Caratterizzazione indiretta della deduzione

Per caratterizzare indirettamente la deduzione sfruttiamo l’interpretazione metalingui- stica di LK e individuiamo criteri di armonia direttamente all’interno del calcolo dei sequenti, senza riferirci all’armonia del calcolo-oggetto di cui LK parla. Il riferimento classico per questo approccio `e [Hacking, 1994], dove per la prima volta si tenta una lettura sofisticata dell’inferenzialismo che abbia come riferimento diretto il calcolo dei sequenti. `E interessante osservare che se lo scopo fosse semplicemente rispondere al- l’obiezione di Prior, sarebbe sufficiente il parallelismo stabilito tra formule massime e applicazioni della regola del taglio. Basta far notare come l’introduzione in un sistema dei sequenti di regole per tonk, corrispondenti a quelle da lui proposte per la deduzione naturale, impedisca la dimostrazione dell’ammissibilit`a del taglio. Infatti, assumendo:

X, B

`

`

`

`

possiamo costruire una dimostrazione di A ` B che contenga applicazioni ineliminabili della regola del taglio:

A ` A R-tonk A ` AtonkB B ` B L-tonk AtonkB ` B Taglio A ` B

Di conseguenza la semplice richiesta di eliminabilit`a del taglio sarebbe un criterio suf- ficiente per escludere regole cos`ı malformate, cio`e per svolgere lo stesso ruolo formale

dell’armonia nella deduzione naturale. Nonostante questo, limitarci a formulare questa richiesta senza indagarne le basi concettuali significa accontentarsi di una soluzione ad hoc. Mentre infatti la richiesta di armonia per la deduzione naturale `e giustificata da considerazioni riguardo il ruolo delle regole nell’assegnazione di significato alle costanti, manca una simile interpretazione per l’ammissibilit`a del taglio nel calcolo dei sequenti. Hacking propone un’interpretazione di questo fatto che attribuisca significato filosofico a questo risultato formale.

L’idea consiste nell’utilizzare tre propriet`a della relazione di derivabilit`a come defi- nizione implicita di questa nozione. Le propriet`a usate da Hacking saranno coincidenti con le tre regole strutturali di LK, una volta riformulato questo calcolo in modo che antecedente e succedente siano formulati usando insiemi di formule. Abbiamo infatti: Riflessivit`a: deducibilit`a degli identici, cio`e A ` A;

Indebolimento: stabilit`a della deducibilit`a, cio`e se Γ ` ∆, allora Γ, A ` ∆ o Γ ` A, ∆25_;

Transitivit`a: se A ` B e B ` C, allora A ` C, da cui, generalizzando, otteniamo la regola del taglio26_.

A queste tre propriet`a potremmo aggiungere la compattezza, per cui se vale Γ ` ∆, deve valere Γ0 ` ∆0 _{con Γ}0 _{⊆ Γ, ∆}0 _{⊆ ∆ e Γ e ∆ finiti. La scelta di Hacking di non}

aggiungere questa richiesta, e di accettare quindi anche logiche non compatte, lo porta a riconoscere come ‘vera’ logica un frammento della logica del secondo ordine27_{. Per}

quanto ci riguarda possiamo tranquillamente accettare anche questa restrizione, dato che cerchiamo una giustificazione per la logica classica del primo ordine. Per di pi`u Hacking rifiuta di distinguere le nozioni di deduzione e conseguenza logica, ma presenta comunque anche una semantica denotazionale per la sua logica, rimanendo abbastanza

25_{Hacking chiama ‘dilution’ questa propriet`a, letteralmente ‘diluizione’.}

26_{E evidente infatti che una generalizzazione diretta della transitivit`` a porterebbe a regole}

inaccettabili; ad esempio:

A ∨ B

`

`

`

27_{Per la precisione, Hacking adotta la logica che otteniamo dalla teoria dei tipi ramificati se escludia-}

ambiguo nel suo approccio, mentre noi vogliamo caratterizzare la validit`a con criteri esclusivamente interni al calcolo stesso, per cui un approccio finitario `e decisamente preferibile.

