Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
Un filo metallico di lunghezzaλ viene utilizzato per delimitare il perimetro di un’aiuola rettangolare. a) Quale è l’aiuola di area massima che è possibile delimitare?
Si pensa di tagliare il filo in due parti e di utilizzarle per delimitare un’aiuola quadrata ed un’altra circolare. Come si dovrebbe tagliare il filo affinché:
b) la somma delle due aree sia minima? c) la somma delle due aree sia massima?
Un’aiuola, una volta realizzata, ha la forma di un parallelepipedo rettangolo; una scatola, cioè, colma di terreno. Si discute di aumentare del 10% ciascuna sua dimensione. Di quanto terreno in più, in termini percentuali, si ha bisogno?
Problema 2
Si considerino le funzionif e g determinate da f(x) = log(x) e g(x) = ax2, essendoa un parametro reale e il logaritmo in base e.
a) Si discuta, al variare dia, l’equazione log(x) = ax2e si dica, in particolare, per quale valore dia i grafici di f e g sono tra loro tangenti.
b) Si calcoli, posto a= 1, l’area che è compresa fra i grafici delle funzioni f e g e dalle rette di equazionix= 1 e x = 2.
c) Si studi la funzione h(x) = log(x) − ax2scegliendo pera un valore maggiore di 1/(2e) e se ne disegni il grafico.
Questionario
1. Si narra che l’inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64acasella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa 38 g, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall’inventore.
2. I poliedri regolari - noti anche comesolidi platonici - sono, a meno di similitudini, solo cinque: il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro. Sai dimostrarlo?
3. Un foglio di carta deve contenere: un’area di stampa di 50 cm2, margini superiore e inferiore di
4 cm e margini laterali di 2 cm. Quali sono le dimensioni del foglio di carta di area minima che si può utilizzare?
4. La capacità di un serbatoio è pari a quella del cubo inscritto in una sfera di un metro di diametro. Quanti sono, approssimativamente, i litri di liquido che può contenere il serbatoio?
5. Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di(a + b)nè uguale a 2nper ognin∈ N. 6. L’equazione risolvente di un dato problema è:k cos 2x−5k +2 = 0 dove k è un parametro reale ed x ha le seguenti limitazioni: 15◦< x < 45◦. Si discuta per quali valori dik le radici dell’equazione siano soluzioni del problema.
7. La funzione f(x) = x3− 2x2soddisfa le condizioni del teorema di Lagrange nell’intervallo[0,1]?
Se si, trova il puntoξ che compare nella formula f(b) − f (a)
b− a = f
0(ξ ).
8. La funzione f(x) = tan x assume valori di segno opposto negli estremi dell’intervallo I = π 4, 3π 4 ,
eppure non esiste alcunx∈ I tale che f (x) = 0. È così? Perché? 9. La funzione f(x) = a sin x + b cos x ha un estremo relativo per
x=4π 3 ed è f 2π 3 = 1 Si trovinoa e b e si dica quale è il periodo di f(x). 3.80.2. Sessione suppletiva
La prova richiede lo svolgimento di uno dei due problemi proposti e le risposte a cinque domande scelte all’interno del questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
Nel piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonaliOxy, sono assegnate le due parabole p0e p00di equazioni rispettivamente:
y= x2 , x= y2− 2y.
a) Fornirne la rappresentazione grafica, dopo aver determinato, fra l’altro, i loro punti comuni. b) Indicato conV0il vertice della parabola p0, conV00il vertice della parabola p00e conPil punto in
cui p00interseca il semiasse positivo delley, calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dall’arcoV0V00della parabola p0, dall’arcoV00Pdella parabola p00e dal segmentoV0P.
c) Calcolare l’ampiezza dell’angolo secondo cui le due parabole si secano inOe con l’uso di una calcolatrice esprimerla in gradi sessagesimali, primi e secondi.
d) Nel segmento parabolico delimitato dalla retta di equazioney= 4 e dalla parabola p0inscrivere il rettangolo avente due lati paralleli all’assey ed area massima.
e) Stabilire se il rettangolo trovato ha anche il massimo perimetro. Problema 2
Nel piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonaliOxy, sono assegnate le curve di equazione:
y= x+ k x2
dovek è un parametro reale non nullo.
