Problematiche relative all’utilizzo della deviazione standard come misura di rischio

L’approccio media varianza, e quindi il metodo di Markowitz, si basano sulla indicazione fornite dalla deviazione standard, ma è difficile asserire che questa misura di rischio sia sempre idonea a descrivere efficacemente l’alea di un determinata attività finanziaria. Il modello media-varianza non è sempre affidabile nella scelta degli asset in quanto la varianza risulta una misura sufficiente a rappresentare il rischio solamente in distribuzioni gaussiane, ossia perfettamente simmetriche e non aventi code spesse. In questa sezione analizzeremo le motivazioni che portano a mettere in dubbio l’approccio fino ad ora utilizzato, sottolineando le problematiche che possono scaturire dall’utilizzo della deviazione standard come unica misura di rischio.

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1.5.1 Evidenze empiriche contro la deviazione standard

Mostrando un semplicissimo esempio, ci possiamo accorgere di come il criterio della deviazione standard sia talvolta fuorviante. Poniamo di avere due asset che ci forniscono i seguenti payoff, con le probabilità indicate.

𝑋 = {50 € 𝑝 = 0,5 250 € 𝑝 = 0,5 𝑌 = { 50 € 𝑝 = 0,5 150€ 𝑝 = 0,5 E(X)=150€ E(Y)=100€ 𝜎_𝑋 = 100€ 𝜎_𝑌 = 50€.

Emerge dunque che, secondo il modello media-varianza, X non è preferibile a Y in quanto la sua deviazione standard è superiore a quella dell’asset concorrente. Pare evidente come il risultato a cui siamo pervenuti sia contro la logica di qualunque individuo razionale.

In generale, la deviazione standard non è in grado di distinguere in che modo un valore si discosti dalla media della distribuzione, e ciò non è certamente compatibile con un’analisi corretta del rischio di portafoglio: infatti, un investitore sarà ben lieto di ottenere un pay-off incredibilmente positivo al posto di uno assai negativo, mentre la deviazione standard non segnala nessuna differenza tra le due performance.

Non bisogna tuttavia tralasciare le indicazioni della deviazione standard dal momento che, ad un maggior rendimento, corrisponde inevitabilmente un rischio maggiore. Quindi un titolo caratterizzato da performance elevate potrebbe nascondere una rischiosità superiore rispetto a quella che contraddistingue asset con rendimenti più contenuti; indubbiamente la deviazione standard è in grado di indicare questo differenziale di rischio. La volatilità è certamente importante per considerare i rischi potenziali di un titolo o di un portafoglio, dato che, se l’asset in questione risulta più volatile, l’investitore si potrà aspettare una perdita potenziale superiore rispetto a quella che si attenderebbe investendo in titoli caratterizzati da una deviazione standard limitata.

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Tuttavia, per la misurazione puntuale del rischio di un asset, risultano più idonee le cosiddette misure di downside risk, che si concentrano sulla parte negativa della volatilità dell’investimento. Pertanto, da questo punto di vista, risulta più indicato utilizzare la semi-deviazione21_{, in alternativa alla deviazione standard.}

𝑆𝑒𝑚𝑖𝑑𝑒𝑣𝑖𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 = √1 𝑁∑ 𝑚𝑖𝑛 (𝑟𝑖− 𝜇, 0) 2 𝑁 𝑖=1 ,22 _(1.37)

Viene dunque misurata la deviazione standard dei soli risultati peggiori della media della distribuzione, catturando solamente ciò che accade nei casi più sfavorevoli all’investitore. In realtà, è possibile utilizzare come riferimento qualunque livello di rendimento, a seconda di quale siano le preferenze del soggetto. Sarà dunque possibile misurare gli scostamenti verso il basso delle performance del titolo considerato rispetto al livello di rendimento selezionato. Ad ogni modo la semplice deviazione standard sarà sufficiente solo in caso di perfetta simmetria, in quanto, in presenza di asimmetria positiva, la minimizzazione di tale misura di rischio implicherebbe una diminuzione del rendimento potenziale.

Il teorema del limite centrale ha contribuito a rendere la distribuzione gaussiana così celebre ed utilizzata in dottrina, tuttavia confidare nella normalità delle serie finanziare potrebbe rivelarsi errato.

