La prova richiede lo svolgimento di uno dei due problemi proposti e le risposte a cinque domande scelte all’interno del questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
Sia f la funzione definita da f(x) = 2x − 3x3.
a) Disegnate il graficoG di f .
b) Nel primo quadrante degli assi cartesiani, considerate la rettay= c che interseca G in due punti distinti e le regioni finite di pianoR e S che essa delimita con G. Precisamente: R delimitata dall’assey, da G e dalla retta y= c e S delimitata da G e dalla retta y = c.
c) Determinatec in modo che R ed S siano equivalenti e determinate le corrispondenti ascisse dei punti di intersezione diG con la retta y= c.
d) Determinate la funzioneg il cui grafico è simmetrico di G rispetto a y= 4/9. Problema 2
ABCè un triangolo rettangolo di ipotenusaBC.
a) Dimostrate che la mediana relativa aBCè congruente alla metà diBC.
b) Esprimete le misure dei cateti diABCin funzione delle misure, supposte assegnate, dell’ipotenusa e dell’altezza ad essa relativa.
c) Con|BC| =p3 metri, determinate il conoK di volume massimo che si può ottenere dalla rotazione completa del triangolo attorno ad uno dei suoi cateti e la capacità in litri diK.
d) Determinate la misura approssimata, in radianti e in gradi sessagesimali, dell’angolo del settore circolare che risulta dallo sviluppo piano della superficie laterale del conoK.
Questionario
1. Trovate due numeria e b , a6= b , che hanno somma e prodotto uguali.
2. Provate che la superficie totale di un cilindro equilatero sta alla superficie della sfera ad esso circoscritta come 3 sta a 4.
3. Date un esempio di funzione f(x) con un massimo relativo in (1,3) e un minimo relativo in (−1,2).
4. Dimostrate che l’equazione ex+ 3x = 0 ammette una ed una sola soluzione reale. 5. Di una funzione g(x), non costante, si sa che:
lim
x→2g(x) = 3 e g(2) = 4.
Trovate una espressione dig(x).
6. Verificate che le due funzioni f(x) = 3log x e g(x) = log(2x)3hanno la stessa derivata. Quale giustificazione ne date?
7. Un triangolo ha due lati e l’angolo da essi compreso che misurano rispettivamentea, b eδ. Quale è il valore diδ che massimizza l’area del triangolo?
8. La misura degli angoli viene fatta adottando una opportuna unità di misura. Le più comuni sono i gradisessagesimali, i radianti, i gradi centesimali. Quali ne sono le definizioni?
9. Calcolate
Z1
0
arcsin(x)dx.
10. Considerate gli insiemiA= {1,2,3,4} e B = {a, b, c}; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?
3.78.2. Sessione suppletiva
La prova richiede lo svolgimento di uno dei due problemi proposti e le risposte a cinque domande scelte all’interno del questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy, è assegnata la curva K di equazione
(1) y=2x(6 − x)
2+ x .
a) Disegnarne l’andamento, indicando conAil suo punto di massimo relativo. b) Calcolare quanti punti, aventi le coordinate del tipo
a 2,
b 2
dovea, b sono numeri interi, appartengono alla regione piana (contorno compreso) delimitata dall’assex e dalla curva K.
c) Fra i triangoli isosceli aventi il vertice propriamente detto inAe la base sull’assex, determinare quello il cui perimetro è 16.
d) Calcolare le aree delle due regioni in cui la curvaK divide il triangolo trovato sopra.
e) Spiegare perché la funzione(1) non è invertibile nel suo dominio. Se si restringe convenientemente questo dominio si ottiene una funzione invertibile? Qual è in tal caso la funzione inversa? Problema 2
Una piramide ha per base il quadratoABCDdi lato lungo 7 cm. Anche l’altezzaVHdella piramide è lunga 7 cm e il suo piedeHè il punto medio del latoAB. Condurre per la rettaABil pianoα che formi con il piano della base della piramide un angoloϕ tale che
cosϕ =3 5
e indicare conEFla corda che il pianoα intercetta sulla facciaVCDdella piramide.
a) Spiegare perché il quadrilatero convessoABEFè inscrivibile in una circonferenzaγ. b) Tale quadrilatero è anche circoscrivibile a una circonferenza?
c) Calcolare i volumi delle due parti in cui la piramide è divisa dal pianoα.
d) Dopo avere riferito il pianoα ad un conveniente sistema di assi cartesianiOxy, determinare l’equazione della circonferenzaγ.
Questionario 1. La funzione
f(x) =3x− 2 sin x 2x− 3 sin x
è, perx→ +∞, una forma indeterminata di tipo ∞/∞. Il limite della funzione per x → +∞ a) non esiste;
b) è 2/3; c) è 3/2;
d) è un valore diverso da 2/3, 3/2.
Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta effettuata. 2. Determinare il più grande valore din per cui l’espressione numerica
n
X
k=5
k non supera 10000.
3. SiaF(x) una funzione reale di variabile reale derivabile in un punto a. Si sa che se F0(a) > 0 alloraF(x) è crescente in a, mentre se F0(a) < 0 allora F (x) è decrescente in a. Dimostrare che
condizione sufficiente ma non necessaria affinchéF(x) ammetta in a un massimo relativo è che risultiF0(a) = 0 ed F00(a) < 0.
