua preparazione. Tempo concesso: 5 ore.
1. In un sistema di assi coordinati cartesiani si scrivano le equazioni delle due circonferenze passanti per l’origineOed aventi i centri rispettivamente inC0(2,0) eC00(−1/2,0). Condotte per il punto Odue rette mutuamente perpendicolari, delle quali la prima incontra le due circonferenze, oltre che nel puntoO, nei puntiAeBrispettivamente e la seconda nei puntiCeD, si determini il quadrilateroACBDavente area massima.
2. Si studi la funzione
y= x2+16 x2
e se ne disegni il grafico. Si scrivano le equazioni delle due parabole, con gli assi paralleli all’asse delle ordinate, passanti per l’estremo relativoAdella curva di ascissa positiva, per il puntoBdella curva di ascissax= 1 e tali che l’area della regione finita di piano limitata dall’arcoABdella curva e da ciascuna delle due parabole sia 7/3.
3. In un triangolo di base|AB| = a ed altezza |CH| = h si inscriva il rettangolo, con un lato suABed i vertici opposti sugli altri due lati, che in una rotazione completa attorno alla rettaABgenera il solido di volume massimo. Supposto che gli angoli adiacenti alla base siano uno doppio dell’altro, si calcolino i valori che essi assumono quando detto volume massimo è
a3π 36 . 4. Si dimostri l’identità: n k =n − 1 k +n − 1 k− 1 . 3.55.2. Sessione suppletiva
Fra le seguenti questioni il candidato tratti quelle che ritiene piu adeguate alla sua preparazione. Tempo concesso: 5 ore.
1. In una circonferenza di raggior si consideri la cordaABche distar/2 dal centro. Si prenda sul maggiore degli archi öABil puntoC, si prolunghiACdi un segmentoCDtale cheCD=ACe si determini per quale posizione diCè massima l’area del triangoloCDB.
2. Si determinino i coefficienti dell’equazione: y= ax
3+ b x2+ c x + d
x2
in modo che la curva da essa rappresentata ammetta come asintoto obliquo la retta di equazione y= x − 2, abbia un estremo relativo nel punto di ascissa x = 2 ed un flesso nel punto di ascissa x= −1. Se ne disegni il grafico.
Si determinino inoltre le intersezioni della curva con l’iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati e passante per il punto(1,3) e si calcoli l’area della regione finita di piano limitata dalle due curve.
3. Si scrivano le equazioni delle due parabole, con gli assi paralleli all’asse delle ordinate, aventi nel puntoA(1,0) la stessa retta tangente di equazione y = 2x − 2 ed intersecanti l’asse delle ascisse, la
prima nel puntoB(3,0) e la seconda nel puntoC, interno adAB, tale che il segmento parabolico determinato su questa daACrisulti la quarta parte del segmento parabolico determinato sulla prima daAB.
4. Si ricavi la formula che dà il numero delle combinazioni semplici din elementi a k a k.
3.56. Anno scolastico 1981-1982
3.56.1. Sessione ordinaria
Fra le seguenti questioni il candidato tratti quelle che ritiene piu adeguate alla sua preparazione. Tempo concesso: 5 ore.
1. Si determinino i coefficienti dell’equazione:
y= ax3+ b x2+ c x + d
in modo che la curva da essa rappresentata tocchi la rettay= x nel puntoA(1,1) e la retta y = 0
nel puntoB(3,0). Se ne disegni il grafico.
Si calcoli l’area della regione finita di piano delimitata dalle due rette e dall’arco di curvaAB. 2. In un sistema di assi coordinati cartesiani si consideri il triangolo equilateroABCavente il vertice
Anel punto(3,0), il verticeBsull’asse delle ordinate ed il verticeCsulla retta di equazionex= 3. Si determinino i coefficienti dell’equazione:
y= ax2+ b x + c
in modo che la parabola da essa rappresentata passi per i verticiA,Bdel triangolo e divida questo in due parti delle quali quella determinata dal latoABsia la metà dell’altra.
