Il pluralismo logico nelle prospettive realista e antirealista

Sommario

L’obiettivo di questo elaborato `e affrontare la posizione filosofica del pluralismo lo-gico, analizzando gli sviluppi pi`u recenti di questa teoria (principalmente quelli dovuti a J.C. Beall e Greg Restall) e illustrarne le questioni lasciate aperte. Vengono distinti due modi di caratterizzare la conseguenza logica - quello realista orientato ai modelli e quello antirealista orientato alla pratica inferenziale - e si analizza il modo in cui il pluralismo pu`o essere argomentato in entrambe queste cornici teoriche. In entrambi questi ambienti si mostra che `e possibile ricostruire la logica classica, quella intuizio-nista e una variante di quella rilevante. Viene poi mostrato che in nessuna di queste prospettive siamo costretti ad accettare la tesi della variazione del significato sostenuta da Quine, secondo cui uno stesso connettivo otterrebbe significati diversi nelle varie logiche. Si argomenta anzi sostenendo che la prospettiva di Beall e Restall permette di ricostruire differenti logiche mantenendo fisso il significato adottato dalle costanti logi-che, e che questa caratteristica distingue il pluralismo sviluppato da questi due autori da quelli tradizionali, adottati da Rudolf Carnap e Susan Haack. In conclusione vengo-no confrontati i pluralismi realista e antirealista ottenuti, evidenziandone similitudini e differenze.

Indice

1 Cos’`e il pluralismo logico 4

1.1 Le logiche . . . 5

1.2 Monismo, pluralismo e relativismo . . . 8

1.3 Sistema formale e linguaggio naturale . . . 12

I

Realismo

26

3.2 Casi completi e coerenti: la logica classica . . . 50

3.2.1 Mondi possibili . . . 51

3.2.2 Modelli di Tarski . . . 51

3.3 Casi incompleti e incoerenti: la logica rilevante . . . 53

3.3.1 Implicazione di primo grado . . . 55

3.3.2 Congiunzione e disgiunzione . . . 56

3.3.3 La negazione . . . 58

3.3.4 Il sillogismo disgiuntivo . . . 64

3.4 Casi come costruzioni: la logica intuizionista . . . 68

3.4.1 Costanti proposizionali . . . 71

3.4.2 Quantificatori . . . 73

4 Armonia in TGT 77 4.1 Cosa non pu`o essere il pluralismo logico . . . 78

4.2 Significato delle costanti logiche . . . 80

4.2.1 Relazioni tra casi . . . 80

4.2.2 Unit`a del significato . . . 83

II

Antirealismo

89

6.2 Semantica dimostrazione-teorica . . . 105

6.2.1 Caratterizzazione indiretta della deduzione . . . 107

6.2.2 Armonia classica . . . 112

7 Significato dei sequenti 121 7.1 Asserzione/rifiuto . . . 122

7.2 Regole strutturali . . . 133

7.2.1 Ricostruzione dell’inferenzialismo di Brandom . . . 136

7.3 Regole logiche . . . 138 7.3.1 Logica classica . . . 140 7.3.2 logica intuizionista . . . 145 7.3.3 logica intuizionista-duale . . . 159 7.4 Biteorie . . . 173 8 Introdurre la verit`a 176 8.1 Nel caso classico . . . 178

8.1.2 Posizioni infinite . . . 183

8.1.3 Posizioni limite e verit`a . . . 196

8.2 Nel caso intuizionista . . . 203

8.2.1 Usando LJ . . . 203

8.2.2 Usando il secondo sistema intuizionista . . . 228

8.3 Nel caso intuizionista-duale . . . 229

8.3.1 Usando LDJ . . . 229

8.3.2 Usando il primo sistema intuizionista-duale . . . 238

8.3.3 Verit`a intuizionista-duale . . . 240

8.4 Verit`a secondo una teoria e verit`a simpliciter . . . 240

9 Armonia tra le logiche 243 9.1 Modelli e dimostrazioni . . . 244

9.1.1 La conseguenza logica . . . 246

9.2 Unit`a del significato delle costanti logiche . . . 248

9.2.1 Il caso della negazione . . . 248

10 Ancora realismo e antirealismo 254 10.1 L’argomentazione di Shapiro . . . 255

Capitolo 1

Cos’`

e il pluralismo logico

Il pluralismo logico `e una posizione filosofica riguardante l’intrinseca molteplicit`a delle relazioni di conseguenza logica. Il problema filosofico a cui tenta di rispondere `e quello originato dall’esistenza di pi`u sistemi formali, apparentemente in contraddizione tra loro, che pretendono di normare la deduzione e la relazione di conseguenza tra enunciati. L’esistenza di questa molteplicit`a di logiche `e sufficiente a confutare una posizione ingenuamente monista, secondo cui la logica sarebbe evidente e certa al punto da non poter sorgere disaccordo riguardo ad essa. In un’ottica del genere anche il semplice errore logico non sembrerebbe possibile; e il disaccordo vero e proprio riguardo alla validit`a o meno di una conseguenza logica sarebbe semplicemente inconcepibile. Una posizione del genere `e stata abbastanza comune nel passato, dato che fino alla fine del diciannovesimo secolo esisteva sostanzialmente un’unica logica - una fusione medievale della teoria aristotelica della quantificazione con il calcolo proposizionale di derivazione stoica -, e per giunta abbastanza semplice1_{. Perfino Kant sostenne una posizione simile,}

scrivendo nella prefazione alla seconda edizione della Critica della Ragion Pura:

Che la logica abbia seguito questo sicuro cammino fin dai tempi pi`u antichi, si rileva dal fatto che, a cominciare da Aristotele, non ha dovuto fare nessun passo indietro ... Notevole `e anche il fatto che sin oggi la logica non ha potuto fare un passo innanzi, di modo che, secondo ogni apparenza, essa `e da ritenersi come chiusa e completa. [Kant, 1975], pg. 15.

1_{Se accettiamo l’identificazione di questa logica con il calcolo dei predicati monadici del primo}

ordine - che richiede in effetti una certa approssimazione - possiamo perfino sostenere che si tratti di una logica decidibile.

La logica sarebbe quindi immutabile e non correggibile, perch´e evidente. Per una posizione simile non pu`o che sembrare scandalosa la grande variet`a di logiche oggi di-sponibili2, specialmente tenendo conto che la logica descritta da Kant come completa e corretta `e in realt`a solo un frammento di quella che oggi viene generalmente con-siderata la logica dai monisti. Anche se pragmaticamente non ci sono problemi ad accettare l’esistenza di differenti calcoli formali - anzi molte logiche non classiche sono risultate utili proprio per motivi applicativi - dal punto di vista filosofico `e necessario chiedersi quale sia lo stato attuale dalla logica, e quali tra i numerosi candidati possano effettivamente essere etichettati come ‘logica’.

Questo tipo di monismo ingenuo `e comunque sopravvissuto alla rifioritura della logica alla fine del XIX secolo, dato che Frege stesso considerava l’evidenza un crite-rio per stabilire la correttezza di un assioma logico. Sebbene infatti il suo logicismo nascesse in contrapposizione con la posizione kantiana per cui le verit`a aritmetiche sarebbero intuitivamente evidenti3_{, Frege si mostrava convinto di poter giustificare i}

principi logici, su cui voleva fondare la certezza della matematica, attraverso la loro presunta auto-evidenza4_{. La scoperta da parte di Russell della contraddittoriet`a del}

sistema di assiomi ‘auto-evidenti’ proposto da Frege pu`o essere considerata come la sconfitta definitiva di questa posizione filosofica5.

Abbandonata questa visione della logica, e prima di decidere a quali considerazioni filosofiche una tale perdita di ingenuit`a ci dovrebbe portare, `e bene stabilire chiaramente in che relazione formale stiano i sistemi oggi disponibili, e tentare di mettere ordine in questo mare magnum.

1.1

Le logiche

Se teniamo conto di alcuni tipi di divergenza tra le logiche, l’osservazione fatta poche pagine fa riguardo la sostanziale unitariet`a della logica tradizionale `e scorretta. Sebbene

2_{[Haack, 1974], pg. 26.} 3_{[Frege, 1977], par. 5, 12 e 88.}

4_{E difficile trovare passi in cui questa posizione viene espressa in modo chiaro, `` e in generale}

l’impostazione del progetto freghiano a darne testimonianza; si possono comunque trovare passaggi interessanti in [Frege, 1977], par. 63, 90 e 105.

infatti non esistano tradizionalmente alternative alla logica aristotelica-stoica di cui abbiamo parlato, ne esistono comunque fin dall’antichit`a proposte di estensione che trattino ad esempio termini modali come ‘necessario’ e ‘possibile’. Dobbiamo quindi stabilire con pi`u chiarezza l’oggetto del nostro studio. Nonostante si tratti di un testo piuttosto datato, [Haack, 1974] rimane un riferimento ancora utilissimo per catalogare le logiche e stabilire in che senso i sistemi di derivazione siano molteplici6_{. Dati due}

sistemi formali L1 e L2, diciamo che:

• L2 estende L1se l’insieme L1delle formule di L1`e un sottoinsieme proprio

dell’in-sieme L2 delle formule di L2, le derivazioni costruibili in L2 sono un sovrainsieme

proprio di quelle costruibili in L1, e L2 non permette di costruire alcuna

deri-vazione contenente esclusivamente formule di L1 che non sia gi`a costruibile in

L17;

• L2devia da L1se i due sistemi si riferiscono alle stesse formule L ma le derivazioni

costruibili in L2 e quelle costruibili in L1 non coincidono8.

