6.2 Semantica dimostrazione-teorica
6.2.2 Armonia classica
Per quanto riguarda la dimostrazione diretta di armonia della logica classica, non seguiremo l’impostazione di Restall, che propende per un’analisi attraverso le proof- net34, perch´e altri risultati ci permettono di argomentare la stessa tesi separandoci assai meno dalla tradizione dimostrazione-teorica riguardante la deduzione naturale.
Il riferimento principale del paragrafo sar`a [Read, 2000], il cui autore argomenta a favore dell’armonia classica criticando il modo in cui Gentzen e Prawitz ottengono il sistema di deduzione naturale per questa logica, e costruendo un metodo alternativo di estensione che preservi l’armonia del sistema. `E infatti innegabile che qualunque estensione di NJ con regole per la negazione - o per l’assurdo -, che permetta di ot- tenere la logica classica, non pu`o che essere non-conservativa. Infatti ci sono teoremi classicamente, ma non intuizionisticamente, validi in cui non compare n´e ¬, n´e ⊥; ad esempio: ((p ⊃ q) ⊃ p) ⊃ p (legge di Peirce).
33[Read, 2000], pg. 3.
34L’opera pubblicata in cui l’argomento `e affrontato nel modo pi`u estensivo `e [Restall, 2008], ma
Eppure se osserviamo il calcolo dei sequenti, `e evidente che LK presenta un fram- mento privo di regole per la negazione, in cui questo teorema `e dimostrabile:
p ` p Indebolimento p ` q, p R-⊃ ` p, p ⊃ q p ` p L-⊃ (p ⊃ q) ⊃ p ` p, p Contrazione (p ⊃ q) ⊃ p ` p R-⊃ ` ((p ⊃ q) ⊃ p) ⊃ p
L’aggiunta delle regole per la negazione al frammento di LK che ne risulta privo, rappre- senta cio`e un’estensione conservativa. Questo avviene proprio perch´e tale frammento non coincide con LJ. Read osserva quindi che NJ non contiene l’intera logica impli- cazionale classica, e sostiene che da questo derivino i problemi di armonia e di non conservativit`a; che non sarebbero imputabili quindi a ‘difetti di fabbrica’ delle regole classiche per la negazione35.
Il fatto che la propriet`a della sottoformula valga per LK ma solo in modo incompleto per NK - o meglio, per la sua riformulazione dovuta a Prawitz - non pu`o che contribuire a rendere credibile questa opinione. Per Read quello che rende possibile ad LK isolare il frammento implicazionale della logica classica `e la sua possibilit`a di costruire deduzioni con pi`u conclusioni36. Read, rifacendosi a [Boricic, 1985] sviluppa quindi un sistema
di deduzione naturale a conclusione multipla che permetta di isolare tale frammento, e quindi di estenderlo all’intera logica classica in modo armonico e conservativo, ovvero NC. Ad esempio le regole per l’implicazione sono:
[A]1 .. . B,X ⊃-I, (1) A ⊃ B, X A ⊃ B, X A, W ⊃-E B,X,W
Permettendo conclusioni multiple, otteniamo l’occorrenza di pi`u formule in una stessa riga di dimostrazione. Questo ci obbliga ad assumere regole di indebolimento e contrazione analoghe a quelle del calcolo dei sequenti:
X Indebolimento X,A X,A,A Contrazione X,A
35Qua ci siamo concentrati sul frammento implicazionale, dato che nella tesi analizzo quasi esclusi-
vamente la logica proposizionale, ma un problema analogo si presenta con la seconda legge di Peirce - ∃x(∃yF (y) ⊃ F (x)) - e con altri teoremi della logica classica dei predicati.
