? La formulazione sopra esposta assume tale forma:
2.3 I modelli di simulazione
Evidenziati i principali limiti che minano l’efficienza dei modelli parametrici è facile comprendere come si renda necessaria l’implementazione di modelli che possano superare i problemi legati all’approccio varianza-covarianza. In quest’ottica è possibile collocare i modelli cosiddetti di simulazione, che permettono di stimare il VaR simulando un gran numero di possibili scenari relativi all’eventuale evoluzione dei fattori di mercato, da qui il nome modelli di simulazione. Tali modelli di sovente sono sintetizzati in due categorie: la simulazione storica e la simulazione di Monte Carlo. Nonostante tra le due diverse metodologie di calcolo vi siano differenze sostanziali entrambi i modelli condividono in linea di massima delle caratteristiche comuni facilmente sintetizzabili.
Una prima caratteristica è legata al concetto di full valuation, ovvero i suddetti modelli, date le variazioni dei fattori di rischio, stimano la variazione dei valori delle posizioni contenute nel portafoglio ricalcolandone il valore sulla base delle esatte funzioni di prezzo. Ciò permette di aggirare il problema legato alla non linearità fra il valore della posizione e il relativo fattore di mercato, che risulta invece essere un limite dei modelli parametrici.
Un altro elemento che accomuna i modelli di simulazione riguarda la loro minore dipendenza dall’ipotesi di distribuzione. Questi a differenza dei modelli parametrici non
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dipendono in alcun modo da assunzioni sulle distribuzione dei rendimenti.36Non occorre dunque servirsi delle ipotesi sottostanti i modelli parametrici, ovvero la distribuzione normale dei rendimenti delle posizioni o dei portafogli. Tale proprietà è determinante perché ci consente di evitare di stimare direttamente varianze e correlazioni e dunque di superare i limiti gravanti sui modelli parametrici.
Un’altra attrattiva derivante dall’utilizzo dei modelli di simulazione si esplicita nelle modalità di calcolo del VaR, quest’ultimo infatti, viene stimato tagliando la distribuzione empirica di probabilità delle variazioni di valore del portafoglio al percentile desiderato eliminando in tal modo la forzatura dell’ipotesi relativa alla non monotonicità delle relazioni tra il valore del portafoglio e i risk factors.
2.3.1 La simulazione storica
La caratteristica peculiare dei modelli basati sulla simulazione storica è quella di ipotizzare che eventuali variazioni dei fattori di mercato possano essere ben rappresentate dalla loro distribuzione empirica storica, in altri termini la valutazione dello strumento o portafoglio in esame avviene servendosi di una sequenza limitata di dati storici, rappresentati da passate condizioni di rischio. Alla base di tale modello vi è l’ipotesi che lo scenario di perdita verificatosi in passato abbia un fondamento di ripetibilità. Le variazioni avvenute in passato saranno utilizzate per la stima del possibile valore futuro del portafoglio bancario attraverso il meccanismo di full valuation, meccanismo che smorza ogni eventuale distorsione relativa ad approssimazioni lineari delle condizioni di prezzo. Dopo aver stimato il valore del portafoglio in corrispondenza dello scenario storico preso in esame, queste saranno ordinate dalla minore alla massima perdita37. É possibile sintetizzare il procedimento alla base della stima del VaR, tramite tale metodologia, in tre punti:
Individuazione delle posizioni e dei fattori di rischio contenute nel portafoglio e campionamento dei loro rendimenti storici in un determinato intervallo di tempo;
36Pietro Gottardo, La gestione dei rischi nelle imprese industriali e finanziarie, Milano, Giuffrè 2006 37 A. Resti, A. Sironi; Rischio e valore nelle banche, Misura regolamentazione e gestione ; Milano;