Dopo aver stabilito che queste propriet`a valgono per la deduzione definita in un frammento linguistico privo di costanti logiche - un linguaggio prelogico -, Hacking richiede che queste debbano rimanere valide anche dopo la loro aggiunta. Per quanto riguarda la validit`a nel frammento prelogico, questa non rappresenta un problema, n´e nel caso di linguaggi i cui atomi siano tutti indipendenti - come gli atomi logici di [Witt- genstein, 1964] -, n´e nel caso di linguaggi pi`u ricchi, in cui sono disponibili deduzioni che non facciano uso di connettivi - ad esempio un linguaggio in cui da ‘A `e rosso’ si possa derivare ‘A `e colorato’. Posto questo, quella di Hacking equivale evidentemente a una richiesta di ammissibilit`a delle regole strutturali per formule non atomiche, per cui il criterio di armonia non corrisponder`a semplicemente all’ammissibilit`a del taglio, contrariamente a quanto avremmo potuto aspettarci. Hacking, seguendo un’analoga idea proposta da Dummett riguardo all’armonia della logica intuizionista, sostiene che questa richiesta equivalga a quella per cui l’aggiunta di una costante logica al linguag- gio debba avvenire in modo conservativo. Aggiungendo una costante logica ad un linguaggio, non possiamo cio`e ottenere nuovi teoremi formulabili usando solamente il frammento linguistico iniziale.

Questi due criteri dovrebbero funzionare da strumento di demarcazione tra concetti appartenenti alla logica e concetti estranei ad essa ma, come ha notato Sundholm28_,

non individuano univocamente una classe di concetti, dato che non coincidono se non viene richiesto anche che le deduzioni soddisfino il principio della sottoformula. Del resto questo problema non riguarda solamente Hacking, dato che anche l’identificazione operata da Dummett tra la condizione di armonia tra I- ed E-regole e la conservativit`a dell’estensione effettuata attraverso queste si presta a critiche analoghe. Prawitz ha infatti fatto notare che aggiungendo la coppia di regole

p V-I V(p) V(p) V-E p 28_{[Sundholm, 1981], e [Sundholm, 1986]}

per il predicato di verit`a all’aritmetica, diventa possibile dimostrare l’enunciato di G¨odel, quindi abbiamo una coppia di regole che rispettano i criteri per l’armonia, ma la cui aggiunta ad un linguaggio non `e conservativa29.

Tuttavia, per quanto coincidano negli effetti, l’osservazione di Sundholm e quella di Prawitz sono giustificate da motivazioni differenti. Mentre l’osservazione di Prawitz riguarda in generale lo sfasamento tra la richiesta di conservativit`a e quella di armonia tra regole, la critica di Sundholm `e pi`u mirata, e credo debba essere affrontata anche se si `e disposti a lasciar cadere la prima richiesta. Il motivo per cui Sundholm sostiene che i teoremi di eliminazione non sono sufficienti per stabilire la conservativit`a, e che se le regole logiche non sono vincolate ad avere una certa forma, `e possibile avere un sistema privo di regole strutturali in cui non vale la propriet`a della sottoformula. Il fatto che l’eliminazione del taglio porti alla propriet`a della sottoformula `e vero solo in presenza delle regole ‘tradizionali’ per le costanti logiche, o per regole che ne rispettino la forma. Sundholm suggerisce quindi che la propriet`a della sottoformula debba essere imposta in aggiunta alla richiesta di eliminabilit`a delle regole strutturali per formule complesse.

Ci troviamo quindi di fronte ad una scelta: richiedere anche la propriet`a della sot- toformula come criterio di demarcazione della deduzione, e ottenere quindi la richiesta di conservativit`a; oppure richiedere solamente l’ammissibilit`a delle regole strutturali, abbandonando la conservativit`a, insieme alla propriet`a della sottoformula. Il criterio corretto sembrerebbe essere quello dell’ammissibilit`a delle regole strutturali, dato che influenza direttamente la conservazione del significato di `, ma non mancano argomen- tazioni nell’altro senso. Anche Hacking `e ambiguo su questo punto, dato che se da un lato sostiene che non ritiene necessaria la propriet`a della sottoformula per avere la con- servativit`a30_{, dall’altro la richiede esplicitamente perch´e si possa dire di una costante}

che questa `e ‘logica’31. Le motivazioni di Hacking per richiedere la propriet`a della sot- toformula non riguardano cio`e il suo effetto sulla conservativit`a, ma sono indipendenti da esso. Credo che il settimo paragrafo dell’articolo di Hacking, in cui l’autore analizza