a) Dimostrare che non hanno punti in comune e ognuna di esse presenta uno ed un solo flesso. b) Tra le curve assegnate, indicare conγ quella che ha come tangente inflessionale la retta di equazione
x+ 27y − 9 = 0.
c) Disegnare l’andamento di γ, dopo averne trovato le caratteristiche salienti e, in particolare, l’equazione della rettattangente alla curvaγ nel puntoAdi ascissa 1 e le coordinate dell’ulteriore punto chetha in comune conγ.
d) Determinare l’equazione della circonferenzac, tangente alla curvaγ nel punto Aed avente il centro sull’assey.
e) Calcolare l’area della minore delle regioni in cui l’assex divide il cerchio delimitato da c. Questionario
1. Si considerino il rettangoloABCDe la parabola avente l’asse di simmetria parallelo alla rettaAD, il vertice nel punto medio del latoABe passante per i puntiCeD. In una rotazione di mezzo giro attorno all’asse della parabola il rettangolo genera un solido di volumeV0e la regione piana
delimitata dalla parabola e dalla rettaCDgenera un solido di volumeV00. Determinare il rapporto V/V00.
2. Il numero della soluzioni dell’equazione sin(2x)cos x = 2 nell’intervallo reale [0,2π] è a) 0; b) 2; c) 3; d) 5.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta operata. 3. Il limite della funzione
f(x) = x sin 1 x perx→ 0: a) non esiste; b) è 0;
c) è un valore finito diverso da 0; d) è+∞.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta operata. 4. Trovare, col procedimento preferito ma con esauriente spiegazione, la derivata rispetto adx della
funzione f(x) = tan x.
5. Calcolare l’ampiezza dell’angolo diedro formato da due facce di un tetraedro regolare, espressa in gradi sessagesimali, ed approssimata alprimo.
6. Determinare il dominio della funzione f(x) =p3 x2e stabilire se la funzione è derivabile in tale
dominio.
7. Considerata la funzione reale di variabile reale f(x), affermare che lim
x→+∞f(x) = +∞
significa che per ogni numero realeM esiste un numero reale N tale che, per ogni x, se x> N allora f(x) > M. È vero o falso? Accompagnare la risposta con un’interpretazione grafica. 8. É assegnato un triangolo equilatero di lato lungoL. Si costruisca un secondo triangolo avente per
vertici i punti medi dei lati del primo e, così proseguendo, unn-esimo triangolo avente per vertici i punti medi dei lati del triangolo(n − 1)-esimo. Calcolare il limite cui tende la somma delle aree deglin triangoli quando n tende ad∞.
9. Si consideri la seguente uguaglianza:
log(2x + 1)4= 4log(2x + 1).
E vero o falso che vale per ognix reale? Fornire un’esauriente spiegazione della risposta. 10. Cinque ragazzi sono contrassegnati con i numeri da 1 a 5. Altrettante sedie, disposte attorno ad
un tavolo, sono contrassegnate con gli stessi numeri. La sedia 1, posta a capotavola, è riservata al ragazzo 1, che è il caposquadra, mentre gli altri ragazzi si dispongono sulle sedie rimanenti in maniera del tutto casuale. Calcolare in quanti modi i ragazzi si possono mettere seduti attorno al tavolo.
3.80.3. Sessione straordinaria
Il candidato risolva uno dei problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
É dato il triangoloABCin cui:
|AB| =25
2 , |AC| = 5 p
5, tan ˆA= 2.
Determinare l’altezza del triangolo relativo al latoABe tracciare la circonferenzak avente centro inC
e tangente al latoAB. Dopo aver riferito il piano della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali, in modo, però, che uno degli assi di riferimento sia parallelo alla rettaAB:
a) scrivere l’equazione della circonferenzak;
b) trovare le coordinate dei vertici del triangolo e del puntoDin cui la circonferenzak interseca il segmentoBC;
c) determinare l’equazione della parabola p, avente l’asse perpendicolare alla rettaAB, tangente inD
alla circonferenzak e passante perA;
d) calcolare le aree delle due regioni in cui la parabola p divide il triangoloABC;
e) trovare, infine, le coordinate dei punti comuni alla circonferenzak ed alla parabola p. Problema 2
Si considerino i polinomi di quinto grado, nella variabilex, con coefficienti reali, i cui grafici, rappre- sentati in un piano riferito ad un sistema di assi cartesianiOxy, sono simmetrici rispetto all’origineOed hanno un massimo relativo nel punto
−2,64
15
. a) Trovare l’equazioney= f (x) dei grafici suddetti.
