Relazioni tra casi

la logica rilevante e la logica intuizionista fanno riferimento entrambe a modelli in- completi, mentre la logica classica `e individuata da casi completi. Evidentemente ci sono differenze sostanziali tra situazioni e costruzioni, dato che le prime possono essere incoerenti, mentre le seconde sono sempre coerenti, ma questa non `e l’unica differenza. In prima approssimazione potremmo pensare infatti che le costruzioni coincidano con le situazioni coerenti, dato che entrambe rappresentano parti di mondi possibili. Pos- siamo per`o vedere che in realt`a solo alcune situazioni coerenti rispettano le restrizioni necessarie per essere costruzioni.

Le costruzioni non sono solamente coerenti, ma sono compatibili esclusivamente con costruzioni coerenti4. Questo `e il motivo per cui vale `int ¬(A ∧ ¬A), anche se

3_{Questa restrizione, che sembra minimale, esclude comunque la matematica intuizionista tradizio-}

nale, quella che accetta il principio numerico di Brouwer: [Moriconi, 1988], pg 80. Gli autori infatti fanno riferimento ad altri tipi di matematica costruttiva nella loro trattazione, [Beall e Restall, 2006], pg 117.

vedremo meglio questo punto nel prossimo paragrafo. Quindi non tutte le situazioni possibili sono costruzioni, dato che alcune situazioni coerenti s sono compatibili con situazioni incoerenti, quindi sono tali per cui s 1 ¬(A ∧ ¬A). Niente ci impone infatti di accettare come vincolo per la relazione C: xCx ⇒ (xCy ⇒ yCy). Abbiamo quindi stabilito in che relazione stanno i casi intuizionisti con quelli rilevanti:

• Gli stadi di costruzione sono un sottoinsieme proprio delle situazioni coerenti. Da questo otteniamo che la logica rilevante che abbiamo sviluppato `e una sottologica di quella intuizionista. Questa non `e una posizione canonica, come abbiamo detto precedentemente, dato che in genere si considerano rilevantemente veri tutti i teoremi classici che non contengono l’implicazione5 - tra cui ad esempio il terzo escluso -, ma questo `e il sistema che abbiamo sviluppato, e a questo ci manterremo fedeli.

Vediamo quindi in che relazione stanno le situazioni e le costruzioni con i mondi possibili. Notiamo che entrambi questi casi rifiutano la bivalenza solo in senso debole. La completezza non `e mai assunta, ma non si impone neanche che situazioni e costru- zioni debbano essere necessariamente incompleti. Nel caso della logica intuizionista `e perfino contraddittorio negare il terzo escluso. Vale infatti come teorema la sua doppia negazione `int¬¬(A ∨ ¬A)6.

Questa `e un ulteriore differenza della logica intuizionista rispetto a quella rilevante. Possiamo infatti dimostrare 0ril ¬¬(A ∨ ¬A) facendo notare che, data la clausola per la

negazione, `e sufficiente esibire una situazione s per cui esista una situazione compatibile s’ tale che s0 _{¬(A∨¬A). Ma non vedo perch´e dovremmo escludere che una situazione} qualunque possa essere compatibile con una situazione incompleta, anzi tutti gli esempi fatti nel capitolo precedente facevano riferimento a casi di questo tipo. Il fatto poi che non si debbano scomodare situazioni impossibili rende valide queste considerazioni anche per quanto riguarda le sole situazioni coerenti.

Analizziamo quindi prima il caso delle costruzioni, e vediamo in che relazione stanno con i mondi possibili. Nel capitolo precedente abbiamo visto come gli stadi di costru- zione o verifica siano ordinati da una relazione di estensione. Abbiamo imposto cio`e

5_{Si veda la trattazione della logica rilevante nel capitolo precedente, in particolar modo la nota 16}

a pagina 58.

che valga c0 w c se c’ rappresenta un passo successivo nella costruzione, e quindi se vale c0 _{A ogni volta che vale c A. Possiamo definire i mondi come gli stadi finali di} costruzione o di verifica, ovvero come quegli stadi c∞ per cui vale c w c∞ ⇒ c = c∞_.

In particolare quindi ogni costruzione, essendo coerente, avr`a come stadio limite un mondo possibile7_{. Possiamo quindi concludere che:}

• I mondi possibili sono un sottoinsieme proprio degli stai di costruzione, e in particolare coincidono con gli stadi finali di costruzione: w = c∞.

Resta da studiare in che rapporto stiano le situazioni rilevanti con i mondi possibili. Nel capitolo scorso non abbiamo stabilito alcun tipo di relazione di inclusione tra situazioni: nessun ordinamento. Abbiamo potuto evitare di farlo perch´e le condizioni di verit`a per i connettivi potevano essere formulate facendo riferimento esclusivamente alla relazione di compatibilit`a. Niente ci impedisce comunque di definire una relazione di questo tipo anche tra le situazioni8_.

La scelta pi`u ovvia `e quella di estendere la relazione w definita sulle costruzioni, in modo che s0 _{w s sse se s A allora s}0 <sub>A. Dobbiamo per`o stare attenti a come defi-</sub> niamo i mondi possibili, perch´e `e evidente che in questo modo le estensioni potrebbero procedere fino a farci ottenere situazioni triviali, che costituiscono i naturali elementi massimi di questo ordinamento. Le situazioni infatti, a differenza delle costruzioni, possono essere contraddittorie, ed evidentemente ogni situazione coerente pu`o essere estesa in modo contraddittorio.

Nel nostro caso `e sufficiente aggiungere la clausola che le situazioni che rappresen- tano un mondo possibile siano compatibili con loro stesse. Definiamo quindi i mondi possibili come quelle situazioni s tali che sCs e per ogni s’, se sCs’ allora s w s0. Dovremmo in teoria imporre anche s’Cs’, ma possiamo omettere questa clausola, e as- sumere piuttosto la regola intuitiva: s v s0 e t v t0 ⇒ (s0_Ct0 _{⇒ sCt)}9_{. In questo modo}

7_{[Beall e Restall, 2001], pg. 9.}

8_{[Beall e Restall, 2001], pg. 9 - 10; anche Mares introduce una relazione simile, e gli attribuisce un}

significato simile a quello che gli attribuiamo noi: [Mares, 2004], pg. 36, 52.

9_{Questa clausola deve essere assunta, anche se sembra seguire dal resoconto intuitivo della com-}

patibilit`a tra situazioni che ho proposto nel capitolo precedente; non si tratta infatti di una vera e propria definizione, ma solo di un’illustrazione: per cui il concetto di compatibilit`a tra situazioni `e primitivo.

diventa superfluo assumere s’Cs’ perch´e, valendo s0 v s e sCs, deve necessariamente valere anche s’Cs’. Riassumendo quanto detto fino a ora:

• I mondi sono situazioni possibili e complete, cio`e non estendibili in modo coerente: wCw e non esiste s6= w tale che wCs e s w w.

In conclusione, quindi tutti i casi sono situazioni, e i mondi sono sia costruzioni che situazioni. Questo pu`o avvenire proprio perch´e nessuna delle logiche sviluppate rifiuta fortemente la legge del terzo escluso assumendo un terzo valore di verit`a. In quel caso argomentare l’armonia delle logiche sarebbe stato pi`u difficile. Concludo la sezione con uno schema del rapporto tra le classi di casi viste.

completi incompleti coerenti incoerenti MONDI POSSIBILI COSTRUZIONI SITUAZIONI caso banale