L’applicazione del metodo di Markowitz

Dopo aver mostrato l’effetto di una diversificazione realizzata sostituendo i due asset più rischiosi di un determinato portafoglio, occupiamoci di verificare un metodo più rigoroso, la cui applicazione mira ancora alla riduzione del rischio di portafoglio: parliamo del metodo di Markowitz, che abbiamo già introdotto nel capitolo 1 analizzando la frontiera dei portafogli. Per ogni caso preso in esame ci limiteremo a considerare i titoli facenti parte di quel determinato portafoglio equi-

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pesato come le uniche attività presenti nell’economia, osservando quindi il comportamento delle misure di rischio al variare delle quote assegnate ai vari asset.

3.3.1 Procedimento seguito per il calcolo dei portafogli di Markowitz

Abbiamo bisogno della matrice di varianza-covarianza e dei rendimenti dei titoli facenti parte del portafoglio da utilizzare.

Dopo aver calcolato il rendimento medio e la deviazione standard del portafoglio equi-pesato, utilizziamo la funzione Risolutore di Excel, impostando come obiettivo quello di minimizzare la deviazione standard, mantenendo però il rendimento uguale al caso equi-pesato. Inseriamo quindi tre vincoli: uno che renda la somma delle quote uguale ad uno, un altro che eguagli il rendimento del portafoglio di Markowitz a quello del portafoglio equi-pesato, ed il terzo che elimini la possibilità di quote negative. Aggiungiamo l’ultimo vincolo al fine di non permettere le short-sales, che non sono uno strumento semplicissimo da padroneggiare e che l’investitore medio conosce in maniera limitata.

Dobbiamo considerare che in questo modo non si costruiscono necessariamente dei portafogli efficienti, dal momento che i pesi utilizzati potrebbero portarci ad ottenere una combinazione ubicata nel tratto decrescente della frontiera.

Vediamo gli effetti dell’applicazione del metodo dell’economista statunitense sul portafoglio bancario e su un altro paniere di titoli: il portafoglio Italia Servizi Pubblici. Costruiremo quest’ultimo selezionando quattro titoli dal settore FTSE MIB Italia Servizi Pubblici, in modo da considerare emittenti dal core business simile.

Sottolineiamo anche in questa sezione che i risultati ottenuti dall’analisi della serie 2012-2015 sono validi per il periodo 2015-2017 solo supponendo che i rendimenti logaritmici, al contrario dei prezzi, siano stazionari.

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3.3.2 Portafoglio bancario

Applicando il metodo dell’economista statunitense otteniamo il portafoglio in figura 14.

Figura 14: Portafoglio bancario di Markowitz

Confrontando la figura 15 con la numero 10, si evince come il VaR migliori nel caso del portafoglio di Markowitz. L’Expected Shortfall conferma le indicazioni del VaR, difatti la perdita attesa nei peggiori α% casi risulta lievemente inferiore per ciascun livello di confidenza considerato. Notiamo che il VaR calcolato con il metodo della Normale è inferiore a quello ottenuto tramite la simulazione storica circa il livello di confidenza del 99%, mentre è superiore con α=5%; ciò testimonia che la distribuzione gaussiana prevedrebbe valori più contenuti all’estremità della coda sinistra e al contempo osservazioni più pessimistiche spostandosi verso il centro della distribuzione.

Figura 15: Misure di rischio del portafoglio bancario con pesi di Markowitz

Quindi, nonostante la non normalità della distribuzione, l’applicazione del metodo di Markowitz ha portato ad una riduzione del rischio di portafoglio, seppur di modesta entità. Tale risultato era prevedibile dal momento che i titoli presi in esame sono caratterizzati da una rischiosità molto simile; la modifica dei pesi

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assegnati a ciascun asset poteva quindi limitare il rischio di portafoglio solo in maniera limitata.

Ad ogni modo, seppur la riduzione del rischio non sia stata accentuata, è possibile asserire che, nonostante la valutazione della sola deviazione standard non sia esaustiva per distribuzioni non gaussiane, la sua relazione con le misure di downside risk determina il successo del modello dell’economista statunitense.

3.3.3 Portafoglio Italia Servizi Pubblici

In questo portafoglio inseriamo A2A, Enel, Snam e Terna e osserviamo come il valore degli indicatori di rischio muti modificando l’entità dei pesi da applicare ai titoli. In figura 16 è riportata la composizione del portafoglio di Markowitz “Italia Servizi Pubblici”, in tabella 5 le misure di rischio di quest’ultimo e del medesimo portafoglio con pesi uguali per ciascun titolo.

Figura 16: Composizione del portafoglio "Italia Servizi Pubblici" sulla frontiera

Prendendo in considerazione l’SDR e l’ES, il portafoglio sulla frontiera risulta meno rischioso tuttavia, osservando i valori del VaR calcolato con il metodo della simulazione storica, l’indicazione ottenuta in precedenza non viene confermata. Il rendimento e la deviazione standard di portafoglio per il periodo giugno 2015- giugno 2017 sono migliori per il portafoglio sulla frontiera rispetto a quello equi- pesato, tuttavia il VaR con simulazione storica indica un rischio maggiore per il portafoglio di Markowitz.

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Tabella 5: Confronto tra il portafoglio Italia Servizi Pubblici di Markowitz e quello equi-pesato

Segnaliamo questo risultato in quanto dimostra che il VaR nulla ci dice rispetto a ciò che accade oltre il livello di confidenza stabilito. Inoltre, dato che la deviazione standard non è una misura di rischio affidabile per distribuzioni che si discostano dalle caratteristiche della gaussiana, non è detto che il VaR con simulazione storica segua ciò che la deviazione standard indica. Considerando invece il VaR parametrico, che suppone che la distribuzione sia Normale, notiamo che il portafoglio di Markowitz ritorna ad essere meno rischioso. Quindi, sotto l’ipotesi di normalità, ossia quella che ci assicura che varianza e deviazione standard siano misure affidabili di rischio, il portafoglio efficiente risulta effettivamente migliore di quello equi-pesato.

Quanto appena evidenziato è un altro esempio dell’importanza dell’ES e di misure di rischio ancora più precise: esse, al contrario del VaR, non tralasciano ciò che avviene all’estremità della coda sinistra della distribuzione.