Quantificatori

Sebbene questa tesi tratti la logica predicativa solo di passaggio, dato che le differenze principali tra logiche devianti sono evidenti gi`a a livello proposizionale, `e comunque impossibile trattare l’intuizionismo senza accennare alla trattazione dei quantificatori. Le condizioni di verit`a, definite sugli stadi di costruzione, degli enunciati quantificati dipendono esclusivamente dall’informazione disponibile allo stadio attuale e nelle sue estensioni. La situazione pi`u indicativa `e quella dell’esistenziale, in cui si utilizza solo l’informazione attuale:

40_{Per vedere la cosa con pi`u chiarezza, dato che stiamo lavorando con una metateoria classica,}

potremmo sfruttare l’interdefinibilit`_{a dei connettivi per riformulare la condizione come: s A ⊃⊥} sse, per ogni s’ tale che s v s0, s0 1 A o s0 ⊥.

• s ∃xA(x) sse s A(a) per un qualche oggetto a disponibile allo stadio di costruzione s.

Si richiede quindi non solo che esista un oggetto che verifichi la formula quantificata, ma che l’oggetto sia disponibile allo stadio in cui valutiamo l’enunciato.

La conseguenza di questa impostazione `e che non possiamo considerare vero ∃xP (x), se non possiamo esibire un oggetto b tale che valga P(b)41_{. In questo modo rifiutiamo di}

considerare accettabili tutte le dimostrazioni indirette di un enunciato quantificato esi- stenzialmente. In particolar modo, dalle condizioni di verit`a degli enunciati universali e da quelle appena viste per l’esistenziale segue la non validit`a costruttiva dell’inferenza ¬∀xP (x) ` ∃x¬P (x). Non potendo infatti restringere il quantificatore universale a trattare solo gli oggetti disponibili in un dato stadio di costruzione, siamo costretti a definirne le condizioni di verit`a facendo riferimento alle possibili estensioni dello stadio in esame:

• s ∀xA(x) sse, per ogni s’ tale che s v s0 _{e per ogni a disponibile ad s’, s}0

A(a). Ma in questo modo dal rifiuto di una formula quantificata universalmente non segue la disponibilit`a attuale di un controesempio, quindi non segue la verit`a di un enunciato esistenziale.

Questa sfasatura tra il quantificatore universale e quello esistenziale vale solamente quando il dominio di quantificazione `e infinito. Nel caso di domini di quantificazione finiti, infatti, `e evidente che avendo dimostrato che non vale ∀xA(x), saremo in grado di esibire un metodo effettivo per individuare un controesempio a questo enunciato. Nel caso peggiore passeremo in rassegna tutti gli oggetti del dominio; una procedura inattuabile nel caso di domini infiniti. Possiamo concludere quindi che la possibilit`a di estendere il dominio nelle semantiche di Kripke serve a trattare l’eventualit`a di domini infiniti.

La definizione della validit`a costruttiva `e un poco pi`u complessa di quelle viste fino ad ora. Intanto definiamo un argomento valido rispetto ad una costruzione:

41_{Questo `e un altro punto su cui le semantiche di Kripke si dividono da quelle di Beth; abbiamo}

infatti gi`a detto che queste ultime hanno un insieme fisso di oggetti, gi`a disponibile all’inizio della costruzione. Non indaghiamo comunque questo punto, data la poca rilevanza che la teoria quantificata

Γ cint A sse per ogni stadio di costruzione s ∈ C, se s F per ogni F ∈ Γ allora

s A.

Per ottenere la condizione che definisce la conseguenza logica costruttiva `e sufficiente generalizzare ulteriormente quella appena definita, chiedendo la conservazione non solo su ogni stadio, ma anche su ogni costruzione:

Γ int A sse per ogni costruzione C e per ogni suo stadio di costruzione s ∈ C, se

s F per ogni F ∈ Γ allora s A.

Cio`e qualunque costruzione, per soddisfare le premesse di un argomento valido, deve necessariamente soddisfare anche le conclusioni, e deve farlo al pi`u allo stesso stadio di costruzione in cui verifica tutte le premesse.

Rimane da chiarire cosa intendiamo in senso filosofico con ‘stadio di costruzione’, e che valore attribuiamo a una dimostrazione costruttiva. Sulla prima questione gli autori sono abbastanza ermetici, caratterizzando gli stadi di costruzione in modo es- senzialmente negativo. Ci`o che preme maggiormente loro `e argomentare che gli stadi di costruzione non possono essere visti come un modello di cosa sia garantito da una dimo- strazione o una prova ad un dato stadio di indagine42_{. Questo aspetto `e fondamentale,}

perch´e sostenere il contrario vorrebbe dire sostenere che le inferenze classicamente, ma non intuizionisticamente, valide non sono garantite. Dobbiamo quindi sostenere che gli stadi di costruzione si riferiscono ad un tipo particolare di garanzia: la garanzia co- struttiva, appunto. La questione diventa allora che vantaggi ci siano a fare affidamento a una garanzia costruttiva piuttosto che a una garanzia di un altro tipo.