In linea di principio, dovremmo prendere in considerazione anche la quasi-devianza tra sistemi logici, che si ottiene quando l’estensione del vocabolario di una logica per-mette la costruzione anche di nuove derivazioni che riguardino esclusivamente il voca-bolario di partenza. Abbiamo questa situazione in ogni caso in cui l’aggiunta di una costante a un frammento logico produca un’estensione non conservativa. Ad esempio la logica minimale - ottenuta da quella intuizionista eliminando le regole che governano la negazione - `e in questa relazione con la logica classica. La logica classica ha infatti sia alcuni teoremi contenenti ¬, sia alcuni teoremi contenenti esclusivamente i connettivi ⊃, ∨, ∧ che la logica minimale non ha, come ((p ⊃ q) ⊃ p) ⊃ p)9_{. La Haack riduce}

questa categoria alla seconda, sostenendo che sia sempre possibile ricondurre questa quasi-devianza alla devianza tout court studiando un sottosistema che non prenda in

6_{Mi riferisco in particolare a pg. 4-5.} 7_{Quello che chiediamo, in breve, `e che la L}

2 sia un’estensione conservativa di L1. 8_{Parler`o di L}

1 come sottologica di L2 quando le derivazione del primo saranno anche derivazioni

del secondo, ma non viceversa. ‘Essere sottologica’ ed ‘essere esteso da’ hanno in questo modo un significato completamente diverso. Cercher`o di mantenermi fedele a questa scelta terminologica per tutta la tesi, anche se generalmente il contesto dovrebbe rendere difficili i fraintendimenti.

9_{[Dummett, 1991], pg. 291, fa notare che l’estensione del frammento positivo della logica classica}

analisi l’estensione linguistica. In questo caso si tratterebbe di studiare il frammento della logica classica privo della negazione ma contenente tutti i teoremi in cui questa non compare, e metterlo in relazione con la logica minimale. La difficolt`a di formulare la logica classica in modo che l’aggiunta della negazione sia conservativa ci obbliga a chiarire che questa possibilit`a di ridurre una quasi-devianza a una devianza pu`o essere puramente teorica. Vedremo in un capitolo successivo un modo per isolare la negazione nella logica classica, ma per adesso `e sufficiente che la classe dei teoremi che contengo-no ¬ e quella dei teoremi che contengo-non la contengocontengo-no siacontengo-no disgiunti. Consideriamo questo sufficiente per tralasciare la categoria della quasi-devianza.

Riguardo alla possibilit`a di estendere i sistemi logici, credo che sia utile un’ulteriore distinzione:

• L’estensione pu`o avvenire:

– Aggiungendo elementi all’insieme dei termini logici;

– Aumentando la potenza espressiva del linguaggio ma mantenendo fisso l’in-sieme dei termini logici.

La logica modale, quella temporale, quella epistemica o semplicemente i sistemi contenenti assiomi per l’identit`a estendono nel primo senso la logica classica o qualun-que sistema che devii da essa; ogni sistema logico contenente i termini logici standard possiede questo genere di estensioni. La logica del secondo ordine estende quella del primo ordine nel secondo senso. In questo caso possiamo ancora parlare di estensione perch´e, sebbene il vocabolario rimanga costante, diventano grammaticali alcune for-mule che nella logica di partenza erano mal formate - ad esempio ∀P ∃x¬P (x). Faccio notare che secondo questa classificazione la logica del primo ordine `e ottenuta da quella proposizionale estendendo l’insieme dei termini logici.

Per quanto riguarda invece le logiche devianti credo che una distinzione necessaria da fare riguardi i valori di verit`a.

• Le logiche devianti possono essere in disaccordo sui valori di verit`a:

– in senso forte, cio`e le logiche assumono l’esistenza di una diversa classe di valori di verit`a;

– in senso debole, cio`e una logica fa assunzioni sui valori di verit`a che l’altra non sottoscrive.

In questo modo le logiche che assumono la bivalenza, come la logica classica, sono in disaccordo in senso forte con le logiche che assumono pi`u valori di verit`a, come al logica a tre valori di Lukasiewicz, mentre quelle che permettono buchi nei valori di ve-rit`a mantenendo comunque i valori di verit`a tradizionali, come l’intuizionismo, deviano in senso debole dalla logica classica. Non intendo affrontare in modo approfondito la questione dell’atteggiamento dell’intuizionismo riguardo alla bivalenza, n´e pronunciar-mi sul rapporto tra questo principio e la legge del terzo escluso. In questa sede pronunciar-mi preme solamente distinguere la posizione di chi adotta una teoria dei valori di verit`a alternativa a quella classica e chi, pur non accettandola, si rifiuta al tempo stesso di negarla.

La seconda posizione non deve essere n´e sottovalutata, n´e sopravvalutata, nel sen-so che logica classica e logica intuizionista sen-sono profondamente in disaccordo riguardo ai valori di verit`a - in quanto in disaccordo sulla nozione stessa di verit`a - ma non `e possibile trovare alcun controesempio alla bivalenza all’interno della logica intuizio-nista. I controesempi forti alla bivalenza sono presenti solamente nella matematica intuizionista, che noi separiamo nettamente dalla logica.

Sottolineo, per esigenza di chiarezza, che per adesso non abbiamo ancora parlato di pluralismo logico n´e di alcuna posizione filosoficamente impegnativa; tutto ci`o che abbiamo fatto `e stato esporre il fatto incontestabile dell’esistenza di pi`u sistemi di derivazione e studiare le relazioni formali che li legano tra loro. Fino a qui non `e stato cio`e detto niente di particolarmente controverso.

1.2

Monismo, pluralismo e relativismo

L’esistenza di pi`u sistemi formali non porta tuttavia a riconoscere necessariamente l’esistenza di pi`u tipi di conseguenze logiche. Abbiamo infatti mostrato l’esistenza di pi`u sistemi formali e l’incoerenza del monismo ingenuo, secondo cui la logica sarebbe evidentemente una, ma non abbiamo affatto argomentato che i sistemi formali elencati

siano corretti. Anzi, non abbiamo neanche stabilito quale sia il criterio di correttezza per una presunta logica, n´e abbiamo detto che un tale criterio debba esistere.

Come prima cosa quindi, dobbiamo distinguere la tesi metafisica per cui esistono pi`u logiche corrette da quella epistemologica per cui la conoscenza della logica `e fal-libile10_{. Avendo pi`u sistemi formali a disposizione, e differenti posizioni su quale di}

questi sia quello corretto (o quali siano quelli corretti), siamo semplicemente obbligati ad accettare il fallibilismo riguardo alla conoscenza della logica. Le posizioni metafi-siche non fanno per`o riferimento al fallibilismo, ma all’esistenza simpliciter di logiche corrette. Le posizioni possibili sono:

Monismo logico: esiste una sola logica corretta;

Pluralismo logico: esistono pi`u logiche corrette, e il disaccordo tra esse `e in qualche modo spiegabile;

Relativismo logico: esistono pi`u logiche corrette ma, mancando la possibilit`a di un’analisi generale della nozione di conseguenza logica, `e impossibile ridurre il disaccordo tra di esse.

Il relativismo logico rifiuta in generale l’idea che la validit`a di una dimostrazio-ne possa essere valutata indipendentemente da un sistema formale. In senso interno ogni logica sarebbe coerente e corretta, ma non ci sarebbe una prospettiva esterna che possa rendere conto contemporaneamente di tutte le logiche. Le logiche sarebbero incommensurabili tra di loro, e sarebbe quindi impossibile trovare un terreno comune di confronto. In altre parole, per un sostenitore di questa tesi ‘valido’ significa sempli-cemente valido-secondo-la-logica-L11_{. Il Principio di Tolleranza di Carnap, ad esempio,}

porta ad un tipo di relativismo simile. Questa posizione `e chiamata ‘strumentalismo’ in [Haack, 1978], dove l’autrice propone alcuni argomenti per rifiutarla12<sub>. Io seguir`o</sub>

una strada diversa, e prender`o le distanze da questa posizione assumendo un criterio di correttezza per i sistemi - e non solamente all’interno di essi. Dopo aver sviluppato in modo pi`u sistematico il pluralismo nei capitoli successivi, mostrer`o, attraverso

un’a-10_{[Haack, 1978], pg. 221.} 11_{[Haack, 1978], pg. 13-15.} 12_{Pg. 221.}

nalisi del rapporto tra le varie logiche, come questa scelta renda possibile accettare la validit`a extra-sistemica di pi`u logiche senza cadere in contraddizione.