b) Dimostrare che tali grafici hanno 3 punti in comune, in due dei quali hanno anche la stessa tangente.
c) Indicare conγ il grafico avente come tangente inflessionale l’asse x e disegnarne l’andamento. d) Indicato conP(x) il polinomio rappresentato da γ e chiamati u e v (u < v) le ascisse dei punti,
distinti daO, in cuiγ interseca l’asse x, calcolare: Z v
u
P(x)dx.
e) Dopo aver controllato cheγ ha tre flessi allineati, determinare le ascisse in cui la retta dei flessi intersecaγ.
Questionario
1. È assegnato un pentagono regolare di lato lungoL. Recidendo opportunamente, in esso, cinque triangoli congruenti, si ottiene un decagono regolare: calcolarne la lunghezza del lato. (si lascino indicate le funzioni goniometriche degli angoli coinvolti).
2. Una piramide quadrangolare regolare è tale che la sua altezza è il doppio dello spigolo di base. Calcolare il rapporto fra il volume del cubo inscritto nella piramide e il volume della piramide stessa.
3. Se le funzioni f(x) e g(x) entrambi tendenti a 0, quando x → a, non soddisfano le condizioni previste del teorema di De L’Hôpital, non è possibile calcolare il limite di
f(x) g(x)
quandox→ a. É vero o falso? Fornire una esauriente spiegazione della risposta. 4. Il limite della funzione f(x) = x − ln x, per x → ∞:
a) è 0; b) è un valore finito diverso da 0; c) è+∞; d) è−∞.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta operata. 5. Dimostrare che la derivata, rispetto adx, della funzione arctan(x) è
1 1+ x2.
6. Dopo aver enunciato il teorema di Rolle, spiegare in maniera esauriente se può essere applicato alla funzione f(x) =px2, nell’intervallo[−1,1].
7. Giustificare con considerazione analitica o mediante considerazione grafica, che la seguente equazione:
x5+ x3+ 1 = 0
ammette una ed una sola soluzione reale. Trovare, quindi, l’intervallo[z, z +1] al quale appartiene tale soluzione essendoz un numero intero.
8. Considerata l’equazione: x5− 2x3+ 1 = 0, spiegare, con il metodo preferito ma in maniera esauriente, perché non può ammettere più di una soluzionerazionale.
9. Considerare l’equazione:
cosx
2sin(2x) = 12,
spiegare in maniera esauriente, se ammette soluzioni reali o se non ne ammette.
10. Una classe è formata da 28 alunni, di cui 16 femmine e 12 maschi. Fra le femmine c’è una sola “Maria” fra i maschi c’è un solo “Antonio”. Si deve formare una delegazione formata da 2 femmine
e 2 maschi. Quante sono le possibili delegazioni comprendenti “Maria” e “Antonio”?
3.81. Anno scolastico 2006-2007
3.81.1. Sessione ordinaria
Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 10 quesiti del questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
Si considerino i triangoli la cui base è|AB| = 1 e il cui verticeCvaria in modo che l’angoloCbABsi mantenga doppio dell’angoloABCb .
a) Riferito il piano ad un conveniente sistema di coordinate, si determini l’equazione del luogo geometricoγ descritto daC.
b) Si rappresentiγ, tenendo conto, ovviamente, delle prescritte condizioni geometriche.
c) Si determini l’ampiezza dell’angoloAbBCche rende massima la somma dei quadrati delle altezze relative ai latiACeBCe, con l’aiuto di una calcolatrice, se ne dia un valore approssimato in gradi e primi (sessagesimali).
d) Si provi che seAbBC= 36◦allora è
|AC| =
p 5− 1
2 .