Ovviamente, anche se si `e realisti rispetto al significato, `e preferibile avere esempi delle formule quantificate esistenzialmente che si considerano vere. Allo stesso modo, quando sappiamo che una disgiunzione `e vera, `e preferibile sapere anche quale dei disgiunti lo `e. Ma questi vantaggi sono poco per sostenere che anche chi accetta la logica classica dovrebbe argomentare in modo costruttivo, quando pu`o. La questione `e su quali basi si possa ritenere normativa la nozione costruttiva della conseguenza

logica. Cio`e, quali errori compiamo quando ragioniamo in modo costruttivamente non giustificabile?

La risposta degli autori `e che argomentando in modo non costruttivo si va oltre ci`o che si `e stabilito nelle premesse. L’errore `e simile a quello che commettiamo se ragio- niamo in modo non rilevante, ma il senso in cui le premesse non giustificano l’inferenza `e differente. Per la logica rilevante il punto centrale `e che l’argomento della conclusione non sia diverso da quello delle premesse. Per la logica intuizionista il punto `e che non debbano essere decise pi`u cose per poter sostenere la conclusione di quelle che sono effettivamente decise secondo le premesse. Per ogni enunciato E, la costruzione pu`o effettuare una decisione in senso affermativo o negativo, ma ad ogni stadio di costruzio- ne non `e scontato che questa scelta sia stata fatta; un argomento intuizionisticamente invalido parte dal presupposto di poter dare per scontato che la costruzione abbia gi`a affrontato la questione e abbia deciso per una delle due alternative. Questa assunzione pu`o essere giustificata solo facendo affidamento sul carattere completo e coerente dei mondi, e questo non `e garantito da quanto asserito nelle premesse di un ragionamento, solitamente. Questo `e il senso in cui un’inferenza non costruttiva `e scorretta, e il mo- tivo per cui dovremmo ragionare costruttivamente `e che cos`ı facendo useremmo solo le conoscenze che abbiamo effettivamente acquisito fino a quel momento.

Si potrebbe pensare al vantaggio rappresentato dal non supporre scontata l’esi- stenza dell’oggetto di cui si parla. In effetti gli intuizionisti rifiutano l’idea di una realt`a matematica indipendente da un procedimento di costruzione che la guidi, ma noi stiamo cercando un motivo per ragionare costruttivamente condivisibile anche da chi accetti la logica classica intesa in senso realista. A prescindere dal rifiuto della tesi ontologica dell’intuizionismo - l’esistenza identificata con la possibilit`a di costruzione -, rimane interessante distinguere tra ci`o che possiamo identificare effettivamente e ci`o che possiamo riconoscere come esistente solo in modo indiretto; la logica intuizioni- sta permette di effettuare questa distinzione, e questo rende raccomandabile una sua applicazione.

Capitolo 4

Armonia in TGT

Abbiamo visto nel capitolo precedente come sia possibile ottenere diversi sistemi logici attraverso TGT, specificando la classe dei casi su cui richiedere la conservazione della verit`a. Dato che avevamo imposto dei requisiti per l’accettabilit`a di questi sistemi, e che ognuno di quelli ottenuti li soddisfa, possiamo dire di aver sviluppato un approccio pluralista, e non relativista. Dobbiamo per`o ancora argomentare che questo tipo di pluralismo non si basi sulla variazione del significato dei termini logici, come invece fa quello proposto da Haack. Nel primo capitolo abbiamo infatti preso le distanze da questa posizione, preferendo indagare un pluralismo che mantenesse fisso il significato delle costanti logiche.

Per mantenerci fedeli a questa intenzione, abbiamo individuato le nostre logiche variando i modi in cui TGT viene esemplificato - quindi basandoci sulla possibilit`a di individuare diversi tipi di conseguenza logica -, ma questo non `e ancora sufficiente: dobbiamo mostrare che le costanti che compaiono nelle logiche non sono identiche solo tipograficamente. Nella nostra prospettiva le logiche non si contraddicono tra loro, perch´e non sono rivali; infatti quando non sembrano essere in accordo `e perch´e non parlano degli stessi casi, e questo permette loro di condividere la stessa posizione riguardo al significato delle costanti logiche. Questo capitolo si prefigge precisamente lo scopo di mostrare con pi`u chiarezza questa intuizione.

4.1

Cosa non pu`o essere il pluralismo logico

Il pluralismo non pu`o essere una soluzione a tutti i problemi. Perch´e la soluzione pluralista sia attraente, almeno l’adozione debole di una particolare logica deve essere ortogonale rispetto alle varie questioni a cui questa `e generalmente associata. Altri- menti non ci sarebbe interesse ad accettare una prospettiva pluralista, dato che ogni problema filosofico potrebbe costringerci a rivedere tutto il sistema logico.