Per accettare una posizione monista, vista la grande variet`a di sistemi disponibili, l’atteggiamento pi`u interessante consiste nel considerare una logica come una scienza a tutti gli effetti. In questo modo la pluralit`a dei sistemi logici oggi disponibili non si differenzierebbe significativamente dalla pluralit`a dei modelli atomici disponibili nel secolo scorso e, come in quel caso, la soluzione consisterebbe nello stabilire quale delle varie logiche sia quella corretta13_{. Questa `e proprio la posizione difesa da Susan Haack}

nel suo primo libro dedicato all’argomento: una visione monista e fallibilista della logica14, ottenuta sviluppando gli spunti estrapolati da [Quine, 2004].

Il problema dell’approccio kantiano - come del resto l’analogo problema dell’ap-proccio di Frege - `e un’identificazione immotivata della necessit`a logica con l’evidenza epistemologica. Le verit`a logiche, essendo necessarie, dovrebbero essere anche evidenti. Rifiutato questo assunto - difficilmente sostenibile dopo la scoperta da parte di Russell dell’incoerenza degli assiomi evidenti di Frege -, non abbiamo la necessit`a di effettuare anche il passo ulteriore, di considerare cio`e possibile la correttezza di pi`u logiche. Una volta rifiutata l’evidenza della logica, possiamo limitarci ad accettare la tesi fallibilista dal punto di vista epistemologico e quella monista dal punto di vista metafisico. Il monismo che otteniamo in questo modo `e sufficientemente maturo da permettere la presenza di pi`u logiche concorrenti.

Ma identificare la ricerca logica con la ricerca scientifica non `e l’unica strada possi-bile per difendere il monismo. Un’altra possibilit`a consiste nel sostenere la correttezza di una logica, tipicamente la logica classica, a partire da alcuni metateoremi che la caratterizzano. Sebbene a un’analisi superficiale questa prospettiva possa sembrare molto promettente per un monista classico, data la possibilit`a di dimostrare sia la cor-rettezza che la completezza di un qualunque sistema di derivazione per questa logica, si devono fare alcune precisazioni.

Innanzitutto il significato filosofico di questi metateoremi dipende profondamente da

13_{Ho preso questo esempio da [Priest, 2001], pg. 13.}

14_{In realt`a in [Haack, 1974] chiama la sua posizione ‘pragmatica’, e la contrappone alla visione}

‘assolutista’, ma in [Haack, 1978] ritorna sulla sua vecchia posizione e, dopo aver chiarito la separazione del piano metafisico da quello epistemologico, la caratterizza in questi termini.

alcune scelte di principio che dobbiamo esplicitare. Non `e un caso che la logica classica sia stata considerata come il riflesso di un atteggiamento realista verso il significato, per cui la verit`a di un enunciato dipenderebbe dal sussistere o meno di uno stato di cose, indipendentemente dall’accessibilit`a di questo stato di cose rispetto ai parlanti, e il significato dei termini consisterebbe nel riferimento a oggetti del mondo. Sembrerebbe quindi che, perch´e il riferimento a questi metateoremi possa effettivamente giustificare il monismo rispetto alla logica classica sia necessario accettare il realismo semantico, e quindi l’interpretazione realista della semantica dei modelli.

Ma anche questo potrebbe non essere sufficiente, dato che la logica classica non `e l’unica a poter esibire propriet`a di questo tipo. Sebbene infatti molte logiche devianti siano nate come reazione agli aspetti principali di questa impostazione realista15, `e stato poi possibile costruire per molte di esse delle teorie dei modelli da intendere come semantiche rispetto a cui i sistemi logici siano dimostrabilmente corretti e completi. Per questo, anche accettando il realismo, e quindi la centralit`a della teoria dei modelli, il monismo classico non appare pi`u una scelta obbligata.

Questa separazione della logica classica dal realismo - e delle logiche devianti dal-l’antirealismo -, lungi dall’essere una tesi accettata da tutti, `e anzi una delle posizioni pi`u controverse dell’attuale dibattito sul pluralismo, e sar`a uno dei fili conduttori di tutta la tesi. Per adesso `e sufficiente notare che i metateoremi di correttezza e comple-tezza sono validi anche per alcune logiche devianti16, e che quindi come argomentazione per il monismo devono essere discusse con pi`u attenzione.

Entrambe queste posizioni filosofiche sono comunque decisamente pi`u stabili del monismo ingenuo, e dimostrare la preferibilit`a del pluralismo logico rispetto a essa non `e facile. Haack prende posizione a favore del pluralismo in [Haack, 1978], rifiutando la sua vecchia posizione, ma dichiara esplicitamente che le argomentazioni da lei proposte non sono conclusive17. Esistono infatti vari sistemi formali che pretendono di formalizzare le relazioni logiche tra enunciati, e argomentare a favore del pluralismo significa asserire che almeno due di questi sistemi lo fanno correttamente. Perch´e questo sia possibile,

15_{Sembrerebbe infatti che una lettura antirealista sia naturale per tutte le logiche che non assumono}

alcun principio sui valori di verit`a: bivalenza, trivalenza, etc.

16_{Prima tra tutte la logica intuizionista, che pi`u di tutte le altre nacque con lo scopo esplicito di}

negare i principi realisti della logica classica.

si deve sostenere che la rivalit`a tra alcuni sistemi logici `e solamente apparente.

Dato il suo scetticismo riguardo all’esistenza di una vera forma logica soggiacente alla struttura manifesta del linguaggio18, Haack sostiene la possibilit`a che due logiche astraggano dalla struttura linguistica sistemi formali differenti ma non rivali. Due logiche che sono evidentemente in questa relazione sono la logica enunciativa e quella dei predicati, dato che la prima astrae dalla struttura interna dell’enunciato, mentre la seconda la considera un aspetto logicamente rilevante. In generale tutti i casi in cui una logica ne estende altre sono facilmente interpretabili in questo modo, ma la tesi dell’autrice `e che questo quadro esplicativo sia adatto a trattare anche altri tipi di pluralismo. Non possiamo infatti pensare che differenti astrazioni dal linguaggio naturale portino sempre alla costruzione di estensioni della logica di partenza: alcune logiche saranno devianti in senso stretto, anche se forse non rivali. Purtroppo trattare logiche tra loro devianti in questo modo `e assai pi`u complesso e Haack non propone alcuno sviluppo significativo di questa idea, sebbene l’idea di fondare il pluralismo sul rapporto con il linguaggio naturale vada a mio avviso nella giusta direzione. Credo che senza specificare in alcun modo come si possano ottenere i sistemi formali dal linguaggio naturale, la prospettiva non possa essere considerata soddisfacente, e che questa mancanza sia ci`o che maggiormente distingue la prospettiva pluralista di questo testo, ormai classico, dalle prospettive pi`u recenti che analizzer`o in seguito.

1.3

Sistema formale e linguaggio naturale

Il riferimento che monismo e pluralismo fanno a un concetto extra-sistemico di validit`a pu`o essere visto come un riferimento al linguaggio naturale, e alla conseguenza logica che in esso compare. In questo modo la differenza tra queste posizioni e il relativismo coinciderebbe con la differenza tra ignorare o meno il linguaggio naturale. Concluder`o questo capitolo analizzando in modo informale il possibile rapporto che si pu`o definire - o escludere - tra sistemi formali e linguaggio naturale, e il modo in cui la conseguenza logica si pu`o presentare in un tale linguaggio. Il resto della tesi avr`a lo scopo di

sviluppare in modo formale, nei limiti del possibile, questa relazione, sia prendendo in analisi un’impostazione realista che una antirealista.

Seguendo [Cook, 2010], considereremo sistemi formali presentati come coppie or-dinate composte da un insieme di formule ben formate e da una relazione definita su insiemi di formule e formule19_{. In breve:}

SF=hL, `i, con `⊆ ℘(L) × L.

Dato un tale sistema, possiamo considerare la relazione di conseguenza logica per-fettamente specificata, se ci accontentiamo della relazione interna al sistema. In questo modo ogni sistema attribuir`a a ciascuno dei suoi termini un significato dipendente dalle regole che lo governano e non sar`a necessario fare riferimento ad alcuna interpretazio-ne. La posizione relativista che ne risulta considera ogni sistema formale una logica incommensurabile rispetto alle altre, dato che ogni linguaggio `e indagabile solo dal suo interno. Per la precisione, niente ci impedisce di studiare il rapporto tra due logiche distinte, ma questo studio non avr`a mai carattere giustificativo. Lo scopo potr`a essere solamente lo studio delle propriet`a formali di un calcolo rispetto a un altro, e non sar`a mai il riferimento a qualcosa di esterno al linguaggio formale a stabilire il significato dei termini o la correttezza della relazione di deducibilit`a.

