Arbitraggio regolamentare ed eccessiva propensione al rischio derivante dall’applicazione dell’ES

Si è già accennato che l’accettabilità di ES è coerente con un comportamento di default quasi arbitrariamente rischioso. Nel presente paragrafo, verrà mostrato come le istituzioni finanziarie che massimizzano il proprio valore, avranno sempre maggiore propensione alla ricerca di profili di default estremi. A tal fine si assume l’esistenza di un intermediario di valore attuale 𝑉₀ con cui possiamo determinare il valore al tempo t = 0 di qualsiasi pay-off in ꭕ. Assumiamo che 𝑉₀ sia strettamente positivo, ovvero per ogni pay-off Z ∈ ꭕ che non è nullo avremo: 𝑉₀(𝑍) > 070_.

Nel nostro semplice modello uni-periodale, il valore terminale di un’istituzione finanziaria a responsabilità limitata con capitale X è uguale all’eccedenza SX. Quindi, il

70 _{Per i nostri scopi non dobbiamo essere più specifici circa la particolare forma di 𝑉}

0. Si noti che nel

contesto di mercati incompleti e arbitrari, una funzione dei prezzi π è naturalmente definita sulla

subspace M di X data dai pay-offs che possono essere replicati da portafogli di strumenti negoziati. In

questo caso, i candidati per un operatore a valore attuale 𝑉0 sono le estensioni rigorosamente positive di

π a X. In condizioni tecniche appropriate, queste possono essere identificate con misure di pro babilità neutrali a rischio.

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valore dell’istituzione al tempo t=0 non è altro che il valore attuale di SX, ovvero il valore attuale dei pay-off (casuali) che i proprietari riceverebbero al tempo t=T. In realtà, tuttavia, è presente un’altra componente di valore che è legata alla capacità dell’istituzione di continuare a svolgere e iniziare una nuova attività professionale con un valore attuale netto positivo al tempo t = T. Quindi si supponga che la capacità di sottoscrivere nuovi assets dipende dall’ammontare del capitale che l’istituzione ha a disposizione al tempo t = T.71 _{Consideriamo quindi che esista una funzione non} negativa F: R+ → R+, chiamata valore reputazionale dell’istituto, tale che F(SX) rappresenta il valore attuale netto al tempo t = T delle opportunità future72_{. Il valore} disponibile per i proprietari della società, al tempo t = T, sarà:

𝑆_𝑋+ 𝐹(𝑆_𝑋)

cioè la quantità di fondi disponibili alla fine del periodo aumentata del valore attuale netto delle opportunità che possono essere sfruttate con questa quantità di fondi. Si noti che, attraverso SX, il valore reputazionale è condizionato allo stato dell’economia al tempo T.

Per i proprietari, il valore dell’istituzione finanziaria al tempo t = 0 è allora: 𝑉₀(𝑆_𝑋+ 𝐹(𝑆_𝑋))

O considerando che: 𝑆_𝑋= 𝑋 + 𝐷_𝑋

𝑉₀(𝑋) + 𝑉₀(𝐷_𝑋) + 𝑉₀(𝐹(𝑆_𝑋))

L’espressione succitata mostra che il valore dell’istituzione dipende da tre componenti: il valore netto tangibile 𝑉₀(𝑋), il valore dell’opzione default 𝑉₀(𝐷_𝑋) e il valore del franchise 𝑉₀(𝐹(𝑆_𝑋)).

La presenza di un valore di reputazione è spesso ritenuto come un ottimo deterrente per l’eccessiva assunzione del rischio poiché il valore della reputazione può essere realizzato, solo se, l’istituzione rimane operativa e svanisce ogni volta che l’istituzione fallisce. Ad esempio, si fa riferimento alle elaborazioni di Froot et al. (1993), Stein (1998), Helmann et al. (2000)73_.

71 _{Sebbene non cambi nulla nella discussione se la lasciamo dipendere dalla posizione del capitale o solo}

dai beni dell'istituzione.

73 _{Froot, K.A., Scharfstein, D.S., Stein, J.C., Risk management: Coordinating corporate investment} strategy and financing policy, The Journal of Finance 48(5), 1629-1658, 1993

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A prescindere dal fatto che un istituto finanziario scelga o meno di massimizzare di valore, il rischio complessivo dipende dall’impatto di tale rischio aggiuntivo sul valore dell’istituzione. Questo verrà constatato con l’ausilio di un semplice esempio.