I problemi filosofici che portavano all’adozione di una logica come l’unica corretta in una prospettiva monista, portano adesso a divergenze e problemi dal punto di vi- sta applicativo. Abbiamo gi`a visto nel capitolo precedente come un dialeteista e un non-dialeteista possano accettare la stessa prospettiva pluralista, attribuendo il ruolo di logica-del-mondo-attuale a sistemi differenti. In questo modo i problemi filosofici che hanno portato allo sviluppo delle varie logiche non spariscono come per magia, cambiano solamente di livello. Il problema non `e pi`u quale sia il sistema formale che rappresenta davvero la conseguenza logica, ma quale logica applicare per un dato scopo. Tra i punti che possono dividere gli aderenti al pluralismo logico i principali sono:

• Quale logica si deve applicar per formalizzare una teoria del significato? Que- st’incognita sostituisce quella monista sulla correttezza della logica classica o di quella intuizionista, dato che queste due logiche tradizionalmente fanno capo a due teorie del significato opposte: significato come stati di cose, e significato come metodi di verifica. L’ingresso in scena della logica rilevante `e stata assai pi`u recente, ed `e avvenuto attraverso la semantica delle situazioni, di cui ho gi`a parlato.

Questo problema in realt`a `e significativamente differente dagli altri che elenco in seguito. `E evidente infatti che in un certo senso dovremo attribuire a tutti i sistemi che accettiamo un ruolo nello specificare il significato delle espressioni. Rimane per`o il problema di quale tra i sistemi logici sviluppati sia il pi`u adatto a spiegare il comportamento linguistico di un parlante. A prescindere dalla possi- bilit`a che tutte le logiche hanno di specificare il significato dei termini che usano, nella pratica quotidiana o in particolari casi, a quale teoria del significato ci si

• Il mondo attuale, `e descritto dalla logica classica o da quella paraconsistente? Esistono cio`e contraddizioni vere in senso stretto? `E possibile che il mondo at- tuale sia descritto dalla logica intuizionista, e che quindi sia incompleto, per quanto coerente? Quest’ultima posizione potrebbe essere associata a una meta- fisica solipsista, ad esempio. Questo punto mostra che anche nelle applicazioni pi`u importanti della logica possono sorgere differenze notevoli tra sostenitori del pluralismo. Beall e Restall infatti sostengono che l’essere pluralisti rispetto alla conseguenza logica non implichi esserlo anche rispetto alla verit`a1<sub>. La verit`a lo-</sub>

gica `e infatti legata in modo abbastanza indiretto alla verit`a simpliciter, dato che `

e indipendente dall’attualit`a o meno dei casi su cui `e definita. La verit`a riguarda i casi attuali, e una differenza di posizione su quali siano i casi attuali porta a un disaccordo autentico, che per`o non riguarda direttamente la correttezza delle logiche, quanto piuttosto quali tra quelle corrette adottare fortemente.

• Un altro tipico problema `e quale logica sia adatta per essere applicata alla ma- tematica. Ovviamente rimane differente utilizzare la conseguenza logica classica o quella intuizionista in una prospettiva pluralista, ma la questione non coincide pi`u col pronunciarsi rispetto alla validit`a di una delle due logiche in senso asso- luto. La questione pu`o essere ricondotta, almeno in una prospettiva di realismo semantico, all’esistenza o meno di stati di cose che rendano veri gli enunciati matematici in modo indipendente dal processo dimostrativo. `E possibile che ci siano anche altri modi di impostare la questione di quale logica sia quella adat- ta per trattare questioni matematiche, ma il punto fermo della tesi pluralista `e che non si deve prendere una posizione generale sull’accettabilit`a o meno della logica classica o di quella intuizionista2_{. Per sostenere l’applicazione della logica}

costruttiva alla matematica in una prospettiva pluralista si deve per`o richiedere che il processo di costruzione non entri mai in attrito con la verit`a accettabili in

1_{[Beall e Restall, 2006], pg. 100 - 102.}

2_{Questo `e precisamente l’opposto di quanto sostiene Dummett, che per argomentare la preferibilit`a}

della matematica intuizionista affronta la questione di quale sia in generale la logica corretta, e sostiene che l’esistenza indipendente degli oggetti matematici dalla procedura di costruzione sia irrilevante in questo dibattito. Per Dummett, la matematica deve essere studiata attraverso la logica intuizionista perch´e questa `e l’unica giustificata da una teoria del significato pienamente soddisfacente: [Dummett, 1986a].

senso classico, cio`e che non si dimostrino mai controesempi positivi alla logica classica3.

Ci sono quindi molte questioni su cui i pluralisti possono avere opinioni discordanti, ma questo non porta ad una radicale impossibilit`a di confronto, come invece avverrebbe nel caso del relativismo.