La prospettiva di chi affianca allo studio dell’aspetto sintattico del linguaggio lo studio dei suoi modelli algebrici non `e molto differente. I modelli algebrici, infatti, se non sono affiancati da una solida interpretazione filosofica20, possono essere difficilmen-te collegati a difficilmen-teorie del significato o a difficilmen-teorie della conseguenza logica extra-sisdifficilmen-temica. Vedremo nel prossimo capitolo, quando analizzeremo la versione realista del pluralismo, tutti i limiti e le assunzioni necessarie perch´e una semantica dei modelli possa essere considerata un modo per trattare la conseguenza logica del linguaggio naturale - o co-munque una relazione di conseguenza logica indipendente dai singoli linguaggi formali. Per adesso `e sufficiente notare che il riferimento a una concezione modellistica della conseguenza logica non porta necessariamente a rifiutare una posizione relativista.

19_{Tralasciamo possibili complicazioni come conclusioni multiple e relazioni di conseguenza}

formalizzate attraverso liste o multiinsiemi.

Come abbiamo dichiarato all’inizio del paragrafo, il riferimento esterno che permette di identificare una posizione pluralista o monista `e quello al linguaggio naturale. Il riferimento ad alcune classi di modelli - o ad alcune regole primitive di inferenza, come si vedr`a nella seconda parte della tesi - costituisce un modo per identificare il monismo o il pluralismo, solo se questi strumenti formali sono utilizzati per analizzare la relazione di conseguenza logica del linguaggio naturale.

Ma in che caso il riferimento al linguaggio naturale produce una posizione monista? E in che caso si ottiene invece una posizione pluralista? Come prima cosa `e bene chiarire che un sistema formale rappresenta correttamente la relazione di seguirelogicamente -`e cio`e veramente una logica - se e solo se le derivazioni formali che permette di costruire possono essere interpretate nel linguaggio ordinario come conseguenze logiche. Perch´e questo avvenga, si deve esplicitare un insieme di termini logici del sistema formale, e trovare una loro interpretazione all’interno del linguaggio naturale. Fatto questo saremo in grado di stabilire se il sistema formale produce derivazioni che, una volta interpretate, siano logicamente valide; se cio`e siano conclusioni logiche del linguaggio naturale21_.

In particolar modo, per comprendere l’alternativa tra tra monismo e pluralismo si devono analizzare con attenzione tre aspetti del linguaggio naturale e della funzione di interpretazione:

• Come identifichiamo l’insieme dei termini logici del linguaggio naturale;

• Come definiamo il rapporto tra il significato attribuito alle costanti logiche del linguaggio formale e il significato delle costanti logiche del linguaggio naturale; • Quante relazioni di conseguenza logica riconosciamo nel linguaggio naturale. Nella prospettiva che abbiamo adottato il primo punto sembra secondario, ma que-sto `e semplicemente dovuto all’aver invertito il rapporto tra linguaggio naturale e siste-ma forsiste-male. Partendo cio`e gi`a con un sistema formale, l’identificazione del vocabolario logico del linguaggio naturale pu`o essere fatta partendo dal vocabolario logico, perfet-tamente esplicitato, del sistema formale. Evidentemente questa facilit`a `e ingannevole,

21_{[Cook, 2010], pg. 495. Potrebbe sembrare che si stia definendo la conseguenza logica in modo}

sostituzionalista, ma ci tengo a precisare che non `e affatto cos`ı; per adesso ci stiamo riferendo al linguaggio naturale, e non abbiamo ancora proposto alcunch´e per eliminare la modalit`a del concetto intuitivo di conseguenza logica. Le critiche di Etchemendy a questi tentativi verranno quindi analizzate

dato che i sistemi formali proposti come logiche sono ottenuti astraendo dal linguaggio naturale, e quindi devono basarsi su una selezione dei termini logici. Per altro potrem-mo voler escludere un sistema formale dalla classe delle logiche anche per i termini logici che vi compaiono, e quindi anche in questa prospettiva un criterio sembra ne-cessario. Un modo per essere pluralista rispetto alla logica `e quindi quello di esserlo rispetto all’insieme dei termini logici. Secondo certe interpretazioni, gi`a Tarski fu un pluralista in questo senso22_{, ma noi siamo interessati a tipi pi`u primitivi di pluralismo}

logico.

Il secondo punto deve essere distinto dal primo, perch´e anche dopo aver selezionato una serie di termini del linguaggio naturale, e avendo deciso di considerarli appartenenti al vocabolario logico, si deve decidere quali aspetti di essi formalizzare. E chiaro` ad esempio che nell’usuale logica classica, dopo aver scelto la congiunzione ‘e’ come costante logica, si `e deciso di isolarne solo una parte del significato, tralasciando ad esempio l’aspetto temporale che la avvicina a ‘e poi’. Per avere un’idea di quanto possa essere complesso il rapporto tra termini logici del linguaggio naturale e costanti logiche del sistema formale, si consideri lo sdoppiamento dei connettivi usuali nella logica lineare23_{. Lasciando da parte per adesso la questione dell’accettabilit`a o meno}

della logica lineare all’interno della classe delle ‘vere’ logiche, possiamo accettare l’idea di separare, anche tipograficamente, il significato additivo da quello moltiplicativo dei connettivi24. In questo modo si vorrebbe far emergere una dicotomia di significato presente implicitamente nelle costanti logiche del linguaggio naturale.

Il terzo punto deve essere considerato in isolamento rispetto ai primi due, nel senso che, perch´e il punto sia interessante, le varie relazioni di conseguenza logica esistenti nel linguaggio naturale non devono differire a causa di differenze nelle costanti logiche. Si sostiene cio`e che a essere molteplici sono prima di tutto le relazioni di conseguenza

22_{[Varzi, 2002] propone questa lettura dei testi di Tarski e analizza questo tipo di pluralismo;}

posticipiamo l’analisi della sua posizione al prossimo capitolo, dove verr`a analizzata in relazione alla definizione modellistica della conseguenza logica.

23_{[Girard, 1987].}

24_{Credo che gli eventuali problemi per poter considerare questo sistema di derivazione una}

logi-ca siano legati principalmente alle limitazioni alle regole strutturali e quindi alla concezione della derivabilit`a come di qualcosa che consuma risorse. Del resto la separazione dei connettivi in additi-vi/moltiplicativi pu`o essere mantenuta solo rifiutando le regole strutturali, quindi forse i due aspetti non possono essere considerati separati neanche dal punto di vista concettuale. [Abrusci, 1992], pg. 14-37.

logica, e solo secondariamente le selezioni possibili dei termini logici e la scelta di come isolarne il significato logicamente rilevante. Almeno una parte del disaccordo tra le varie logiche sar`a in questo modo imputabile alla relazione di conseguenza logica in s´e, piuttosto che a differenze ‘esterne’.

Certamente tutti questi punti meriterebbero un approfondimento rispetto alla for-malizzazione offerta della conseguenza logica, ma rimando questo compito ai capitoli successivi. Mi sono mantenuto a livello informale, parlando di conseguenza logica, perch´e non esiste un modo universalmente riconosciuto per formalizzarla. La scelta di come interpretare la validit`a logica presuppone una scelta filosoficamente molto im-portante: l’alterativa tra realismo e antirealismo semantico. In questo primo capitolo mi sono limitato a considerazioni generali, condivisibili dagli appartenenti a entrambi gli schieramenti, mentre nel resto della tesi prender`o in considerazione entrambe le posizioni ma singolarmente, formalizzando la conseguenza logica in modo realista nella prima parte, e in modo antirealista nella seconda.

Avendo riconosciuto l’importanza di argomentare la correttezza di un sistema di derivazione, la posizione pluralista e quella relativista vengono distinte in modo netto. In questo modo passiamo dall’asserzione banale per cui esistono pi`u sistemi formali -che `e tutto ci`o che ha senso dire secondo i relativisti - all’asserzione ben pi`u interessante per cui esiste una solo logica corretta o ne esistono pi`u di una. Se una singola logica `e perfettamente capace di formalizzare tutte e sole le inferenze valide, allora la tesi monista `e quella corretta. Se invece sono necessari pi`u di un sistema formale, allora dovremmo dichiaraci pluralisti rispetto alle logiche corrette. Questo pluralismo pu`o emergere da due fattori: la presenza di pi`u nozioni di conseguenza-logica nel linguaggio naturale; o la possibilit`a di attribuire significati leggermente differenti alle costanti logiche. Il pluralismo logico dipenderebbe cio`e dalla molteplicit`a delle relazioni di conseguenza logica o dei possibili modi di formalizzare i termini logici. Tutto questo a prescindere dalla selezione dei termini logici, che pone altrettanti problemi, e che `e alla base del tipo ‘tradizionale’ di pluralismo logico.

formale rispetto al linguaggio naturale. Vediamo quali posizioni pu`o assumere un monista di fronte alle questioni viste prima:

1. Riguardo alla conseguenza logica nel linguaggio naturale, non potr`a che essere monista;

2. Riguardo al significato dei termini logici dei diversi sistemi formali potr`a avere differenti posizioni:

(a) Potr`a accettare l’esistenza di pi`u sistemi formali corretti sostenendo che, attraverso la variazione del significato dei termini logici del sistema, tutti questi rappresentino in realt`a l’unica conseguenza logica;

(b) Potr`a sostenere che solo uno dei sistemi formali disponibili sia quello corret-to, e che quindi tutti i sistemi formali devianti da esso siano scorretti25_.

