La negazione

La trattazione della negazione `e ci`o che effettivamente distingue la logica rilevante da quella classica che abbiamo gi`a visto e da quella intuizionista che vedremo poi. Sono stati proposti diversi strumenti semantici per definire il comportamento della negazione. Beall e Restall decidono di far riferimento alla nozione di compatibilit`a tra situazioni, da ritenere primitiva ed evidente15_{. In questo modo la condizione per la negazione}

sarebbe:

s ¬A s sse s0 1 A per ogni s’ tale che sCs’.

Dove xCy indica la compatibilit`a di x con y. La lettura intuitiva di questa clausola `e che ¬A sia valido in una situazione solo se l’essere attuale di questa situazione, cio`e l’essere una parte del mondo attuale, renderebbe impossibile l’essere attuale di qualunque situazione che verifichi A. Due situazioni che non siano compatibili non possono infatti essere entrambe attuali.

Un esempio di situazioni incompatibili `e quello per cui lo stesso oggetto ha contem- poraneamente propriet`a incompatibili; se in s un bicchiere `e completamente pieno, e in s’ lo stesso bicchiere `e completamente vuoto, allora le due situazioni sono incompatibili. Evidentemente stiamo facendo riferimento a propriet`a incompatibili, quindi non stiamo definendo l’incompatibilit`a. Abbiamo infatti gi`a detto che questa deve essere assunta come nozione primitiva, ma nonostante questo un’illustrazione dell’incompatibilit`a tra situazioni attraverso l’incompatibilit`a tra propriet`a pu`o essere utile. Proprio come per la nozione di rilevanza, anche in questo caso, dato che non imponiamo condizioni parti- colari di compatibilit`a o incompatibilit`a, non abbiamo alcuna modifica delle condizioni di formalit`a.

Le situazioni, essendo generalmente parziali, possono essere compatibili contempo- raneamente sia con un enunciato che con la sua negazione. Dato ad esempio che non ho accesso in questo momento alle condizioni meteorologiche di Tokyo, la situazione in cui mi trovo `e compatibile sia con una situazione di pioggia a Tokyo, sia con una situa- zione di sole. Quindi nella mia situazione s: s 1 P iove(T okyo) e s 1 ¬P iove(T okyo). Abbiamo quindi un controesempio al terzo escluso, e questo ci permette di rifiutare:

A ` B ∨ ¬B

se formalizziamo la conseguenza logica rilevante attraverso la conservazione della verit`a nelle situazioni:

Γ ril A sse per ogni situazione s, se per ogni F ∈ Γ s F , allora s A.

Abbiamo in questo modo eliminato un paradosso dell’implicazione facendo riferi- mento all’incompletezza delle situazioni. Questa soluzione ci obbliga per`o a rifiutare il tradizionale sistema R per la logica rilevante. Il frammento privo di implicazione R∧, ∨, ¬ di R permette infatti di dimostrare gli stessi teoremi della logica classica, seb-

bene ovviamente le deduzioni da premesse siano differenti16. Ma il nostro rifiuto del paradosso dell’implicazione deriva dalla possibilit`a di rifiutare il terzo escluso, quindi il sistema logico che stiamo sviluppando `e pi`u debole di R17_.

16_{[Dunn e Restall, 2002], pg. 31.}

17_{In realt`a `e perfettamente possibile salvare il sistema R aggiungendo alcune restrizioni alla relazione}

C di compatibilit`a, ma queste sembrano essere eccessivamente ad hoc, e credo che nel nostro caso sia preferibile lasciar cadere alcuni teoremi classici. [Mares, 2004], pg. 78, 79.

Questo disaccordo tra il nostro sistema rilevante e R non appare comunque arbi- trario, se si considera che operando in un contesto pluralista il rifiuto della legge del terzo escluso `e molto meno impegnativo di quanto lo sarebbe operando in un contesto monista. Rifiutare questa legge dal punto di vista della logica rilevante non ci obbliga infatti a rifiutare di riconoscerne la verit`a necessaria. Il terzo escluso `e quindi vero in tutti i mondi possibili - come ci garantisce la logica classica -, ma non in tutte le situazioni - come ci garantisce quella rilevante.