`
E perfettamente sensato quindi che, per questioni di praticit`a, Read utilizzi diretta- mente la presentazione attraverso i sequenti. Io ho preferito usare la formulazione tradizionale per non creare confusioni, dato che in questo caso le formule massime e le applicazioni del taglio saranno completamente distinte, e non ci saranno restri- zioni da rispettare riguardo le regole strutturali37. Chiarito questo, vediamo che con
questa coppia di regole diventa possibile dimostrare la legge di Peirce nel frammento implicazionale del sistema per la logica classica:
[p]1 Indebolimento p,q ⊃-I,(1) p⊃q,p [(p⊃q)⊃p]2 ⊃-E p,p Contrazione p ⊃-I ((p⊃q)⊃p)⊃p
Ovviamente, quando scriviamo tra le premesse pi`u formule separate da una virgola intendiamo una loro assunzione congiunta, come abbiamo sempre fatto; stiamo cio`e assumendo tutte le formule elencate. Di conseguenza quando compare ‘A,B,C’ tra le assunzioni, non significa che siamo assumendo ‘A,B,C’, ma ‘A’, ‘B’ e ‘C’, in differenti punti della derivazione38.
La distinzione tra l’uso congiunto di pi`u premesse e la derivazione disgiunta di pi`u conclusioni `e necessaria per comprendere il fallimento di alcuni ipotetici passi dimo- strativi. Non dobbiamo cio`e ritenerci autorizzati ad usare una coppia di conclusioni come premessa per una regola di introduzione che richieda due premesse; altrimenti potremmo derivare A ∧ B da A ∨ B, in questo modo:
A
A ∨ B B A ∧ B
Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, questa `e una generalizzazione inac- cettabile della transitivit`a della relazione di deduzione, che si rispecchia nel calcolo dei sequenti attraverso una deformazione della regola del taglio e nella deduzione naturale
37Read stesso chiarisce che il taglio definito sui sequenti che descrivono una deduzione naturale non
ha niente a che vedere con quello del calcolo dei sequenti vero e proprio: [Read, 2000], pg. 133.
38Del resto non abbiamo neppure definito la possibilit`a di assumere pi`u formule contemporanea-
attraverso l’ammissione di una procedura di composizione di dimostrazioni non accet- tabile. Per evitare questo genere di composizioni, usiamo la virgola per le conclusioni multiple, mentre lasciamo separate le premesse usate contemporaneamente.
Vediamo adesso il sistema NC nei dettagli39, e come sia possibile ridurre le dimo-
strazioni eliminando le formule massime: NC A,X B,Y ∧-I A∧B,X,Y A∧B,Z [A],[B] .. . W ∧-E W,Z A,X ∨-I A∨B,X A∨B,Z [A] .. . W [B] .. . W ∨-E W,Z B,X ∨-I A∨B,X [A]1 .. . B,X ⊃-I, (1) A ⊃ B, X A ⊃ B, Z A, X [B]1 .. . Y ⊃-E, (1) X,Y,Z ⊥,Y ⊥-E A,Y
La negazione pu`o essere definita in NC come in NJ, cio`e: ¬A ≡def A ⊃ ⊥. Ovvia-
mente, essendo differente la teoria classica dell’implicazione dalla teoria intuizionista, quello che otteniamo sono due comportamenti differenti per la negazione40.
La dimostrazione del teorema di normalizzazione per NC viene svolta da Boricic, qui mi limito a far vedere come `e possibile eliminare le occorrenze di formule massime:
39Mi discosto dalla trattazione di Read, per quanto riguarda la regola per la congiunzione: [Read,
2000], pg. 147, utilizza una formulazione con contesto condiviso; credo sia pi`u naturale escludere questa restrizione.
40Argomenter`o nella parte finale della tesi che questo non significa che il significato dei connettivi
[A]1 .. . B,Z ⊃-I, (1) A ⊃ B, Z .. . A, X [B]2 .. . Y ⊃-E, (2) X,Y,Z .. . A,X .. . B,X,Z .. . X,Y,Z .. . A,X .. . B,Y ∧-I A∧B,X,Y [A],[B] .. . W ∧-E X,Y,W .. . A,X .. . B,Y .. . X,Y,W .. . A,X ∨-I A∨B,X [A] .. . W [B] .. . W ∨-E X,W .. . A,X .. . X,W
Nella presentazione di NC ho usato la formulazione generalizzata delle regole di eliminazione, a cui `e affiancabile una formulazione pi`u vicina a quella tradizionale proposta da Gentzen per la deduzione naturale con conclusione singola. Ho usato ad esempio la regola ristretta per l’implicazione, quando ho mostrato la derivabilit`a della legge di Peirce in NC. Per entrambi i sistemi - sia quello a conclusione singola che quello a conclusioni multiple - `e infatti possibile formalizzare le E-regole in entrambi i modi41. Proprio come nella deduzione naturale ‘tradizionale’, la restrizione delle regole
di eliminazione le rende pi`u pratiche, sebbene in un certo senso meno generali. Tuttavia questa mancanza di generalit`a delle regole ristrette `e solamente apparente, e i vantaggi ottenuti formulando le E-regole in questo modo non riguardano la potenza del sistema. `
E evidente infatti che in NK le due formulazioni devono essere equivalenti, altrimenti il sistema di Gentzen per la logica classica sarebbe incompleto, avendo regole ristrette sia per la congiunzione che per l’implicazione. Si pu`o dimostrare che anche nel caso di NC non c’`e differenza tra l’una e l’altra formulazione, per quanto riguarda i teoremi dimostrabili42.
