L’Expected Shortfall: una valida alternativa al VaR

A seguito della accresciuta rilevanza della misurazione del rischio, negli ultimi anni si è cercato di comprendere quali fossero le caratteristiche ritenute auspicabili che una misura di rischio dovrebbe possedere. Questa tematica venne affrontata per la prima

46 _{S.Kusouka, On law invariant coherent risk measures, Graduate School of Mathematical Sciences The}

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volta da Artzner, et al47 _{che pubblicò nel 1999 quelli che sono i quattro assiomi che una} misura di rischio coerente dovrebbe rispettare.

Come è facile comprendere, non è possibile stimare nell’istante t = 0, quello che sarà il valore di un determinato asset al momento della sua liquidazione, ovvero nell’istante T. Sovente si è soliti ipotizzare il rendimento r di uno strumento privo di rischio, il quale garantisce per ogni ammontare m investito in t=0, una determinata somma nell’istante T.

Al fine di esplicitare quelli che sono gli assiomi caratterizzanti una misura di rischio coerente, può essere utile immaginare una misura di rischio come la quantità di capitale addizionale imputata alla posizione in esame allo scopo di rendere accettabile la rischiosità complessiva gravante su essa. Le quattro proprietà che tale misura di rischio deve osservare sono così sintetizzabili:

1. Sub-additività, secondo tale assioma, il rischio relativo ad un portafoglio composto da più posizioni deve essere non superiore alla somma dei rischi delle singole posizioni che compongono il portafoglio;

p(𝑥 + 𝑦) ≤ p(𝑥) + p(𝑦)

2. Omogeneità positiva, asserisce invece qualora si moltiplichi per una costante k la dimensione di tutte le posizioni contenute nel portafoglio, quest’ultimo risulterà proporzionale al valore della costante k. In altri termini, la dimensione dell’esposizione rischiosa assunta, condiziona in modo proporzionale il rischio legato all’intero portafoglio. La sub-additività e l’omogeneità positiva garantiscono la convessità della misura di rischio p.

p(k

.

_{X) =}

_k .

_{p(X) con k > 0}

3. Monotonicità, illustra invece come qualora i rendimenti connessi ad un portafoglio X siano minori di quelli connessi ad un portafoglio Y, in qualsivoglia

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scenario simulato, il rischio legato al portafoglio X deve essere superiore al rischio associato al portafoglio Y;

p(𝑥)

≥

p(y)

se

X≤Y

4. Invarianza per traslazione, sottolinea come qualora venga investito, in un portafoglio, un ammontare pari a k al tasso free-risk r, la misura di rischio connessa a tale portafoglio deve essere ridotta per un importo pari alla somma investita;

p(𝑋 + 𝑟 ∗ 𝑘) = 𝑝(𝑋) − 𝑘

Per ovviare ai limiti gravanti sul VaR gli stessi autori Artzner et al 48 _{introdussero, uno} strumento alternativo per la stima del rischio denominato Expected Shortfall (ES). Al pari del VaR, la stima di tale misura è subordinata alla definizione di un determinato intervallo di confidenza α ed a un orizzonte temporale pari a T. Lo strumento contrariamente a quanto accade per il VaR però, sintetizza il valore atteso delle perdite eccedenti il VaR. Analiticamente è possibile definire l’ES facendo riferimento a 𝛥𝑉 = 𝑉_𝑇− 𝑉_{𝑡 :}

ES = E[

𝛥𝑉

|

𝛥𝑉

< 𝑉𝑎𝑅]

Qualora il VaR venga stimato in rapporto alla sola componente di perdita inattesa49_:

ES = E[𝐿 − 𝐸(𝐿)|𝐿 − 𝐸(𝐿) > 𝑉𝑎𝑅]

Pur non essendo pienamente utilizzato per la stima dell’esposizione rischiosa gravante su un determinato portafoglio, l’Expected Shortfall oltre a poter esser considerata una misura di rischio coerente rispettando gli assiomi analizzati in precedenza, possiede una serie di indubbi vantaggi anche in termini informativi, primo tra tutti, consente il confronto delle code delle sue distribuzioni. Inoltre rispettando il principio della sub-

48 _{Artzner P., Delbaen F., Eber J.M. and Heath D., Coherent Measures of Risk . Math Fin. 9(3), 203-228,}

1999.

49 _{A. Resti, A. Sironi; Rischio e valore nelle banche, Misura regolamentazione e gestione ; Milano;}

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additività e dell’omogeneità positiva, risulta essere una funzione convessa dei pesi del portafoglio e dunque può essere impiegata per risolvere i problemi legati alla minimizzazione del rischio, dati determinati vincoli. A differenza di quanto avviene per il VaR, la misura in esame attribuisce un peso in modo uniforme a tutti i quantili superiori al q-esimo e un peso nullo ai quantili inferiori, tale peculiarità la rende una misura di rischio spettrale, in quanto i pesi attribuiti al quantile della distribuzione risultano essere una funzione inversa di q.