1.5.2 Normalità dei rendimenti dei titoli

Una delle argomentazioni a sfavore dell’utilizzo della deviazione standard come misura di rischio è quella relativa alle caratteristiche della distribuzione delle serie

21 _{La semi-deviazione non fornisce comunque indicazioni in termini monetari ma, come la deviazione}

standard, è una misura di dispersione dei rendimenti.

22 _{Alexander C., Market Risk Analysis Volume IV: Value-at-Risk Models, John Wiley and Sons Ltd, 2008, p.}

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finanziare. Infatti sappiamo che la distribuzione delle serie storiche risulta spesso caratterizzata dalla presenza di code spesse e da una skewness diversa da zero. Prendiamo come esempio i dati del FTSE MIB dal 2015 al 2017, per verificare se la distribuzione dei rendimenti dell’indice milanese risulti equiparabile ad una gaussiana.

Grafico 3: Istogramma della distribuzione dei rendimenti giornalieri del FTSE MIB 2015-2017

La distribuzione appare differente da una Normale in quanto la frequenza associata alle classi centrali è troppo elevata, ed inoltre la coda sinistra risulta più spessa rispetto a quella di una gaussiana. Il test di Doornik-Hansen (test del Chi-quadro) fornisce un’evidenza contro l’ipotesi nulla di normalità.

Con l’ausilio del software Gretl, possiamo utilizzare anche il test di Jarque Bera23 e quello di Shapiro Wilk24 per asserire che la seguente distribuzione non può essere considerata una gaussiana.

23 _{La statistica test è distribuita come una variabile Chi-quadrato e se il suo valore supera quello}

corrispondente a quello del Chi-quadrato per quel dato livello di significatività, l’ipotesi nulla di normalità viene rigettata. Il valore della statistica test è dato da: JB =𝑛₆(𝑠𝑘𝑒𝑤2₊(𝑘𝑢𝑟𝑡−3)2

4 ).

24 _{La statistica test è data da: SW=}(∑𝑛𝑖=1𝑎𝑖𝑥(𝑖)) 2

∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥̅)2. Il numeratore è uno stimatore non parametrico costruito

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Tabella 1: Test di normalità sui rendimenti del FTSE MIB dal 2015-2017

Questo è un esempio delle caratteristiche tipiche di una serie storica di rendimenti e, in presenza di variabili casuali distribuite diversamente rispetto ad una Normale, non sarà ottimale utilizzare la sola deviazione standard per calcolare il rischio relativo ad un’attività finanziaria.

Seppur i rendimenti dei titoli non siano solitamente distribuiti secondo una Normale, la distribuzione dei rendimenti di un portafoglio potrebbe invece risultare assimilabile ad una gaussiana. Infatti l’assunzione di normalità dei rendimenti potrebbe risultare efficace qualora il portafoglio fosse ben diversificato e i rendimenti dei titoli che lo compongono fossero sufficientemente indipendenti25_{. Tale caratteristica però non è comune ad ogni portafoglio, ma dovrà} essere verificata caso per caso. Per questo motivo non sembra efficace affidarsi ciecamente alla sola deviazione standard neppure nel processo di valutazione del rischio di un portafoglio finanziario.

In aggiunta alle problematiche relative alla normalità dei rendimenti, l’approccio media-varianza fornisce solamente una misura della variabilità del rendimento dell’attività finanziaria, senza segnalare quale sia la perdita attesa in termini monetari, in base ad un predeterminato livello di probabilità.

Dunque, per una misurazione più puntale, collegata ai valori più estremi della distribuzione in questione, sono preferibili altre metodologie che saranno presentate nel capitolo successivo.

rappresenta invece la varianza campionaria. Nel caso di una variabile casuale gaussiana, il valore della statistica test sarà molto vicino ad 1, dato che il numeratore ed il denominatore avranno lo stesso valore.

25 _{Dowd K., Beyond Value at Risk: The New Science of Risk Management, John Wiley and Sons Ltd, 1998,}

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2 MISURE DI RISCHIO ALTERNATIVE ALLA