41Von Plato ha studiato in modo approfondito le propriet`a che acquisisce la deduzione naturale con
conclusione singola se si riformulano tutte le E-regole in modo generalizzato;[von Plato, 2001].
42Forse il modo pi`u rapido per mostrarlo, anche se non il pi`u rigoroso, `e far vedere che utilizzando solo
le regole ristrette rimane dimostrabile un’assiomatizzazione completa per la logica classica enunciativa; questo `e sufficiente, dato che il modus ponens `e un caso particolare di ⊃-E ristretta.
I motivi per cui si preferisce usare la formulazione generalizzata delle E-regole sono principalmente due:
1. rendere pi`u uniforme la giustificazione delle regole di eliminazione a partire da quelle di introduzione;
2. avvicinare maggiormente la deduzione naturale al calcolo dei sequenti.
La prima questione riguarda essenzialmente il principio di inversione, che ha il compito di specificare il significato filosofico dell’armonia tra regole. Il primo ad usare un principio del genere in questo ambito `e stato Prawitz43, sebbene l’origine di questo
progetto sia da ricercare in Gentzen e Lorenzen abbia sviluppato precedentemente lo stesso principio in relazione a sistemi diversi dalla deduzione naturale. Si deve per altro dire che proprio le differenze strutturali tra le regole di eliminazione del sistema di Prawitz sembrano stridere con una giustificazione comune per tutte44. Read propone una versione leggermente modificata di questo principio, sostenendo che:
‘In generale, se Πi denota le basi per introdurre qualche formula A (per intro-
durre un’occorrenza di un connettivo δ in A), allora la regola-di-eliminazione per δ dovrebbe permettere di inferire una formula C arbitraria solo se i Πi stessi
comportano C.’ [Read, 2000], pg. 130.
Il fatto che questo principio, che Read come Prawitz enuncia riferendosi alla deduzione naturale a conclusione singola, rimanga valido anche quando si permettono conclusioni multiple, `e reso evidente dalla disponibilit`a dei passi di riduzione, e dal teorema di normalizzazione.
Per quanto riguarda la seconda questione, Schroeder-Heister45 ha fatto notare che le regole di introduzione a sinistra dei calcoli dei sequenti sembrano suggerire un ruolo attivo delle assunzioni. In ogni momento della costruzione di una derivazione, dovrebbe cio`e essere possibile operare sulle assunzioni, oltre che sulle conclusioni che abbiamo ottenuto; i calcoli dei sequenti lo permettono e, se vogliamo intendere questi come metacalcoli per la deduzione naturale, dovremmo permetterlo anche quando lavoriamo
43[Prawitz, 1965], capitolo 2. 44[Moriconi e Tesconi, 2008]. 45[Schroeder-Heister, 2004].
direttamente sulle dimostrazioni-oggetto. Si dovrebbe cio`e permettere lo sviluppo delle deduzioni verso l’alto, attraverso applicazioni di E-regole. Il modo pi`u semplice di fare questo `e adottare la formulazione generale delle E-regole ed imporre la restrizione che le premesse massime di queste regole compaiano sempre come assunzioni - non siano cio`e mai conclusioni di altre regole.