29_{[Prawitz, 1994]; [Read, 2000] analizza il problema comune a entrambe le formulazioni riferendosi}

a questo articolo e a quello di Sundholm gi`a citato.

30_{[Hacking, 1994], pg. 14.} 31_{[Hacking, 1994], pg. 19.}

la forma delle regole operazionali proposte da Gentzen, che ha come conseguenza la propriet`a della sottoformula, voglia avere carattere normativo, oltre che descrittivo; ma `e vero che l’articolo si concentra molto di pi`u sugli altri requisiti, e non sembra dare giustificazioni sufficienti per questa restrizione. Come conclusione, Hacking impone che le regole che introducono una costante logica debbano permettere l’eliminazione delle regole strutturali e possedere la propriet`a della sottoformula32_{, ma noi non abbiamo}

le basi per giustificare entrambe queste richieste, n´e quindi per identificare la prima richiesta con quella della conservativit`a.

Questo problema, che deve essere considerato della massima importanza per chi abbia lo scopo di trovare una delimitazione razionale e univoca della logica, non `e comunque invalidante per il nostro programma. Il nostro scopo `e infatti quello di giustificare con argomentazioni dimostrazione-teoriche la logica classica, e l’aggiunta o l’abbandono della richiesta di conservativit`a - o l’equivalente richiesta di validit`a della propriet`a della sottoformula - non influenza il nostro lavoro. Se la richiesta di conservativit`a fosse abbandonata, potremmo avere una giustificazione per logiche assai pi`u strane della logica classica, ma questo non eliminerebbe la possibilit`a di giustificare anche la logica classica. Si tratterebbe anzi di una prospettiva interessante per un pluralista logico. Nonostante questo la questione non pu`o essere abbandonata; non possiamo accettare che il pluralismo logico diventi uno strumento per evitare questioni scomode. Semplicemente possiamo posticipare la questione ad un altro momento, proprio come abbiamo deciso di non affrontare in questo momento la questione della accettabilit`a o meno della restrizione sulla compattezza.

`

E invece perfettamente giustificabile la richiesta della validit`a dei teoremi di elimi- nazione. Abbiamo stabilito infatti che queste propriet`a devono valere necessariamente perch´e si possa caratterizzare una relazione tra insiemi di formule come ‘di deduzione’. Quindi quando estendiamo il linguaggio con nuove costanti dobbiamo farlo in modo che le regole strutturali valgano anche per i nuovi enunciati formulabili, e per far questo possiamo fare in modo che le regole siano ammissibili, o aggiungere, insieme alle regole operazionali, le regole strutturali per i ‘nuovi’ enunciati. Ma se dovessimo aggiungere manualmente la validit`a delle regole strutturali per le nuove costanti, avremmo che:

• Il significato della costante logica non sarebbe completamente specificato dal- le regole operazionali che ne governano l’utilizzo, cio`e la costante non sarebbe autonoma33;

• Il significato di ` non rimarrebbe costante, ma avremmo un’aggiunta attraverso le nuove clausole ammesse.

Per mantenere costante il significato di `, e quindi per imporre che continui ad indicare la relazione di deducibilit`a tra conclusioni e premesse, `e necessario quindi richiedere l’ammissibilit`a delle regole strutturali. Possiamo quindi imporre questa come condi- zione minimale perch´e un sistema logico sia considerato giustificato dal punto di vista dimostrazione-teorico, e otterremo di conseguenza che la logica classica ha tanto diritto a questo titolo quanto la logica intuizionista. Nel prossimo paragrafo analizzo una via alternativa, significativamente pi`u vicina a quella tradizionale di Dummett e Prawitz, che porta alla stessa conclusione.