4. Risolvere la seguente disequazione inx:
(log x)2> log x2 .
5. Considerato un triangolo equilatero di altezzah e dettoPun suo qualsiasi punto interno, indicare conx, y, z le distanze diPdai lati del triangolo. La sommax+ y + z risulta:
a) sempre maggiore dih; b) sempre minore dih; c) sempre uguale adh;
d) a volte maggiore dih, a volte minore, a volte uguale.
Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta effettuata. 6. Riferito il piano ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy, si consideri l’equazione xy+ px + q y+ r = 0. Determinare sotto quali condizioni per i coefficienti p, q, r (non tutti nulli) essa rappresenta l’insieme di due rette.
7. Il quadrilateroQ00 avente per vertici i punti medi dei lati di un quadrilatero convessoQ0è un quadrato. Dire quali sono le caratteristiche del quadrilateroQ0e darne esauriente dimostrazione.
8. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale continua su tutto l’asse reale. Si conosce il valore dell’integrale
Z3
0
f(x)dx. É allora possibile calcolare:
a) R3 0 f x 3 dx; b) R3 0 f(3x)dx; c) R1 0 f x 3 dx; d) R1 0 f(3x)dx.
Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta operata. 9. Determinare il dominio della funzione
f(x) = log2x−p4x− 1.
10. Di triangoli non congruenti, di cui un lato è lungo 10 cm e i due angoli interni adiacenti ad esso,α eβ, sono tali che
sinα =3 5 e sinβ = 24 25 ne esistono: a) 0 , b) 1 , c) 2 , d) 3.
Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta operata. 3.78.3. Sessione straordinaria
Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
In un piano è assegnata la parabola p di verticeVe fuocoFtali che, rispetto ad una assegnata unità di lunghezza, il segmentoVFsia lungo 1/2. Indicato conEil punto simmetrico diFrispetto aVe riferito il piano ad un conveniente sistema di assi cartesianiOxy:
a) Determinare l’equazione della parabola p e stabilire se esiste un puntoAdip tale che il triangolo
AEFsia rettangolo inA.
b) ChiamatoPun generico punto della parabolap, trovare le coordinate del baricentroGdel triangolo
c) Indicati conRedSdue punti appartenenti il primo alla parabola p ed il secondo al luogo k e situati nel primo quadrante su una rettarperpendicolare all’asse di simmetria della parabola p, calcolare a quale distanza daVbisogna condurre la rettaraffinché l’area della regione finita di piano delimitata dal segmentoRS, dall’arcoVRdella parabola p e dall’arcoVSdel luogok sia uguale a
8 9
3−p3.
d) Stabilire se la distanza trovata sopra è espressa da un numero razionale o irrazionale. Problema 2
In un piano, riferito a un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonaliOxy, sono assegnate le curve di equazione:
y=1+ a sin x cosx dovea è un parametro reale.
a) Dimostrare che si tratta di curve periodiche con periodo 2π, che hanno in comune infiniti punti dei quali si chiedono le coordinate.
b) Tra le curve assegnate determinare quelle che hanno come tangente orizzontale la retta di equazione y=
p 3 2 .
c) Controllato che due curve soddisfano alla condizione precedente, dimostrare che sono l’una simmetrica dell’altra rispetto all’asse y e disegnarle nell’intervallo −π ≤ x ≤ π, dopo aver spiegato, in particolare, perché nessuna di esse presenta punti di flesso.
Questionario
1. Calcolare l’ampiezza dell’angolo diedro formato da due facce consecutive di un ottaedro regolare, espressa in gradi sessagesimali, ed approssimati al secondo.
2. Dimostrare che, se due piani sono perpendicolari, ogni retta perpendicolare ad uno di essi è parallela all’altro o è contenuta in esso. Si puo concludere che ogni retta parallela a uno dei due piani è perpendicolare all’altro? Fornire un’esauriente spiegazione della risposta.
3. Determinare il dominio della funzione
f(x) = ln(1 − 2x +px). 4. Il limite di tanx per x tendente a+∞:
a) è+∞; b) èπ
2; c) non esiste;
d) esiste ma non si riesce a calcolare.
Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata. 5. Dimostrare il seguente teorema:Condizione sufficiente ma non necessaria affinché la funzione reale
di variabile reale f(x) sia continua nel punto a e che sia derivabile in a.
6. Utilizzando il calcolo integrale dimostrare la formula che fornisce il volume di una sfera di raggio assegnato.
7. Indica conSnla somma din termini in progressione geometrica, di primo termine 1/2 e ragione 1/2, calcolare
lim
n→+∞
Sn n .
8. Calcolare il valore della seguente somma 12+ 22+ 32+ ··· + 1002.
9. In una classe di 25 alunni bisogna estrarre a sorte una rappresentanza di 3 elementi. Calcolare quante sono le possibili terne di rappresentanti.
10. Alla finale dei 200 m piani partecipano 8 atleti, fra i quali figurano i nostri amici Antonio e Pietro. Calcolare il numero dei possibili ordini di arrivo che registrano i nostri due amici fra i primi tre classificati.