3. Si studi la funzione
y= sin3x+ cos3x nell’intervallo chiuso[0,2π] e se ne disegni il grafico.
4. Si calcoli la somma: S= 1 1· 2+ 1 2· 3+ 1 3· 4+ ··· + 1 n· (n + 1)+ ··· conn∈ N, tendente all’infinito.
3.56.2. Sessione suppletiva
Fra le seguenti questioni il candidato tratti quelle che ritiene piu adeguate alla sua preparazione. Tempo concesso: 5 ore.
1. Si studi la funzione y= 1 x− 1 2 e se ne disegni il grafico.
Si determinino le intersezioni di questa curva con la curva di equazione y= 1
x− 1
e si calcoli l’area della regione finita di piano delimitata dalle due curve. 2. Si determinino i coefficienti dell’equazione:
y= ax2+ b x + c (a > 0)
in modo che la parabola da essa rappresentata sia tangente alle rette di equazioney= x e y = x/2 ed abbia la corda congiungente i due punti di contatto di lunghezza 5/2. Si calcoli l’area del segmento parabolico delimitato dalla stessa congiungente.
3. Si studi la funzione:
y= 1
sinx cos x nell’intervallo aperto]0,2π[ e se ne disegni il grafico. 4. Si verifichi che: lim x→0 log(1 + x) + log(1 − x) cosx− 1 = 2.
3.57. Anno scolastico 1982-1983
3.57.1. Sessione ordinariaFra le seguenti questioni il candidato tratti quelle che ritiene piu adeguate alla sua preparazione. Tempo concesso: 5 ore.
1. Si studi la funzione:
y= a
2
x2− 1
e se ne disegni il grafico.
Si determinino le intersezioni della curva da essa rappresentata con la circonferenza di equazione x2+ y2= a2e si trovi il valore dia per cui dette intersezioni sono vertici di un esagono regolare.
In questo caso particolare si calcolino le aree delle regioni finite di piano delimitate dalle due curve. 2. Una parabola passante per gli estremi di un diametro di una circonferenza di raggior ha le tangenti in tali punti perpendicolari fra loro e l’asse del diametro come asse di simmetria. Si scrivano, in un sistema di assi cartesiani opportunamente scelto, le equazioni della parabola e della circonferenza e si calcolino le aree delle regioni finite di piano delimitate dalle due curve.
3. Si studi la funzione: y= sin x+π 3 + cosx−π 6 e se ne disegni il grafico.
Utilizzando il grafico precedente si studi la funzioney= ef(x), dove f(x) è la funzione preceden- temente studiata.
4. Si dimostri per via elementare che se due grandezze positive hanno somma costante, il loro prodotto è massimo quando esse sono uguali.
3.57.2. Sessione suppletiva
Fra le seguenti questioni il candidato tratti quelle che ritiene piu adeguate alla sua preparazione. Tempo concesso: 5 ore.
1. Si determinino i coefficienti dell’equazione:
y= ax3+ b x2+ c x + d
in modo che la curva da essa rappresentata abbia due estremi relativi nei puntiA(1,1) eB(−1,−1).
Se ne disegni il grafico.
Si scriva l’equazione della parabola, con l’asse parallelo all’asse delle ordinate, passante per il punto
Ae per i punti in cui la curva data incontra il semiasse positivo delle ascisse e si calcolino le aree delle regioni finite di piano delimitate dalle due curve.
2. Sulla semiretta asse di simmetria di una parabola assegnata si fissi un puntoQ. Si determinino, in un sistema di assi cartesiani opportunamente scelto, le coordinate dei puntiPdella parabola le cui distanze daQhanno un valore minimo e si scriva l’equazione della circonferenza avente centro in
Qe per raggio tale valore minimo. 3. Si studi la funzione:
e se ne disegni il grafico dopo aver determinatoa in modo che la curva abbia un flesso nel punto di ascissa
x=7 6π. 4. Si dimostri il teorema di Torricelli:
Z b
a
f(x)dx = F (a) − F (b).