Nonostante questi vantaggi, non siamo obbligati a utilizzare le E-regole generalizza- te. Proprio come avviene nella deduzione naturale a conclusione singola, anche in NC `e possibile restringere le regole di eliminazione, e generalmente in questo modo ottenia- mo regole pi`u maneggevoli. Permettendo conclusioni multiple, diventa anzi possibile restringere anche la regola di eliminazione della disgiunzione. Le altre regole ristrette, oltre a quella per ⊃ che abbiamo gi`a visto, sono quindi:
A∧B,X ∧-E1 A,X A∧B,X ∧-E2 B,X A∨B,X ∨-E A,B,X
In conclusione, la logica classica pu`o essere formalizzata rispettando il principio di inversione, e quindi l’armonia tra regole di introduzione e regole di eliminazione, precisamente come avviene per la logica intuizionista. Ma per fare questo `e necessario costruire un sistema di derivazione che mantenga la stessa struttura della deduzione naturale, permettendo per`o la costruzione di deduzioni con conclusioni multiple. L’ar- monia che individuiamo in questo modo non `e un criterio ad hoc richiesto alle regole per escludere la possibilit`a di derivazioni indesiderate, ma rappresenta l’autonomia del- le costanti logiche, richiedendo che queste specifichino in modo completo il loro uso, attraverso le regole che le riguardano. Richiedendo che le E-regole siano in armonia con le I-regole, chiediamo infatti che da una formula contenente un connettivo, non si possa estrapolare pi`u significato di quello che la I-regole corrispondente vi ha inserito46.
Quella che abbiamo sviluppato fino a qui `e una giustificazione della deduzione che prescinda da elementi puramente realisti. Non abbiamo infatti fatto riferimento a un concetto primitivo di verit`a, o a una semantica denotazionale. Ma per spiegare il fun- zionamento della logica non `e sufficiente fare riferimento esclusivamente al contenuto
46Ovviamente perdiamo la possibilit`a di leggere l’armonia attraverso la coerenza della teoria ve-
rificazionista con quella pragmatista, dato che non abbiamo una teoria verificazionista della verit`a, a differenza di quanto avviene in [Dummett, 1991]; l’impossibilit`a di presentare una semantica del
degli enunciati e alla nozione di deduzione. Per spiegare il modo in cui le deduzioni normano il linguaggio si devono analizzare anche gli atti linguistici, e spiegare come le deduzioni influenzino l’accettabilit`a o meno di alcuni atti. In questa tesi mi concentrer`o solamente sugli atti linguistici principali dell’asserzione e del rifiuto. Generalmente vie- ne considerato prioritario il solo atto dell’asserzione, mentre il rifiuto si ritiene definibile a partire dal primo e dalla negazione47. A volte si preferisce analizzare la questione
dal punto di vista dei giudizi, piuttosto che dal punto di vista delle asserzioni, inten- dendo questi come il loro corrispettivo cognitivo. La scelta di usare una teoria degli atti linguistici ‘bilaterale’ verr`a difesa nel prossimo capitolo, nel quale presenter`o la posizione di Restall. Lascer`o aperta l’alternativa tra asserzioni e giudizi, che chiamer`o accettazioni per rendere pi`u chiara l’opposizione rispetto ai rifiuti.
La scelta di trattare gli atti linguistici dopo aver introdotto le inferenze e le dedu- zioni non `e l’unica possibile. Alcuni filosofi hanno sostenuto che le inferenze dovrebbero riguardare le asserzioni, o i giudizi, e non gli enunciati. Dummett, ad esempio, rimpro- vera a Frege di aver introdotto la sua teoria dell’asserzione troppo tardi; cio`e dopo aver gi`a spiegato il significato degli enunciati48. Seguendo Dummett, Martin-L¨of49 espone
in modo chiaro la distinzione tra giudizio e proposizione, e sostiene la tesi per cui un’in- ferenza dovrebbe operare sui primi, piuttosto che sulle seconde. Il motivo per cui non abbiamo adottato questa impostazione diventa chiaro se tentiamo di esemplificarne la tesi centrale utilizzando inferenze con conclusioni multiple50:
Ass(A) Ass(B) ∧-I Ass(A ∧ B) Ass(A∨B) ∨-E Ass(A,B)
Il problema si presenta in generale quando dobbiamo trattare l’asserzione di un insieme di formule. Descrivere l’inferenza attraverso l’atto assertivo non sembra il modo migliore per puntualizzare la differenza tra un insieme di enunciati raggruppati in modo congiuntivo e un insieme di enunciati raggruppati in modo disgiuntivo: perch´e dovremmo intendere ‘Ass(A)’ e ‘Ass(B)’ come l’asserzione congiunta di due enunciati
47Possiamo attribuire questo modo di impostare lo studio del linguaggio a Frege: [Dummett, 1973],
pg. 295.