La differenza tra gli ultimi due punti si pu`o sottolineare facendo notare che il moni-sta che sottoscrive il primo, sostiene che le logiche devianti non esistono - o almeno che una classe importante di queste non `e veramente deviante -, dato che in realt`a tutte le logiche sono in accordo con quella ‘normale’, anche se i suoi sostenitori non ne sono co-scienti, mentre il monista che adotta la seconda posizione accetta il divario tra i sistemi formali, ma crede che i sistemi devianti non siano logiche nel vero senso della parola. Ovviamente queste posizioni possono essere accettate entrambe dallo stesso monista, che considerer`a alcuni sistemi come pure differenze tipografiche rispetto alla vera lo-gica, e altri sistemi come teorie formali che non possono essere considerate logiche: banalmente, la logica quantistica, per un monista classico, rientrer`a nel campo della scienza fisica. C’`e anche da notare che l’esistenza di sistemi formali che differiscono in modo puramente tipografico `e una realt`a matematica, e non una posizione filosofica-mente impegnativa. La posizione impegnativa `e utilizzare questo fenomeno per cercare di descrivere la devianza di tutti i sistemi formali, o almeno di quelli ‘significativamente devianti’.

Per approfondire queste posizioni moniste, vediamo in che modo pu`o articolarsi il pluralismo, e cerchiamo di analizzare il rapporto tra i due approcci. Pi`u che di

25_{Escludendo dall’ostracismo tutte le variazioni puramente tipografiche, ovviamente; ma sulle}

monismo e pluralismo, sarebbe infatti corretto parlare di monismi e pluralismi, e per studiare tutto il campo delle possibili posizioni `e necessario contrapporle punto su punto. Riguardo alle questioni elencate prima, sempre mantenendo ferma la classe dei termini logici per non complicare le cose, un pluralista pu`o:

1. Sostenere la possibilit`a che il significato dei termini logici dei sistemi formali varino, e che questo sia alla base di alcune logiche devianti, ma che questa varianza derivi dall’indeterminatezza del significato delle costanti logiche del linguaggio naturale;

2. Sostenere che il significato dei termini logici dei sistemi formali sia fisso, ma che a essere plurale sia la relazione di conseguenza logica del linguaggio naturale26_.

Teoricamente un pluralista potrebbe anche accettare entrambe queste posizioni, ma conviene comunque studiarle singolarmente per evitare confusioni. Il primo punto di questo elenco assomiglia al primo sottopunto del secondo punto dell’elenco precedente; c’`e cio`e sia un modo pluralista che un modo monista di accettare la tesi della variazione del significato27_{. Analizziamo le differenze tra queste tesi della variazione del significato}

facendo riferimento ancora una volta al lavoro di Haack.

Haack prende posizione contro la tesi monista della variazione del significato analiz-zando la posizione di Quine al riguardo. Nonostante questo, il fatto di poter considerare rilevanti aspetti differenti delle costanti del discorso informale, la porta ad argomentare a favore del pluralismo adottando una sorta di tesi della variazione del significato, seb-bene di tipo ben diverso da quello originariamente sostenuto da Quine. Quine infatti formula la tesi della variazione del significato per sostenere che non sia possibile rifiu-tare la logica classica28_{. Secondo l’autore, chi rifiuta le leggi logiche che riguardano una}

costante, smette semplicemente di riferirsi a quella costante. Posso certamente soste-nere che ‘A ∨ ¬A’ non sia una verit`a logica, ma quello che ottengo `e semplicemente che ∨ non `e la disgiunzione, o ¬ non `e la negazione, quindi non sto veramente rifiutando la legge del terzo escluso. Questa variazione si verificherebbe ogni volta che sorga un

26_{[Cook, 2010] parla a questo proposito di pluralismo dipendente dalla pluralit`a delle conseguenze}

logiche.

27_{Oltre ovviamente ad un modo relativista, che `e forse quello pi`u ovvio.}

disaccordo rispetto ad una legge logica, e sarebbe tale da impedire una reale rivalit`a tra le logiche.

Perch´e questa spiegazione sia accettabile si deve prima di tutto sostenere la corret-tezza del significato attribuito dai logici classici alle loro costanti, e quindi sostenere che queste formalizzano tutti gli aspetti rilevanti dei termini logici del linguaggio naturale. Quine `e cio`e l’esempio pi`u rappresentativo del monista che considera le logiche devianti delle pure variazioni tipografiche alla logica classica.

Haack rifiuta nettamente la tesi della variazione del significato nella forma sostenu-ta da Quine. Infatti, fa nosostenu-tare che la giustificazione di alcuni sistemi devianti richiede necessariamente che ai connettivi siano attribuiti gli stessi significati delle costanti clas-siche, o almeno significati non completamente dissimili, quindi nessun tipo radicale di variazione del significato sarebbe in atto: l’intuizionismo si propone come riforma del-la logica cdel-lassica proprio perch´e pretende che la sua negazione e la sua disgiunzione abbiamo lo scopo di formalizzare gli stessi termini formalizzati dai connettivi classi-ci. In questo modo, anche ammettendo una variazione del significato delle costanti delle logiche devianti, questa differenza non pu`o essere cos`ı marcata da rendere possi-bile un’identificazione nella logica classica con una costante logica differente da quella tipograficamente identica; le due logiche cio`e non possono essere ricondotte all’unit`a attraverso una traduzione diversa da quella standard. La differenza di significato quindi non porterebbe necessariamente alla mancanza di rivalit`a tra due sistemi29. Sintetiz-zando, il significato delle costanti nelle diverse logiche dovrebbe sovrapporsi abbastanza da rendere sensate le rivendicazioni dei logici devianti di voler formalizzare la vera con-giunzione, la vera discon-giunzione, etc. e, di conseguenza, abbastanza da rendere possibile una vera divergenza. Questa posizione, avanzata inizialmente in ambito fallibilista, verr`a poi ripresa nel testo in cui Haack difende il pluralismo30_{. Possiamo vedere come}

sia effettivamente identificabile con il primo punto dell’elenco, cio`e con il modo plu-ralista di accettare la variazione del significato. Le differenti logiche hanno posizioni discordanti sulla validit`a dello stesso argomento informale, e questo perch´e hanno opi-nioni diverse su quali siano gli aspetti centrali di una costante logica che compare in

29_{[Haack, 1974], pg. 8.}

30_{La posizione fallibilista che condivideva in origine la Haack era quindi un monismo dell’ultimo}

un argomento informale, e quindi su quali di questi la logica dovrebbe evidenziare. Sostenendo il pluralismo logico, Haack conclude che se la variazione del significato `e accettabile, non porta a conflitti irresolubili solamente perch´e viene originato da un differente modo di astrarre dagli stessi argomenti informali. Quello che rende possibile per una logica deviante essere corretta insieme alla logica classica, non `e la presunta traducibilit`a dei suoi teoremi in quelli classici e viceversa31_{, ma il fatto che entrambe}

nascano astraendo dagli argomenti informali un argomento schematico. A differenza della tesi monista della variazione del significato, si riconosce la molteplicit`a del signi-ficato delle costanti all’interno dello stesso linguaggio naturale. La tesi della variazione del significato `e corretta solo quando asserisce che le differenti logiche individuano dif-ferenti sezioni del significato delle costanti logiche nel linguaggio ordinario, e quindi quando non viene usata per ricondurre arbitrariamente le varie logiche all’unit`a.

Peraltro, il pluralismo logico non impone di accettare tutte le logiche, di non sce-gliere mai; alcune logiche sono semplicemente da respingere. E non `e assurdo sostenere che anche nel loro caso il significato delle costanti logiche sia differente da quello classi-co. Ad esempio Haack ritiene che una logica debba essere indipendente dagli oggetti a cui si riferisce: la fisica si riferisce agli oggetti materiali, la biologia agli esseri viventi, l’aritmetica ai numeri, ma la logica non deve avere un tipo particolare di oggetti a cui riferirsi. Questo significa che il suo pluralismo non potr`a accettare contemporaneamen-te sia la logica classica che una logica quantistica, dato che il loro disaccordo rispetto alla validit`a di un argomento - tipicamente le leggi di distributivit`a - non dipende da differenti modi di disambiguare gli argomenti informali, ma dall’oggetto di cui stiamo parlando. Cio`e perch´e sia possibile accettarle entrambe, si dovrebbe sostenere che la logica classica valga per oggetti macroscopici, mentre la logica quantistica varrebbe per oggetti microscopici, ma questo `e contrario all’indipendenza della logica dagli ogget-ti del discorso. Quindi una sola tra esse dovr`a essere corretta, e dovr`a essere valida rispetto ad ogni oggetto. Eppure non abbiamo motivi per ritenere che la logica quan-tistica snaturi il significato delle costanti logiche meno delle altre logiche non classiche.