Problema 2
Si consideri un cerchioC di raggio r .
a) Tra i triangoli isosceli inscritti inC si trovi quello di area massima.
b) Si denoti conSnl’area del poligono regolare din lati inscritto in C . Si dimostri che
Sn= n 2r
2sin2π
n
e si trovi un’analoga espressione per l’area del poligono regolare din lati circoscritto a C . c) Si calcoli il limite diSnpern→ ∞.
d) Si spieghi in che cosa consista il problema della quadratura del cerchio e se, e in che senso, si tratti di un problema risolubile o meno.
Questionario
1. La regioneR delimitata dal grafico di y= 2px, dal- l’asse x e dalla retta x = 1 (in figura) è la base di un solidoS le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’assex, sono tutte triangoli equilateri. Si calcoli il volume diS.
−1 1 2 1 2 O R x y
2. Le misure dei lati di un triangolo sono 40 cm, 60 cm e 80 cm. Si calcolino, con l’aiuto di una calcolatrice, le ampiezze degli angoli del triangolo approssimandole in gradi e primi sessagesimali. 3. Si determini, al variare dik, il numero delle soluzioni reali dell’equazione:
4. Un serbatoio di olio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 1 metro. Si dica quanti litri di olio il serbatoio può contenere.
5. Si mostri che la funzioney= x3+8 soddisfa le condizioni del teorema del valor medio (o teorema di Lagrange) sull’intervallo[−2,2]. Si determinino i valori medi forniti dal teorema e se ne illustri il significato geometrico.
6. Si sa che il prezzo p di un abito ha subito una maggiorazione del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni. Che cosa si può dire del prezzo finale dell’abito?
7. Sef(x) è una funzione reale dispari (ossia il suo grafico cartesiano è simmetrico rispetto all’origine), definita e integrabile nell’intervallo[−2,2], che dire del suo integrale esteso a tale intervallo? Quanto vale nel medesimo intervallo l’integrale della funzione 3+ f (x)?
8. Si risolva l’equazione: 4n 4 = 15n − 2 3 . 9. Si calcoli l’integrale indefinito
Z p
1− x2dx
e, successivamente, si verifichi che il risultato di Z1
0
p
1− x2dx
è in accordo con il suo significato geometrico.
10. Per orientarsi sulla Terra si fa riferimento ameridiani e a paralleli, a latitudini e a longitudini. Supponendo che la Terra sia una sferaS e che l’asse di rotazione terrestre sia una rettarpassante per il centro diS, come si può procedere per definire in termini geometrici meridiani e paralleli e introdurre un sistema di coordinate geografiche terrestri?
3.81.2. Sessione suppletiva
Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 10 quesiti del questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
Rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy si consideri il puntoA(2,0).
a) Si scriva l’equazione del luogo dei punti del piano che verificano la condizione: |PO|2+ 2 · |PA|2= 8
controllando che si tratta di una circonferenza di cui si calcolino le coordinate del centro e il raggio.
b) Si determini l’ampiezza dell’angolo acuto formato dalla rettaOBcon la tangente alla circonferenza inB, essendoBil punto della curva avente la stessa ascissa diAe ordinata positiva.
c) Si scriva l’equazione della parabola cubicay= ax3+ b x2+ c x + d che presenta, nell’origine, un flesso con tangente orizzontale e passa perB; si studi tale funzione e si tracci il suo graficoC . d) Si calcoli l’area della regione finita di piano limitata dal segmentoOBe dall’arcoOBdella suddetta
parabola cubica. Problema 2
Si consideri la funzione:
f(x) = e3x+ 2e2x− 3ex.
a) Si studi tale funzione e si tracci il suo graficoC , su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy.
b) Si determinino le coordinate del puntoA, in cui la curvaC incontra la curva C0rappresentativa dell’equazioney= ex.
c) Si scrivano l’equazione della tangente alla curvaC nell’origine e l’equazione della tangente alla curvaC0nel puntoA.
d) Si calcoli l’area della superficie piana, delimitata dalla curvaC , dall’asse x e dalla retta di equazione x= log3.
Questionario
1. Si calcoli il limite della funzione
f(x) = x
2cosx
x2− sin2x
quandox tende a 0.
2. Si determini il campo di esistenza della funzione
y= arcsin(tan x), con 0≤ x ≤ 2π.