Il sistema che abbiamo ottenuto pu`o comunque essere rafforzato aggiungendo restri- zioni sulla relazione di compatibilit`a. Una restrizione che sembra essere perfettamente sensata, `e ad esempio che questa debba essere simmetrica: xCy ⇔ yCx. Questa restri- zione rende valida l’introduzione della doppia negazione: A  ¬¬A18. Per dimostrarlo, assumiamo s A, e mostriamo che per ogni r tale che sCr, vale r 1 ¬A. Questo deve valere perch´e per ciascuna di queste situazioni r, esiste la situazione iniziale s con cui questa `e compatibile e in cui vale A. Cio`_{e vale rCs, per simmetria, e s A.} Concludiamo la dimostrazione ricordando che s ¬¬A sse per ogni situazione p tale che sCp, p 1 ¬A, e facendo notare che la parte destra del bicondizionale l’abbiamo appena dimostrata.

Possiamo aggiungere anche la riflessivit`a alle propriet`a che la relazione di com- patibilit`a deve soddisfare? Vogliamo cio`e richiedere che ∀x(xCx)? Sembrerebbe di s`ı, ma facendolo siamo costretti ad accettare l’ex contradictione quodlibet. Infat- ti se ogni situazione `e compatibile con se stessa, nessuna situazione render`a valido contemporaneamente un enunciato e la sua negazione. Da questo seguirebbe:

A ∧ ¬A ` B

dato che sarebbe vacuamente vero che tutte le situazioni che verificano A∧¬A verificano anche B.

Come nel caso del terzo escluso, anche in questo caso la nostra soluzione diverger`a in parte da quella tradizionale dei logici rilevanti. Sebbene R rifiuti l’ex contradictione quodlibet, possiede ¬(A ∧ ¬A) come teorema, dato che si tratta di un teorema classico che non contiene ‘⊃’. Noi rifiutiamo questo teorema, e utilizziamo questa mancanza

per rifiutare la regola di derivazione. Formalmente la nostra soluzione `e assai pi`u semplice di quella tradizionale, dato che in entrambi i casi si devono accettare situazioni inconsistenti, ma per salvare la teorematicit`a della negazione della contraddizione, la semantica tradizionale `e costretta a complicare la definizione di enunciato valido.

Si deve tuttavia chiarire il senso della nostra posizione dal punto di vista concettuale. Il fatto che si stia rifiutando un teorema evidentemente necessario non `e problematico in un ambito pluralista, come ho gi`a argomentato nel caso del terzo escluso. Rimane infatti vero che in tutti i mondi possibili, ogni esempio di ¬(A ∧ ¬A) viene verificato. Il problema `e piuttosto quello di spiegare l’accettazione di situazioni incoerenti attraverso la nozione di compatibilit`a, e per farlo l’unica strada possibile `e rifiutare la riflessivit`a di questa relazione.

Per spiegare come possano essere incoerenti alcune situazioni, si deve analizzare l’aspetto di finzione che le caratterizza. Una situazione `e essenzialmente una rap- presentazione di una parte del mondo, o almeno questo sono le situazioni attuali. La generalizzazione di questa classe che porta a ottenere situazioni fittizie non ha niente di particolare: si tratta semplicemente di rappresentazioni di come alcune parti del mon- do potrebbero essere. Potremmo anche definire direttamente la classe delle situazioni possibili come quella delle parti dei mondi possibili.

L’estensione a situazioni impossibili segue la stessa logica. Sebbene i mondi possi- bili siano coerenti, dato che la possibilit`a richiede la coerenza, le rappresentazioni non devono necessariamente esserlo. Una situazione incoerente `e quindi una rappresenta- zione incoerente, un modo in cui una parte del mondo non potrebbe essere. Avere una logica che ci permetta di ragionare rispetto a situazioni incoerenti `e assai utile, data la grande quantit`a di informazioni incoerenti con cui abbiamo a che fare.

Chiarito questo punto concettuale, torniamo alle questioni formali, e assicuriamoci che, data la nozione di compatibilit`a, le situazioni incoerenti, cio`e incompatibili con loro stesse, non portino comunque ad accettare l’ex contradictione quodlibet. Il fatto di avere situazioni impossibili `e infatti condizione necessaria ma non sufficiente per rifiutare questa legge. Dobbiamo anche mostrare che queste situazioni non sono banali, cio`e non rendono veri tutti gli enunciati.