31_{Peraltro `e abbastanza evidente che non possa esistere una traduzione tra logica intuizionista e}

logica classica come quello che pu`o esistere tra due semplici variazioni tipografiche della stessa logica (una che usi ‘.’ al posto di ‘∧’ o anche qualcosa di pi`u fantasioso); sebbene il risultato di traducibilit`a di G¨odel possa forse riaprire il dibattito.[Haack, 1974], pg. 96-97.

Quindi la variazione del significato non impedisce che ci sia rivalit`a tra le logiche32. Come abbiamo visto, quindi, Haack argomenta a favore del pluralismo logico rifiu-tando lo slogan di Quine ‘change of logic, change of subject’, ma accetrifiu-tandone comun-que la premessa per cui un cambio di logica porta almeno a un cambio di significato delle costanti logiche. Un cambiamento nel significato non `e infatti necessariamente un cambiamento nell’argomento, e quindi non obbliga verso il monismo. Questa `e sicu-ramente una scelta praticabile, e quello che otteniamo `e il secondo tipo di pluralismo logico dopo quello tradizionale che riguarda la selezione dei termini logici. Nessuno di questi pluralismi per`o considera la possibilit`a diretta di pi`u relazioni di conseguenza logica all’interno del linguaggio naturale, o almeno che questa sia l’origine principale dell’esistenza di pi`u logiche corrette. Per far questo dobbiamo seguire l’ultima strada tratteggiata e accettare direttamente la pluralit`a della relazione di conseguenza logica. I primi a proporre questo tipo di pluralismo sono stati J. C. Beall e Greg Restall in un articolo apparso sull’Australasian Journal of Philosophy nel 200033_.

Nel seguito della tesi mi concentrer`o su questo tipo di pluralismo logico per due motivi fondamentali: la sua novit`a e la possibilit`a di offrirne una caratterizzazione for-male. Riguardo alla novit`a non c’`e molto da aggiungere, mentre per quanto riguarda la trattabilit`a formale faccio notare che per adesso la discussione `e rimasta completa-mente informale solacompleta-mente per non prendere posizioni filosoficacompleta-mente impegnative che esulassero dalla tesi pluralista. Nel momento stesso in cui si decide quale prospettiva adottare rispetto alla conseguenza logica, diventa possibile argomentare la stessa tesi pluralista in relazione alla caratterizzazione formale di conseguenza logica. Introdu-cendo in breve quello che sar`a l’impostazione di tutta la tesi: nella prospettiva realista, il pluralismo si identificher`a con l’esistenza di pi`u classi di strutture su cui richiedere la conservazione della verit`a; mentre nella prospettiva antirealista si identificher`a con l’esistenza di pi`u criteri per l’individuazione delle inferenze valide. In questo modo la tesi pluralista otterr`a finalmente una trattazione pi`u rigorosa. Ci tengo comunque a sottolineare per l’ennesima volta che questo tipo di pluralismo non comporta alcuna

32_{Del resto l’argomento di Quine potrebbe essere replicato per ogni scienza, e non sarebbe valido in}

nessun caso: possiamo sostenere, ad esempio, che la fisica classica e quella relativistica attribuiscano a ‘tempo’ e ‘spazio’ significati differenti, ma non per questo risulta impossibile sostenere che siano teorie rivali.

scelta rispetto agli altri modi di argomentare a favore del pluralismo. Quello che segue non deve quindi essere inteso come un rifiuto dei modi tradizionali di sviluppare questi argomenti, ma come una scelta di focalizzarsi su un tipo particolare di pluralismo.

Questo tipo di pluralismo logico ha anche il vantaggio di prendere maggiormente sul serio le dimostrazioni di correttezza e completezza della logica classica e le analoghe ar-gomentazioni delle altre logiche non classiche, rispetto al monismo fallibilista. Quando discutiamo dell’accettabilit`a di un sistema logico non possiamo prescindere dai meta-teoremi che lo caratterizzano. Di fronte ai meta-teoremi di completezza e correttezza della logica classica rispetto alla semantica tarskiana, o della logica intuizionista rispetto ai modelli di Kripke, come possiamo rifiutare ad una delle due una precisa caratteriz-zazione di ‘seguire logicamente’ ? Abbiamo tuttavia gi`a chiarito che il significato di questi metateoremi dipende essenzialmente dalla cornice semantica in cui operiamo, e proprio per questo ne indagheremo il significato sia in ambito realista che in ambito antirealista, cercando nella conclusione di mostrare i possibili parallelismi tra le due impostazioni34_.

Tornando per adesso all’introduzione informale al pluralismo - che non deve essere affatto sottovalutata, considerato il peso che ha il riferimento al linguaggio naturale nel pluralismo - osserviamo un interessante esempio con cui gli autori illustrano la plausi-bilit`a della pluralit`a dei concetti di conseguenza logica nel linguaggio naturale. Beall e Restall, nella loro monografia dedicata all’argomento, hanno argomentato questa po-sizione attraverso un paragone tra i termini ‘necessario’ e ‘computabile’35_{. Il primo}

termine ha una serie di significati differenti, sebbene ben specificati. Non si pu`o dire che si tratti di un termine ambiguo, nel senso in cui `e ambiguo il termine ‘cumulo’, da-to che mentre quest’ultimo `e intrinsecamente ambiguo, il primo pu`o essere specificato in una grande variet`a di modi: fisicamente necessario, logicamente necessario, storica-mente necessario, etc. tutti perfettastorica-mente sensati e, nei limiti permessi dal linguaggio

34_{Della necessit`a di darne un resoconto filosoficamente pregnante `e prova il fatto che anche la}

lo-gica aristotelica possa essere collegata ad una dimostrazione di completezza e correttezza, dato che `e possibile dimostrare la riducibilit`a di tutti i sillogismi validi ai modi corretti Barbara e Celarent della prima figura, anche se il completamento di questa sistematizzazione non `e completamente aristotelico (Aristotele studia e riduce solamente le prime tre figure: An. pr., I (A), 4-7). Questo non significa comunque che abbia senso isolare questa logica, oggi che abbiamo i mezzi per trattare anche le rela-zioni a pi`u argomenti; sembrerebbe mancare cio`e un significato filosoficamente interessante a questa dimostrazione di completezza.

ordinario, non ambigui, n´e arbitrari. ‘Necessario’ non sarebbe quindi semplicemente ambiguo, ma passibile di esprimere una pluralit`a di concetti ben definiti e relativamente autonomi. Il secondo termine ha caratteristiche simili, si presta cio`e a numerose speci-ficazioni e formalizzazioni differenti tra loro. A differenza di ‘necessario’ per`o, queste specificazioni del termine generale coincidono tutte; mentre cio`e le necessit`a fisiche non coincidono con le necessit`a storiche, o biologiche, la computabilit`a definita attraverso le macchine di Turing coincide con quella stabilita attraverso le funzioni ricorsive, o attraverso il λ-calcolo di Church. Questa coincidenza estensionale rende plausibile la Tesi di Church-Turing secondo cui:

Una funzione `e computabile se e solo se `e ricorsiva36. Dove il termine ‘computabile’ deve essere inteso nel suo senso intuitivo.

Dato che tutte le formalizzazioni convergono, possiamo cio`e sostenere di aver tro-vato delle caratterizzazioni complete della calcolabilit`a, al punto che non fa pi`u molta differenza parlare di calcolabilit`a in senso intuitivo o di calcolabilit`a in senso formale37_.

Il significato della Tesi di Church-Turing `e proprio questo: si sostiene che la nozione in-tuitiva di computabilit`a, sebbene specificabile attraverso differenti formalizzazioni, sia essenzialmente unitario. La possibilit`a di specificare questa nozione usando differenti strumenti formali non porta all’individuazione di diverse classi di funzioni computabili. Come ‘corollario’ di questa tesi, abbiamo che la nozione di computabilit`a pu`o essere completamente formalizzata38.

Per il pluralista logico il termine ‘conseguenza logica’ avrebbe le stesse caratte-ristiche del termine ‘necessario’: dalla sua specificazione formale emergerebbero cio`e differenti e irriducibili tipologie di conseguenze logiche, che non coinciderebbero n´e concettualmente, n´e estensionalmente. Il fatto che non ci sia coincidenza estensionale tra le relazioni di conseguenza logica, rende necessario studiarle isolatamente; niente ci

36_{Ovviamente la tesi `e formulabile usando uno qualunque dei sistemi formali elencati prima, `e}

proprio questo anzi a rendere la tesi plausibile.

37_{Questo non significa che non rimangano differenze, almeno in linea di principio, tra il senso}

intuitivo della nozione e le sue realizzazioni formali; un giorno potrebbe essere ideata una nuova formalizzazione della calcolabilit`a non coincidente con quelle gi`a disponibili, e potrebbe quindi essere rimesso in discussione il modo corretto di formalizzare il concetto intuitivo.