Tornando al principio di sub-additività, tale assioma risulta di fondamentale importanza per poter definire se la misura di rischio presa in esame può essere considerata una misura coerente. Il rischio complessivo di un portafoglio, sarà pari alla somma dei rischi delle singole posizioni contenuto in esso, solo ed esclusivamente nel caso in cui i rischi possono essere generati da eventi concorrenti, in particolare è possibile dimostrare come questa misura soddisfi pienamente il principio di sub-additività. Per far ciò, occorre far riferimento al lavoro di Acerbi e Tasche50_{, nel quale gli autori, dopo aver definito con X} la variabile casuale caratterizzante l’andamento delle distribuzioni dei profitti e delle perdite (P/L) di un portafoglio su un dato orizzonte temporale T, ed aver fissato la probabilità di manifestazione dei casi pessimi per il portafoglio in esame α%, supponendo n possibili realizzazioni di X e muovendosi dalla definizione dell’ES:

𝐸𝑆

_𝑛(𝑎)

(𝑋) = −∑

𝑋

𝑖:𝑛 𝑤 𝑖=1

𝑤

= −

∑

𝑛_𝑖=1

𝑋

_𝑖:𝑛

1

_{{𝑖≤𝑤}}

𝑤

Fissate due variabili casuali X e Y:

𝐸𝑆

_𝑛(𝛼)

(𝑋 + 𝑌) = −∑

(𝑋 + 𝑌)

𝑖:𝑛 𝑤 𝑖=1

𝑤

≤ −∑

(𝑋

𝑖:𝑛

+ 𝑌

𝑖:𝑛

)

𝑤 𝑖=1

𝑤

= 𝐸𝑆

_𝑛(𝛼)

(𝑋) + 𝐸𝑆

_𝑛(𝛼)

(𝑌)

Con w=n*a

50 _{Acerbi C., Tasche D., Expected shortfall: a natural coherent alternative to Value at Risk , Econ Notes,}

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Dopo aver dimostrato il rispetto del principio della sub-additività è possibile ricavare una stima di tale misura.

Fissata X la variabile casuale che descrive la distribuzione delle perdite e dei profitti di un determinato portafoglio in un fissato orizzonte temporale t da oggi, sia α ϵ all’intervallo (0,1) un determinato intervallo di confidenza, l’ES di un portafoglio X stimato al livello α è descritto dalla seguente formulazione matematica:

𝐸𝑆

(α)

(𝑋) = −1

α(𝐸 [𝑋 1

{𝑥≤𝑥(α)}

] − 𝑥

(α)

_{(𝑃[𝑋 ≤ 𝑥}

(α)

_{] − α))}

Passiamo adesso all’analisi di tale formulazione:

Il termine 𝑥(𝛼) _{individua il quantile superiore che evidenzia il VaR; il primo termine} rappresenta invece il valore atteso della

𝑋

quando la variabile casuale si trova aldilà del VaR; il secondo termine occorre invece considerarlo come la parte eccedente da sottrarre al valore atteso 𝐸 [𝑋 1_{𝑥≤𝑥(α)_} ] quando (𝑃[𝑋 ≤ 𝑥(α)] > α) ovvero nel caso di una distribuzione continua delle probabilità.

3.2.1 I metodi di stima dell’Expected Shortfall

Come accennato in precedenza, la stima dell’Expected Shortfall, al pari del VaR è subordinata alla determinazione di un intervallo di confidenza α e alla specificazione di una funzione di distribuzione delle probabilità 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). E’ possibile esplicitare una formulazione analitica in grado di evidenziare maggiormente il legame di tale misura con i parametri sopra citati. A tal fine, servendosi della funzione di ripartizione inversa generalizzata è possibile ricavare l’𝐸𝑆(𝛼)

come la media negativa di 𝐹−1_{(𝑝) dato un detrminato livello di confidenza pari a p ϵ (0, α):}

𝐸𝑆

(𝛼 )

=

1

𝛼 ∫ 𝐹(𝑝)

−1

_𝑑𝑝

𝛼

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Tale formulazione, al contrario di quanto avviene nella rappresentazione analitica precedentemente esposta, permette di evidenziare importanti proprietà attribuibili all’Expected Shortfall, altrimenti difficilmente osservabili:

 La stima dell’ES è una funzione inversa dell’intervallo di confidenza prescelto, al crescere dell’intervallo osservato è possibile osservare valori dell’ES minori;  Volendo considerare l’intero intervallo di confidenza di 𝛼 = 1 , noteremmo che

l’ES è pari al valore atteso del portafoglio.

Al pari di quanto avviene nel VaR, anche per l’Expected Shortfall è possibile ricorrere a metodi di stima parametrici e non parametrici per il calcolo di tale misura di rischio. Nello specifico, volendo rifarsi ad una ad una v.a. L che individua le perdite derivanti da un portafoglio, caratterizzata da una distribuzione gaussiana, con media µ e varianza 𝜎2 allora l’ES può essere stimata da:

𝐸𝑆

_𝑎

(𝐿) = 𝐸[𝐿|𝐿 ≥ 𝑥

_𝛼

] = (𝜇 +𝜎𝜙(𝑥

𝛼

)

𝛼

)

Con σ pari a:

𝜎 = √1

𝑛∑(𝑋

𝑖

− X )

2 𝑛 𝑖=1

Denota la deviazione standard del campione osservato e X la sua media. Il termine 𝜙(𝑥) individua la funzione di densità di una normale standard pari a:

𝜙(𝑥) =

1

√2𝛱𝑒

−1₂𝑥2

Riconducendo la v.a. L ad una distribuzione normale con media pari a zero e deviazione standard pari a 1

𝐿 = 𝜇 + 𝜎𝑙

Nel documento Expected Shortfall: alcune evidenze critiche (pagine 53-58)