Per quanto riguarda gli enunciati atomici, la semplice parzialit`a delle situazioni `e sufficiente a rifiutare esisti banalizzanti dell’incoerenza. Se uno scrittore di libri gialli ha accidentalmente descritto in modo incoerente lo studio del suo detective - ad esempio scrivendo sia che la scrivania `e vuota, sia che `e ingombra di carte - non possiamo comunque sostenere che nella situazione descritta le strade di Roma sono lastricate di formaggio19_{. I problemi sorgono con gli enunciati negati, dato che potremmo sostenere}

che, essendo la situazione descritta incompatibile con se stessa, dovrebbe a maggior ragione esserlo con le altre. In questo caso, data la condizione di verit`a per gli enunciati negati, ognuno di questi sarebbe vero nella situazione incoerente.

Se cos`ı fosse otterremmo una logica paraconsistente nel senso assai debole in cui anche la logica minimale lo `e. Sebbene infatti questa logica non possegga l’ex con- tradictione quodlibet, permette, grazie all’identificazione tra ¬A e A ⊃⊥, di derivare qualunque negazione dalla contraddizione, attraverso:

⊥ _⊃-I ¬A

Allo stesso modo, saremmo costretti anche noi ad ammettere la validit`a di: A ∧ ¬A ` ¬B

Non vogliamo questo e dobbiamo evitarlo per poter presentare il nostro sistema sia come una logica rilevante, sia come una logica paraconsistente. N´e Beall e Restall, n´e Mares, che presenta un resoconto simile, argomentano questo punto in modo appro- fondito20. Del resto tutta la teoria si appoggia sulla nozione intuitiva di compatibilit`a tra situazioni, che deve essere assunta come primitiva, e forse l’intuizione porta fuori strada solo me. In qualunque caso, cercher`o di argomentare la possibilit`a che una situa- zione incompatibile con se stessa, cio`e incoerente, sia compatibile con altre situazioni, facendo riferimento alla nozione di compatibilit`a tra propriet`a21_.

Credo che si possa sostenere che due situazioni sono incompatibili quando applicano due propriet`a incompatibili allo stesso oggetto. Ma questo `e ancora vago e non risolve il nostro problema. Dico quindi che due situazioni s e s’ sono incompatibili quando

19_{Escludendo il caso che questo sia effettivamente affermato nel racconto.} 20_{O, nel caso lo abbiano fatto, io non ho trovato questi commenti.}

esiste un oggetto o che compare in entrambe22 _{e per cui vale s P (o) e s}0 _Q(o), per due propriet`a P e Q incompatibili tra loro. In questo modo la situazione descritta dallo scrittore in cui la scrivania del detective `e sia vuota che ingombra di carte `e incompatibile con se stessa - dato che s V uota(Scrivania) e s P iena(Scrivania) - ma non per questo possiamo essere sicuri che sia incompatibile con una situazione completamente differente. La seconda propriet`a deve infatti essere vera dello stesso oggetto nella seconda situazione. Abbiamo quindi due modi in cui una situazione impossibile pu`o essere compatibile con un’altra situazione: le due situazioni possono riguardare solo oggetti distinti; oppure l’intersezione degli oggetti su cui la prima e la seconda situazione possiedono informazioni `e tale per cui le propriet`a vere in una situazione non sono incompatibili con quelle vere nell’altra. In questo modo persino due situazioni impossibili potrebbero essere compatibili vicendevolmente. Questo ci conferma che, nella nostra ricostruzione della logica rilevante, dobbiamo accettare:

2ril ¬(A ∧ ¬A)

Infatti una situazione pu`o essere compatibile con una situazione incoerente, cio`e con una situazione in cui vale un esempio di contraddizione.

Possiamo parlare di validit`a rilevante perch´e non valgono conseguenze in cui l’ante- cedente e il conseguente parlano di cose differenti, cio`e in cui antecedente e conseguente sono resi veri in situazioni differenti. Ci deve essere una condivisione di contenuto tra premesse e conclusione. Vengono infatti esclusi tutti i paradossi dell’implicazione for- mulabili attraverso implicazioni del primo grado. Purtroppo non abbiamo modo di formulare gli altri, e quindi non abbiamo modo di escludere paradossi come:

A ⊃ (B ⊃ A) A ⊃ (¬A ⊃ B) (A ⊃ B) ∨ (B ⊃ A)

Possiamo per`o analizzare cosa succeda a una regola molto importante per la logica rilevante, cio`e il sillogismo disgiuntivo.

22_{Qua si dovrebbe affrontare il problema dell’identit`a degli oggetti attraverso le situazioni, che}