48[Dummett, 1986b], pg. 70. 49Nell’articolo [Martin-L¨of, 1996].
50Per la precisione, Martin-L¨of formalizza le inferenze usando ‘`’ come simbolo di giudizio; io
traduco la sua posizione usando ‘Ass’ come simbolo di asserzione, per rimanere fedele al linguaggio che user`o nel resto della tesi.
- da cui sia possibile derivare ‘Ass(A ∧ B)’ - e ‘Ass(A,B)’ come l’asserzione disgiunta di due enunciati - derivabile da ‘Ass(A ∨ B)’ ? Sarebbe molto pi`u intuitivo considerare ‘Ass(A,B)’, e ‘Ass(A)’ e ‘Ass(B)’ come due forme equivalenti della stessa asserzione. La distinzione tra i due modi di asserire un insieme di enunciati sembra non avere alcuna base nella pratica linguistica. La distinzione tra assunzioni e conclusioni di una deduzione sembra una base ben pi`u salda per argomentare questa differenza tra i due insiemi di enunciati.
L’aspetto normativo della logica verr`a spiegato analizzando il calcolo dei sequenti da un nuovo punto di vista, e svolger`a quindi un ruolo di ‘ponte’ tra lo studio delle dimostrazioni e la regimentazione della comunicazione. L’introduzione del concetto di verit`a, che nella concezione realista della logica `e centrale per la caratterizzazione della validit`a delle dimostrazioni, avverr`a solo successivamente, come conseguenza dell’uso normativo della logica. Quindi in un certo senso potremo dirci in accordo con l’obiezio- ne avanzata da Dummett a Frege, dato che la verit`a non verr`a introdotta nella teoria prima e indipendentemente dall’asserzione.
Capitolo 7
Significato dei sequenti
La difesa della logica delle conclusioni multiple `e solamente il primo passo verso lo sviluppo di una nuova concezione del sistema dei sequenti.
Una delle questioni principali che avevamo affrontato presentando la versione reali- sta del pluralismo logico era cosa faccia di un sistema formale una logica vera e propria; la questione diventa ancora pi`u pressante quando si prendono in analisi i calcoli dei sequenti. La stessa natura di questo sistema di derivazione ha portato infatti a spe- rimentare modifiche dei calcoli tradizionali - quelli proposti da Gentzen per le logiche classica e intuizionista - che sarebbero impensabili negli altri sistemi. Il fatto stesso che alcune propriet`a strutturali delle derivazioni diventino, attraverso le regole strut- turali, manipolabili a piacere, permette la costruzione di calcoli devianti di difficile catalogazione.
Tutto il settore delle logiche sub-strutturali `e interessato da questo problema, e la proposta di Restall di trovare una lettura filosoficamente chiara almeno di alcune famiglie di calcoli dei sequenti sembra essere l’unica risposta possibile all’esigenza di individuare un criterio univoco per stabilire se un sistema di sequenti esprima una logica o meno. Come vedremo, infatti, questa interpretazione - che lega i sequenti alla regolamentazione della prassi linguistica - `e estendibile solo fino a un certo punto a sistemi che rifiutano le regole strutturali, e potrebbe essere usata per tracciare una distinzione tra logiche e sistemi di altra natura1. Se Restall `e nel giusto, `e possibile
1[Restall, 2000], ad esempio, indica a pg. 10 - 13 alcune possibili applicazioni dei sistemi sub-
strutturali, senza distinguere tra quali di queste siano di pertinenza della logica e quali no; tra le applicazioni elencate ci sono: lo studio delle informazioni e del modo in cui queste si legano tra loro,
fornire una lettura chiara del significato dei sequenti, che permetta di includere senza riserve almeno alcuni calcoli nel regno della logica, dove questa `e intesa nel senso pi`u stretto del termine. I sequenti smetterebbero in questo modo di essere un oggetto derivato, che deve il suo significato ad altri sistemi di derivazione, per assumere un significato autonomo. E, sebbene le logiche individuate con questa procedura siano essenzialmente le stesse trattate nella sezione realista, diventerebbe possibile isolarle attraverso un criterio interno, riguardante direttamente la struttura del calcolo dei sequenti.