3. Si calcoli il valore medio della funzioney= tan2x, nell’intervallo 0≤ x ≤ π
4.
4. Si provi che per la funzione f(x) = x3− 8, nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 2, sono verificate le condizioni
di validità del teorema di Lagrange e si trovi il punto in cui si verifica la tesi del teorema stesso. 5. Fra tutti i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza di raggior , si determini quello per cui è
massima la somma dell’altezza e dei doppio della base.
6. Si consideri la seguente proposizione:Il luogo dei punti dello spazio equidistanti da due punti distinti è una retta. Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta.
7. Sia data la funzione: f(x) = x arctan1 x, perx6= 0, 0, perx= 0.
Si dica se essa è continua e derivabile nel punto di ascissa 0.
8. Si determini l’area della regione piana limitata curva di equazioney= ex, dalla curva di equazione y= x3e dalle rettex= 0 e x = 1.
9. Si determinino le equazioni degli asintoti della curva f(x) =2x 2+ 3 x+ 2 . 10. Si risolva la disequazione x 3 > 15 2 x 2 . 3.81.3. Sessione straordinaria
Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 10 quesiti del questionario. Tempo concesso: 6 ore.
Problema 1
Data una semicirconferenza di diametro|AB| = 2r , si prenda sul prolungamento diAB, dalla parte di
B, un puntoCtale che siaBC=AB. EssendoPun punto della semicirconferenza: a) Si esprima per mezzo di r e dell’ampiezza dell’angolo x=AbPBil rapporto
y= |CP|
2
|AP| · |PB|.
b) Si studi nell’intervallo[0,2π] la funzione y = f (x) espressa per mezzo di tan x.
c) Si calcoli in gradi e primi(sessagesimali) il valore di x, nell’intervallo 0< x < π/2, per cui il rapportoy assume il valore minimo.
d) Si calcoli l’area della regione finita di piano delimitata dalla curva rappresentativa della funzione y= f (x), dall’asse delle ascisse e delle rette di equazione
x=π
4 e x=
π
3. Problema 2
Si consideri la funzionef(x) = logpx2− 4.
a) Si studi tale funzione e si tracci il suo graficoC su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy.
b) Si scrivano le equazioni delle tangenti aC nei punti in cui essa incontra l’asse x e si calcoli l’area del triangolo formato dalle suddette tangenti e dall’assex medesimo.
c) Si studi la funzione derivata f0(x) e se ne tracci il grafico C0.
d) Si calcoli l’area della superficie piana, delimitata dalla curvaC0, dall’assex e dalla retta di equazione x= −p3.
Questionario
1. Si determini il campo di esistenza della funzione
y= (x2− 3x) 1 |x − 4| . 2. Si calcoli il limite della funzione p
x+px+ 3 − 3 p
x−px+ 3 + 1 quandox tende a 1.
3. Si calcoli, in base alla definizione di derivata, la derivata della funzione f(x) =1− x
2
1+ x2
nel puntox= −1.
4. In un sistema di assi cartesiani ortogonaliOxy si consideri l’ellisseγ d’equazione x2+ 9y2= 9 e di asse maggioreAB. Fra i trapezi isosceli contenuti nel semipianoy≥ 0 iscritti in γ e di cui una base èAB, si determini quello di area massima.
5. Si consideri la seguente proposizione: Dato un triangolo rettangolo, il cerchio che ha per raggio l’ipotenusa è la somma ei cerchi che hanno per raggio i cateti. Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta. 6. Si consideri la funzione: f(x) = sin2x sin1 x, perx≤ 0, 0, perx= 0,
Se ne studi la continuità nel puntox= 0.
7. Si calcoli il volume del solido generato in una rotazione completa attorno all’asse dellex della re- gione finita di piano delimitata dalla curva d’equazioney=psinx e dell’asse stesso nell’intervallo 0≤ x ≤ π.
8. Si determinino i coefficienti dell’equazione y= ax
2+ 6
b x+ 3
9. Si enunci il teorema diLagrange e se ne fornisca un’interpretazione geometrica. 10. Si determinino le costantia, b in modo che la funzione
F(x) = a sin3x+ b sin x + 2x sia una primitiva della funzione f(x) = cos3x− 3 cos x + 2.