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Simulazione dei rendimenti teorici della singola posizione o intero portafoglio, derivati dai valori storici dei rendimenti di mercato;
Ricreazione della distribuzione empirica dei valori della posizione o portafoglio ottenuti e calcolo del VaR estraendo il percentile opportuno al livello di confidenza desiderato;
Come esplicitato in precedenza, la metodologia relativa alla simulazione storica, non richiede una fissazione ex-ante della distribuzione delle probabilità e ciò si traduce in un vantaggio in termini di accuratezza rispetto ai modelli parametrici. In particolare qualora i rendimenti dei fattori di mercato risultino non distribuiti normalmente, ma al contrario siano caratterizzati da un atteggiamento probabilistico costante nel tempo. Tale caratteristica si esplicita in un’ulteriore proprietà di estrema importanza, ovvero non vi è la necessità di stimare direttamente le matrici di varianza e correlazione relative ai diversi fattori di mercato, la stima dell’esposizione rischiosa del portafoglio verrà determinato tenendo conto delle variazioni di tali fattori riscontrate nel corso del periodo di riferimento considerato. Un altro punto di forza relativo alla simulazione storica deriva dal fatto che tra le metodologie di simulazione è concettualmente la più agevole, questo per l’assunzione di ripetibilità del passato, i dati utilizzati per la sua applicazione risultano facilmente reperibili vuoi all’interno dell’intermediario bancario, vuoi all’esterno tramite gli info providers, ciò si traduce in un vantaggio in termini di comprensione è comunicabilità della misura stessa.
Nonostante tali elementi di indubbio vantaggio conseguenti all’utilizzo della simulazione storica nella stima del VaR, su tale metodologia gravano alcuni importanti limiti quali ad esempio: l’onerosità dei calcoli fondamentali per la valutazione del portafoglio dell’intermediario bancario alle condizioni storiche di mercato, che possono richiedere un lasso di tempo elevato, l’onerosità dei calcoli necessari risulta subordinata all’articolazione dei portafogli presi in esame e al numero dei fattori di mercato che incidono sul valore delle singole posizioni. Un altro elemento di fragilità relativo all’utilizzo della simulazione storica deriva dall’ipotesi di stazionarietà delle variazioni dei fattori di mercato, qualora la distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato risulta variabile nel tempo, allora la distribuzione empirica non potrà essere utilizzata come sua rappresentazione.
Infine un ultimo elemento di debolezza, forse il più vincolante, è la completa dipendenza del modello al campione di dati storici utilizzato. In particolare, la
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limitatezza delle serie storiche disponibili, induce ad una scarsa definizione delle code della distribuzione empirica di probabilità, ciò avviene in particolar modo qualora si scelga un orizzonte temporale superiore ad un giorno. Tuttavia allargare l’orizzonte temporale delle serie storiche di riferimento potrebbe al contempo essere controproducente, il rischio potrebbe essere quello di fondare la stima della distribuzione futura dei rendimenti su dati storici poco significativi andando a minare l’accuratezza del modello stesso. Una soluzione al problema relativo alla lunghezza ottimale della serie storica può derivare dall’utilizzo del cosiddetto approccio ibrido, in grado di fondere i vantaggi legati alla simulazione storica, quale l’assenza di ipotesi sottostanti con riferimento alla forma della distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato, con i punti di forza derivanti dall’utilizzo delle medie mobili esponenziali per la determinazione della volatilità utilizzata dall’approccio parametrico.