7.1
Asserzione/rifiuto
La nuova lettura dei sequenti mette l’accento sull’aspetto normativo della logica. Il calcolo dei sequenti pu`o essere letto, invece che come un metacalcolo per la deduzione naturale, come uno strumento che norma gli atti linguistici, distinguendoli in accettabili e non.
Il punto di partenza di questa costruzione consiste nell’assumere come primitivi gli atti linguistici (speech-act) di asserzione2(assertion) e rifiuto3(denial). Perch´e l’aspetto normativo sia centrale, si impone che asserzione e rifiuto si riferiscano essenzialmente all’atteggiamento esterno dei parlanti: la posizione `e una posizione all’interno di un dialogo. Ovviamente `e naturale sostenere che queste posizioni manifeste abbiano dei corrispettivi cognitivi, escludendo posizioni comportamentiste molto estremiste. La distinzione principale comunque non sar`a tra le posizioni effettivamente sostenute dai parlanti attraverso il linguaggio e la loro posizione cognitiva inespressa, ma tra una qualunque di queste due e le posizioni che potranno effettivamente sostenere senza ‘auto-sconfiggersi’ nel dialogo.
Ma se il rifiuto deve essere un atto linguistico primitivo e vogliamo usare questo si-
lo studio dei tipi sintattici e lo studio delle azioni e del modo in cui una di queste pu`o precludere l’eseguibilit`a di altre.
2Che ha come controparte cognitiva l’atto dell’accettare una credenza, per cui Restall usa il termine
‘acceptance’ (che io tradurr`o con ‘accettare’).
3Restall utilizza il termine ‘denial’ per l’atto linguistico del rifiutare un enunciato, e ‘rejection’ per
l’atto cognitivo del rifiutare una credenza; invece di mantenere questa distinzione a livello terminolo- gico, ho preferito utilizzare il termine ‘rifiuto’, che `e sufficientemente ambiguo da esprimere entrambi i significati, ed esplicitare qui la distinzione tra i due significati.
stema per ottenere una versione antirealista del pluralismo logico, dobbiamo distinguere l’asserzione della negazione di un enunciato dal rifiuto di questo. Identificarli vorrebbe dire non poter caratterizzare il comportamento del rifiuto rispetto alle asserzioni in mo- do indipendente dalla logica in cui lavoriamo. La plausibilit`a di questa distinzione, e dell’elevamento del rifiuto ad atto linguistico fondamentale al pari dell’asserzione, `e ar- gomentata indipendentemente dal progetto. L’autore propone tre argomenti a sostegno della sua tesi:
Argomento genetico Il primo argomento con cui Restall giustifica il carattere pri- mitivo di questo atto `e il modo in cui emerge nel comportamento del bambino. L’autore sostiene che i primi atti linguistici che impara un bambino sono proprio quelli dell’asserzione e del rifiuto, e che questo avviene molto prima che il parlante riesca a padroneggiare la negazione, intesa come operatore. Questo argomento, sebbene plausibile in s´e, sembra per`o portarsi dietro una serie di conseguenze riguardo la natura della logica che potremmo non voler, o non poter, accettare. Sembra infatti basarsi su un’ottica psicologista che dovr`a essere analizzata4. Argomento delle logiche non classiche Il secondo argomento prende in analisi le
logiche non classiche, e cerca di individuare casi in cui i sostenitori di questi sistemi sarebbero disposti ad asserire ¬A senza per`o essere disposti a rifiutare A, o viceversa. Questo dovrebbe individuare controesempi alla tesi dell’identit`a delle due posizioni5.
Il supervalutazionismo6 rappresenta un controesempio nel senso che permette di