Esempio 3.1. (tratto da Koch-Medina e Munari)

Fissato α ∈ (0,1) e considerata un’istituzione finanziaria con una posizione di capitale X ∈ 𝐴_𝐸𝑆(𝛼). Assumiamo che il mercato non ammetta opportunità di arbitraggi regolamentari e che esista un portafoglio di debito di attività negoziate con pay-off Z ∈ 𝐴_𝐸𝑆(𝛼), ovvero 𝐸𝑆_𝛼(𝑍) ≤ 0. Quindi, fully levereged vuol dire che 𝑉₀(𝑍) = 0 così che, per nessun arbitraggio, abbiamo P [Z <0] ∈ (0,1). Come affermato da Jarrow (2003), la pratica bancaria corrente consente anche la possibilità di vendere in posizione corta le attività rischiose e quindi anche nel nostro modello verrà considerata valida tale assunzione74_{. Di conseguenza, permetteremo alla direzione di acquisire un multiplo λ >} 0 del portafoglio pienamente leveraged, che può essere acquistato a costo zero. Dopo questa transazione, la posizione capitale cambierà:

𝑋_λ= 𝑋 + λZ

Si noti che la nuova posizione di capitale 𝑋_λ continua ad essere accettata dall’ES, infatti: 𝐸𝑆_α(𝑋_λ) ≤ 𝐸𝑆_α(𝑋) + λ𝐸𝑆_α(𝑍) ≤ 0

Abbiamo usato la sub-additività e l’omogeneità positiva di ES, dunque possiamo affermare che:

lim

λ→∞𝑉0(𝐷𝑋λ) = ∞

Cioè possiamo aumentare arbitrariamente il valore dell’opzione di default rimanendo accettabili in ES. Infatti, poiché P [Z < 0] ∈ (0,1), esiste una α > 0 che soddisfa P [Z ≤−a] > 0. Chiaramente, troviamo b >0 tale che P[A∩B] > 0 dove A = {Z ≤−a} e B = {X ≤ b}. Se λ è grande abbastanza, vediamo che 𝐷_𝑋

λ ≥ −𝑏 + λα> 0 su A∩B. Quindi, osservando che 𝑉₀(1_A∩B) > 0 per la positività stretta di𝑉₀, abbiamo:

𝑉₀(𝐷_𝑋

λ) ≥ 𝑉0((−𝑏 + λα)1A∩B) = (−𝑏 + λα)𝑉0(1A∩B).

Froot, K.A., Stein, J.C., Risk management, capital budgeting, and capital structure policy for nancial

institutions: an integrated approach, Journal of Financial Economics 47(1), 55-82, 1998.

Helmann, Th.F., Murdoch, K.C., Stiglitz, J.E., Liberalization, moral hazard in bank ing, and prudential

regulation: Are capital requirements enough ?, The American Economic Review 90(1), 147-165, 2000. 74_{Jarrow, R.A., Capital adequacy rules, catastrophic _rm failure, and systemic risk, Review of Derivatives}

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Si noti che 𝑉₀(𝐷_𝑋

λ) = 𝑉0(𝑋) poichè 𝑉0(𝑍) = 0. Quindi il valore dell’istituzione dopo la transazione a costo a zero è dato da:

𝑉₀(𝑋) = 𝑉₀(𝐷_𝑋

λ) + 𝑉0(𝐹(𝑆𝑋λ))

Ne consegue che il valore dell'istituzione tende a ∞ al tendere di λ a ∞. Si può concludere in un sistema basato su ES che offre occasioni per assumere ulteriori rischi sono molto attraenti, perché consentono di aumentare il valore della società aumentando il valore dell’opzione di default. Gli svantaggiati da tale transazione sono i creditori poiché il valore dell’opzione di default è precisamente il valore di ciò che non verrà loro pagato75_.

Questo esempio mette in dubbio l’affermazione di Jarrow (2013) che, contrariamente a un regime VaR, le regole di adeguatezza patrimoniale basate su ES consentono di esercitare il controllo sulla probabilità di fallimento catastrofico delle istituzioni finanziarie. Infatti, è stato mostrato come ciò che Jarrow definisce fallimento catastrofico è anche possibile in un regime ES.