2.3.2 La simulazione Monte Carlo
La simulazione Monte Carlo al pari della simulazione storica è un modello non parametrico, utilizzato soprattutto per stimare il VaR di posizioni particolarmente sofisticate. Al Fine di superare i limiti legati alla carenza di dati storici tale simulazione consente di elaborare nuovi scenari in corrispondenza dei quali è possibile stimare il valore di mercato della posizione o portafoglio preso in esame. Utilizzato inizialmente come strumento di pricing per prodotti complessi, quali ad esempio le opzioni esotiche, la simulazione Monte Carlo fa il suo ingresso in scena a partire dagli anni Ottanta come approccio alternativo alle metodologie parametriche. La logica sottostante il suo funzionamento è a tratti assimilabile al modus operandi della simulazione storica, al pari della metodologia precedentemente descritta infatti, viene estratto un vettore di rendimenti corrispondente ai rendimenti definiti dalla distribuzione di probabilità presa in esame, ma mentre nella simulazione storica tale distribuzione viene derivata da scenari di perdita verificatisi in passato, con il metodo Monte Carlo si procede a simulare un numero elevato di volte (sulla base di un generatore di numeri casuali), l’evoluzione di ipotetici scenari dei fattori di rischio e a ricalcolare in corrispondenza di ciascun scenario il valore della posizione in esame. Una volta ottenuta la distribuzione di probabilità delle variazioni del valore di mercato, verrà stimato il VaR servendosi della logica del percentile descritta nelle simulazioni storiche.
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Come è facile comprendere la scelta della distribuzione di densità probabilistica f (x) che più si avvicina alla distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato, così come la simulazione degli scenari relativi ai fattori di mercato, corrispondenti alla distribuzione f risultano essere le fasi più delicate di tale approccio poiché qualora la distribuzione dei rendimenti risultasse non coerente con le possibili evoluzioni dei fattori di rischio tale incoerenza si riverserebbe sugli scenari utilizzati per tali fattori andando a compromettere l’attendibilità della stima del VaR stesso.
Volendo stimare invece il VaR di un intero portafoglio il cui valore risulta soggetto alle variazioni di più fattori di mercato, occorre tener conto della struttura delle correlazioni dei rendimenti dei fattori presi in esame, tale modello di stima del VaR, al contrario di quanto avviene con la simulazione storica, servendosi della simulazione dei diversi scenari non riesce a cogliere il grado di correlazione tra i fattori di rischio quindi qualora si simulasse gli scenari non tenendo conto della matrice di correlazione dei rendimenti il risultato ottenuto potrebbe essere non del tutto realistico. La stima del Var di un portafoglio utilizzando la metodologia Monte Carlo può dunque essere sintetizzata in 5 punti38:
Identificazione della distribuzione di densità di probabilità congiunta che più si avvicina alla distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato;
Calibrazione del modello prescelto;
Simulazione degli N scenari per i fattori di mercato, tenuto conto della distribuzione di probabilità scelta;
Determinazione del valore di mercato di ciascuna posizione in corrispondenza di ciascun scenario simulato;
Taglio della distribuzione di probabilità in corrispondenza del percentile relativo al livello di confidenza desiderato.
I vantaggi legati a tale metodologia di calcolo del VaR sono numerosi. In particolare, è un modello che può essere applicato indipendentemente dalla forma della distribuzione di probabilità al contrario dell’approccio parametrico il quale trova ragion d’essere unicamente sotto l’ipotesi di base che vi sia una distribuzione normale dei rendimenti dei fattori di mercato, un altro grande pregio che lega tutti i metodi di simulazione che ricorrono alla full valuation, è che ricalcolando il valore della posizione o portafoglio in
38 A. Resti, A. Sironi; Rischio e valore nelle banche, Misura regolamentazione e gestione; Milano;
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corrispondenza di ciascun scenario simulato viene eliminata la problematica relativa alla non linearità dei rendimenti. Infine può essere utilizzata non soltanto per calcolare il valore finale delle variabili di mercato ma anche per riprodurre l’evoluzione del percorso che ha generato tale valore finale. Nonostante tale approccio simulativo sia dotato di una soddisfacente potenza e accuratezza, anch’esso non è esente da limiti più o meno stringenti, quali ad esempio la necessità di dover stimare la matrice delle varianze e delle correlazioni dei rendimenti dei fattori di mercato, limite non gravante sulle simulazioni storiche. Infine pur essendo un metodo dotato di sufficiente accuratezza e attendibilità risulta essere particolarmente oneroso in termini di tempo e risorse informatiche impiegate, deve dunque esserci un’operatività che giustifichi il ricorso a tale metodologia.