38_{Anche se gli autori non lo affermano esplicitamente, credo che l’analisi che Beall e Restall}

propon-gono della convergenza dei modelli della computabilit`a sia una risposta alla posizione di Etchemendy, che considera la convergenza estensionale insufficiente per stabilire che la caratterizzazione formale sia completa: [Etchemendy, 1990], pg. 5.

garantisce infatti che ci sia un limite a queste possibili variazioni estensionali. Ripren-dendo un esempio di Beall e Restall, lo sviluppo della logica formale sarebbe opposto a quello della teoria della calcolabilit`a, dato che, mentre le teorie formali della calcola-bilit`a si sono dimostrate coincidenti, quelle della conseguenza logica hanno continuato a divergere. Per ottenere un approccio pi`u fecondo al problema della demarcazione della logica, sarebbe di conseguenza preferibile prendere esempio dallo studio dei di-versi tipi di necessit`a, senza assumere arbitrariamente che un fenomeno di convergenza come quello della teoria della computazione sia imponibile dall’esterno. Cio`e se questa `e l’origine della pluralit`a delle logiche oggi disponibili, non abbiamo speranze di poter selezionare una sola tra di esse e sperare cos`ı di caratterizzare completamente la nozio-ne di conseguenza. In questo modo la posizionozio-ne pluralista pu`o essere riformulata come quella per cui:

La nozione di conseguenza logica `e troppo vasta per essere caratterizzata completamente da una sola logica, ma pi`u logiche possono concorrere a formalizzarne

vari aspetti, arrivando idealmente ad una caratterizzazione completa

Opponendosi alle soluzioni moniste Beall e Restall sostengono che varie logiche (se non tutte loro) caratterizzino vari aspetti della conseguenza logica, ma nessuna possa dire di caratterizzarla completamente, in modo che sia impossibile escludere una logica dalla propria teoria senza perdere un aspetto fondamentale della nozione in esame. In poche parole il pluralismo logico pu`o essere presentato come la tesi secondo cui esistono almeno due concezioni, entrambe corrette ma differenti e irriducibili l’una all’altra, della conseguenza logica. In questo modo il pluralismo del terzo tipo, quello effettivamente sostenuto da Beall e Restall, si otterrebbe aggiungendo che semplicemente variando il significato dei termini logici - cio`e selezionando parti pi`u o meno estese del loro significato nel linguaggio naturale - non sia possibile ovviare a questa mancanza dei sistemi formali39.

La parte centrale della teoria consiste nell’armonizzare logiche che sono nate per essere in contraddizione l’una con l’altra, e nel mostrare come sia possibile mantene-re un carattemantene-re unitario per lo studio della logica sullo sfondo della molteplicit`a delle

relazioni di conseguenza logica. Perch´e questo avvenga, e per mantenersi fedeli all’im-postazione proposta dagli autori, `e necessario dimostrare la permanenza del significato delle costanti logiche al variare della nozione di conseguenza trattata. Per altro, una volta caratterizzata la nozione di conseguenza logica in modo formale, il rischio di ot-tenere risultati relativisti diventa assai concreto, e la permanenza del significato dei connettivi `e tutto ci`o che ci difende da questa possibilit`a.

In conclusione, questo genere di pluralismo logico sembra dare il giusto peso sia alle dimostrazioni di completezza e correttezza delle singole logiche, che ne proverebbero la stabilit`a e autonomia, sia alla possibilit`a di sviluppare differenti sistemi logici. Ogni logica ben costruita evidenzia infatti in modo completo un aspetto della conseguenza logica, senza tuttavia riuscire a coglierne tutti gli aspetti caratteristici. Un’analisi esaustiva di questa nozione potr`a essere portata avanti solamente da pi`u sistemi formali, che evidenzino le differenti caratteristiche che si possono considerare centrali in essa.

Parte I

Realismo

Capitolo 2

Conseguenze logiche

Abbiamo formulato, nel capitolo precedente, la tesi del tipo di pluralismo logico a cui ci riferiremo in questo e nei capitoli successivi. In estrema sintesi, questo tipo particolare di pluralismo consiste nel riconoscere direttamente una pluralit`a di conseguenze logiche all’interno del linguaggio naturale, e far derivare da questa la molteplicit`a delle logiche esistenti. Abbiamo anche chiarito che la scelta di mantenere la conseguenza logica al livello informale, di non tentarne cio`e n´e una riduzione, n´e una caratterizzazione formale rispondeva all’esigenza di separare differenti problemi filosofici.

In questa parte della tesi studiamo l’articolazione del pluralismo assumendo una caratterizzazione realista della conseguenza logica. Questo non significa necessaria-mente che tutto quello che diremo sar`a inaccettabile per un logico antirealista; vedre-mo anzi che vedre-molte delle caratteristiche con cui Beall e Restall identificano la relazione di conseguenza logica saranno condivisibili anche dagli antirealisti. Questo avr`a una grande importanza per l’accordo formale che argomenter`o alla fine della tesi tra le due prospettive filosofiche.

Il primo passo che possiamo fare per avvicinarci alla concezione realista della con-seguenza logica `e introdurre questa nozione attraverso la conservazione della verit`a. Un concetto di verit`a che non sia definito attraverso pratiche linguistiche, ma che sia considerato primitivo o legato in modo corrispondentista a una teoria dei truthmaker porta sicuramente la trattazione verso il realismo semantico. Iniziamo quindi con la

definizione:

A segue logicamente da Γ sse non `e possibile che siano vere tutte le formule in Γ e sia falso A.

Fino a qui non ci siamo compromessi particolarmente con il realismo, e non ab-biamo formalizzato niente. L’analisi realista vera e propria della conseguenza logica consiste nel ridurre in qualche modo il carattere modale che intuitivamente possiede questa nozione ad un’universalit`a di tipo estensionale. Questo `e dovuto al rapporto privilegiato della concezione realista con la relazione di denotazione che i termini intrat-tengono con gli oggetti del mondo. L’aspetto centrale del significato, secondo questa concezione, consiste proprio nella denotazione, e quindi diventa necessario formalizzare la conseguenza logica in modo da ridurla ad una relazione di tipo estensionale.

Il primo e pi`u evidente modo per far questo `e utilizzare la nozione di mondo possibi-le, sostenendo che una deduzione sia valida se e solo se le conclusioni sono vere in tutti i mondi possibili in cui sono vere le premesse. Non analizziamo qua questa nozione - che porta con se complicazioni sia formali che concettuali - dato che la ritroveremo tra poco quando parleremo pi`u estesamente del carattere necessario della conseguenza logica, ma notiamo immediatamente che non si presta ad essere formalizzata. La trattazio-ne che veramente permette una riduziotrattazio-ne formalmente accettabile dell’aspetto modale della conseguenza logica `e quella che utilizza i modelli tarskiani, e che ne `e diventata ormai la trattazione di default :

A segue logicamente da Γ sse ogni modello che rende veri tutti gli enunciati in Γ, rende vero anche A.

In questo modo abbiamo effettivamente una riduzione estensionale della modalit`a. Alcuni filosofi hanno argomentato contro questa definizione tarskiana, adducendo varie motivazioni. Etchemendy, in particolare, ha sostenuto che la proposta di Tar-ski sia essenzialmente erronea, perch´e definirebbe la conseguenza logica attraverso la variazione dell’interpretazione dei termini non logici, trascurando la possibilit`a della variazione della configurazione del mondo1. La tesi principale di Etchemendy `e che

seguendo queste due prospettive - facendo variare l’interpretazione del linguaggio e fa-cendo variare la composizione del mondo - non si otterrebbe la stessa classe di argomenti validi. Pi`u avanti approfondir`o effettivamente lo scarto tra queste due classi, analizzan-do l’aspetto necessario e quello formale della conseguenza logica. Per adesso mi limito a far notare che, qualunque cosa si pensi delle conclusioni di Etchemendy riguardo alla filosofia della logica di Tarski, nel nostro caso possiamo accettare questa definizione della conseguenza logica attraverso i modelli come una riformulazione maggiormente efficace della definizione attraverso i mondi possibili, semplicemente osservando che, una volta accettata una certa concezione della formalit`a, le due tesi convergono. La definizione che utilizza i mondi possibili `e infatti sicuramente accettabile dal punto di vista realista, e la nozione di modello pu`o essere vista come una rifinitura di questa che accetti criteri rigorosi per la formalit`a. La conservazione della verit`a in ogni mo-dello corrisponderebbe quindi alla conservazione della verit`a in ogni mondo possibile, secondo ogni reinterpretazione dei termini non logici2_.

Una volta ottenuta questa definizione realista della conseguenza logica, possiamo lavorare per adattarvi sopra la tesi pluralista. In [Beall e Restall, 2006] gli autori pro-pongono una prospettiva che consideri la conservazione della verit`a in alcune classi di modelli, e non solo nella classe dei modelli tarskiani. Per valutare l’adeguatezza dell’im-magine che una data logica rende della relazione fondamentale di seguire logicamente, gli autori utilizzano un’analisi approfondita ma volutamente non univoca del concetto intuitivo che si intende formalizzare. Questa caratteristica `e riassunta in quella che gli autori chiamano ‘Tesi Generalizzata di Tarski’ (TGT):

Un argomento `e validox se e solo se, in ogni casox in cui le premesse sono vere, lo `e

anche la conclusione3_.

dove i pedici ‘x’ legano il tipo di conseguenza logica alla classe di casi su cui `e definita la conservazione della verit`a. In questo modo abbiamo una definizione sufficientemente precisa di questa nozione, senza per`o avere una riduzione monista. La tesi rende anzi

2_{E quindi, qualunque sia la cardinalit`a dei mondi possibili, per rispondere all’obiezione pi`u}

interes-sante di Etchemendy, secondo cui le verit`a logiche ottenute da Tarski dipenderebbero dalla cardinalit`a dell’universo. Una risposta simile si trova in [Shapiro, 2005], mentre in [Mariani e Moriconi, 1997] si trova una critica generale alle obiezioni di Etchemendy a Tarski.

3_{Ovviamente questa tesi pu`o essere formulata anche usando conclusioni multiple, come ho gi`a}

evidente la natura intrinsecamente plurale della validit`a, proprio come la dipendenza del tipo di validit`a dal tipo di casi su cui si richiede la conservazione della verit`a.

Anche se il pluralismo nasce dall’idea di accettare pi`u logiche come corrette, que-sto non significa che non si impongano dei criteri di accettabilit`a per esse. La TGT esclude gi`a alcuni candidati, senza che sia necessario proporne approfondimenti: alcuni sistemi formali non possono infatti essere individuati attraverso la TGT. Per valutare l’accettabilit`a di altre, invece, si devono approfondire alcuni aspetti di questa tesi4_.

Possiamo notare come per ogni sistema formale per cui manchi una solida interpreta-zione filosofica sia impossibile individuare una classe di casi che la giustifichi attraverso TGT. Saremo di conseguenza costretti a escludere momentaneamente dalla classe delle logiche i sistemi substrutturali e la logica lineare5.

Questa tesi non ha niente di controverso in s´e, e pu`o essere accettata da qualunque logico, a prescindere dal suo orientamento verso una particolare logica. Tutt’al pi`u la tesi assumer`a una posizione pi`u o meno rilevante nel caratterizzare la conseguenza nelle varie logiche, dato che tradizionalmente alcune logiche non considerano centrali le loro semantiche modellistiche, ma questo non `e importante per adesso; il punto `e che - tralasciando l’impostazione realista a cui fa riferimento e che trasmette a tutto il libro - questa tesi rappresenta un nucleo condivisibile da tutti i logici. Del resto uno dei punti indispensabili per poter argomentare il pluralismo `e separare nettamente la trattazione modellistica della conseguenza logica dall’adozione di una logica particolare. Il fatto stesso che si stia sviluppando il pluralismo logico in ambito realista significa che vogliamo scindere il realismo dalla logica classica, e trovare interpretazioni realiste alle logiche devianti generalmente associate all’antirealismo.

Il problema di questa TGT `e piuttosto un altro, ovvero che non specifica il alcun modo cosa si debba intendere per ‘casi’. Evidentemente si tratta di una generalizzazione del concetto di modello che compare nella definizione tradizionale di Tarski, ma se non imponiamo alcun tipo di vincolo, sembra che TGT generi troppe conseguenze logiche.

4_{Un aspetto interessante di questo criterio `e che raramente potr`a stabilire l’inadeguatezza di una}

logica in modo definitivo: per vari sistemi formali mancher`a un’interpretazione adeguata, ma niente ci garantir`a che questa non diventi disponibile in seguito.

5_{Purtroppo si presenta invece il problema opposto: `e cio`e possibile costruire sistemi formali privi}

di significato filosofico scegliendo classi molto strane di casi su cui richiedere la conservazione della verit`a. Questo problema verr`a comunque affrontato a breve.

Servono dei criteri per stabilire quali tipi di modelli siano accettabili come casi. Il prossimo paragrafo affronta esplicitamente questo problema.

2.1

Casi e Modelli

Non `e chiaro che criteri si debbano porre per la selezione dei casi su cui deve avvenire la conservazione della verit`a. Se ogni modello formale `e accettabile, sar`a difficile evitare derive relativiste dato che, come fa notare Varzi, se non imponiamo restrizioni generali sul tipo di modello da prendere in esame possiamo far variare a piacimento l’insieme dei termini logici6. Fortunatamente, credo che la prospettiva di Varzi nasca da un fraintendimento del progetto di Beall e Restall, e che ci siano argomenti sufficienti per difendere il pluralismo da una simile inflazione7_.

Per la precisione Varzi sostiene sia una forma di relativismo tarskiano, per cui la distinzione tra termini logici e termini extra-logici sarebbe sempre arbitraria, sia una forma di relativismo carnapiano, derivato dal principio di tolleranza, per cui anche tenendo fisso il vocabolario logico, ad ogni termine logico `e attribuibile un qualunque significato8. Sicuramente entrambe le tesi sono difendibili, ma non sono sufficienti ad argomentare la preferibilit`a di una tesi relativista rispetto ad una pluralista, n´e tanto meno la degenerazione relativista di qualunque tesi pluralista. In particolare, la prima tesi, quella che Varzi attribuisce a Tarski9_{, `e quella che abbiamo etichettato come primo}

tipo di pluralismo, mentre la seconda tesi `e una tesi di variazione del significato di tipo decisamente relativista.

Per quanto riguarda la seconda tesi, nel nostro approccio pluralista, questa viene semplicemente rifiutata facendo riferimento al significato extra-sistemico dei termini logici: le costanti logiche - come del resto ‘segue logicamente’ - hanno un significato nel linguaggio ordinario, e quello che fa la logica `e cercare di rendere rigoroso questo

6_{[Varzi, 2002].}

7_{Del resto l’articolo di Varzi `e precedente all’uscita del libro di Beall e Restall, e si riferisce di}

conseguenza all’esposizione embrionale che questi due autori danno del loro pluralismo in [Beall e Restall, 2000], e che difendono in [Beall e Restall, 2001]

8_{[Varzi, 2002], pg. 3; che si riferisce alle posizioni sviluppate da questi autori in [Carnap, 1937] e}

[Tarski, 1956].

9_{In effetti, che Tarski abbia argomentato questa tesi in alcuni suoi scritti `e indubbio; sebbene alcuni}

logici abbiano messo in luce la problematicit`a di unire questa posizione con altre sostenute dallo stesso autore: [Bellotti, 2003].

significato, isolandone gli aspetti centrali. Il relativismo carnapiano `e attraente solo per chi voglia costruire un linguaggio formale completamente separato da quello naturale. Torner`o comunque sull’argomento dopo aver esposto i sistemi logici, facendo vedere che nel nostro caso possiamo mantenere fisso il significato dei connettivi, e che quindi il pluralismo che abbiamo sviluppato non ha niente a che vedere con la posizione di Carnap.

La prima tesi, invece, potrebbe essere condivisa anche da Beall e Restall fino a un certo punto, e vedremo effettivamente che questi proporranno differenti modelli per la logica classica, a seconda dei requisiti di formalit`a che si vorranno seguire. Come ho gi`a esplicitato nel capitolo precedente, credo che mescolare diversi tipi di pluralismo non sia una scelta pratica, quindi nel momento di sviluppare i modelli per la logica classica cercher`o di presentare una versione pi`u ‘compatta’ su questo punto, rispetto a quella sostenuta da Beall e Restall.

Il punto cruciale, comunque, `e che l’accettabilit`a o meno di questa prima tesi non derivi da TGT, soprattutto in una forma cos`ı radicale: `e possibile arrestare lo scivo-lamento del pluralismo verso un relativismo imponendo criteri pi`u o meno stringenti per caratterizzare la conseguenza logica. Questo non esclude la possibilit`a di accettare un pluralismo del primo tipo insieme a quello del terzo tipo, ma ne esclude gli esiti relativisti proposti da Varzi, e rende le due scelte indipendenti tra loro. Mentre il pri-mo tipo di pluralispri-mo sostiene che sia possibile riconoscere differenti insiemi di termini logici, il relativismo proposto da Varzi asserisce che la selezione di questo insieme sia completamente arbitrario10_{. Varzi passa troppo rapidamente dallo studio degli}

enun-ciati e degli argomenti allo studio dei modelli, e sembra suggerire che l’unica differenza sostanziale tra un termine logico e un termine extra-logico sia che il primo deve essere interpretato sempre nello stesso modo in tutti i modelli, in modo che la costanza di questa interpretazione diventi perfino un criterio di ammissibilit`a del modello11.

10_{Il riferimento `e il passo ‘In the extreme case we could regard all terms of the language as logical.}

The concept of formal consequence would then coincide with that of material consequence’ di [Tarski, 1956] (pg. 419); un pluralista del primo tipo non `e affatto vincolato ad accettare una posizione cos`ı estrema.

11_{Questo non significa che ogni modello debba associare le costanti logiche agli stessi oggetti: se}

consideriamo ‘parallelo’ un termine logico, allora non sar`a possibile variarne l’interpretazione, ma potremo comunque prendere in considerazioni modelli diversi tra loro, in cui a essere parallele sono diverse classi di rette. Usando il gergo di Etchemendy: a essere mantenuta fissa `e la semantica