Il modello di Black-Scholes è un modello dell'andamento nel tempo del prezzo di strumenti finanziari, in particolare delle opzioni. La formula di Black e Scholes è una formula matematica per il prezzo di non arbitraggio di un'opzione call o put di tipo europeo, che può essere derivata a partire dalle ipotesi del modello; lo stesso può dirsi per la formula di Black, per la valutazione di opzioni su futures. L'equazione differenziale di Black & Scholes alla base della formula è stata originariamente derivata da Fischer Black e Myron Scholes, in un lavoro del 1973, sulla base di precedenti ricerche di Robert Merton e Paul Samuelson. L'intuizione fondamentale del modello di Black e Scholes è che un titolo derivato è implicitamente prezzato se il sottostante è scambiato sul mercato. La formula di Black e Scholes è largamente applicata nei mercati finanziari.
Ipotesi sottostanti al modello:
-Il prezzo del sottostante segue un moto browniano geometrico (si veda anche oltre); -È consentita la vendita allo scoperto del sottostante, come dello strumento derivato; -Non sono ammesse opportunità d'arbitraggio;
-Il sottostante e lo strumento derivato sono scambiati sul mercato in tempo continuo; -Non sussistono costi di transazione, tassazione, né frizioni di altri tipo nel mercato; -Vige la perfetta divisibilità di tutte le attività finanziari;
-Il tasso d'interesse privo di rischio è costante e uguale per tutte le scadenze.
La formula Black-Scholes:
Il prezzo di un'opzione call europea, con scadenza T, valutata in t, è dato da:
Per un'opzione put europea, l'espressione corrispondente è:
Dove:
-St è il prezzo del titolo sottostante; -K è il prezzo d’esercizio dell’opzione;
-r è il tasso d’interesse privo di rischio, espresso in base annua; -N denota la funzione di ripartizione di una variabile casuale normale; -d1 e d2 vengono così definiti:
44 Dove σ2 è la varianza percentuale istantanea del logaritmo del prezzo del titolo sottostante, espressa anch'essa su base annua.
“Si concentrano sulla vecchia, a tutt’altro che intuitiva, idea di Black: per valutare un contratto a premio non occorre sapere come finirà la partita, cioè conoscere quale sarà il prezzo del titolo alla scadenza del contratto. Basta invece conoscere quel che è noto agli operatori: i termini del contratto (il corso del premio e la scadenza) e la volatilità del titolo. Se un titolo è molto stabile, i suoi contratti out of the money non avranno grande valore per nessuno: è molto improbabile che il prezzo del titolo salga abbastanza da rendere vantaggiosi i contratti. Di contro, se un titolo è rischioso, se il suo prezzo ha grosse oscillazioni in un senso e nell’altro, allora i contratti avranno un valore elevato: è molto probabile che, in una di quelle oscillazioni, i contratti diventeranno in the money, ripagando generosamente i possessori. Inoltre, via via che il contratto giunge a maturazione e il prezzo del titolo cambia, il valore del contratto nel mercato continuerà a cambiare. La formula di Black-Scholes consentiva di eseguire i medesimi calcoli frequenti del valore che vengono effettuati dal mercato stesso. Inoltre, per essere di utilità pratica, doveva “presupporre l’assenza di ogni tipo di complicazione”, come ricorda Black. I due studiosi, per esempio, seguirono Markowitz, Sharpe e Bachelier nel presupporre che il rischio di un titolo, la volatilità, si può valutare con il metro della curva a campana.”
(“Il disordine dei mercati: Una visione frattale di rischio, rovina e redditività” 2004 pag. 73)
Il mondo di Black-Scholes è un mondo dove non esiste incertezza non è un mondo keynesiano. Black- Scholes provano a mandare il loro articolo (Pricing of Options and Corporate Liabilities) a diverse riviste, la loro opera sebbene inizialmente non ebbe molto successo, fu pubblicata negli anni 70 dal The Journal of Political Economy.
“L’articolò andò in stampa subito dopo l’inaugurazione del Chicago Board Options Exchange, nel 1973. Fu accolto da un pubblico entusiasta. Nell’arco di qualche anno il linguaggio quotidiano dei broker aveva incorporato il suo lessico astruso, fatto di “delta” e “volatilità implicata”. La Texas Instruments iniziò a far pubblicità ai modelli più recenti delle sue calcolatrici descrivendole come lo strumento adatto per calcolare al volo la formula di Black-Scholes. Intorno alla formula si sviluppò un’intera industria. Con l’aiuto della formula di Black-Scholes e dei suoi numerosi perfezionamenti, oggi i direttori finanziari delle società si procurano abitualmente un’assicurazione, una copertura, contro situazioni di mercato indesiderate e non soltanto comprando titoli. Per esempio, quando la General Electric firma un contratto per fornire turbine a un’azienda elettrica inglese, compra contratti a premi put sulla sterlina che cresceranno di valore se la sterlina scende. In maniera analoga, anche i gestori di fondi possono cercare di ottenere un’assicurazione di portafoglio – comprando contratti a
45 premio che facciano zig quando il loro portafoglio fa zag. I contratti a premio sono senz’altro molto costosi, ma è certamente più economico che stare a guardare un portafoglio che avvizzisce quando il mercato gli è contrario. Questa copertura, o assicurazione, è il minore dei vari utilizzi odierni della formula. Migliaia di dirigenti d’azienda se la ritrovano nello stipendio: la formula viene usata abitualmente per calcolare il valore dei diritti di opzione che una società concede ai suoi dirigenti. E ha permesso un tipo completamente nuovo di compravendita, basata non su titoli e valute, ma sulla loro volatilità. Gli operatori possono costruire elaborate combinazioni di opzioni in modo da incassare non a un prezzo specifico, ma quando i prezzi oscillano più del normale, verso il basso o verso l’alto. Oppure possono fare il contrario e ideare un pacchetto di opzioni che fa guadagnare soltanto se i prezzi sono stabili. In questo senso, la formula attribuisce un prezzo al rischio”
(“Il disordine dei mercati: Una visione frattale di rischio, rovina e redditività” 2004 pag. 75)
C’è un raffinamento progressivo delle idee econometriche che ci dovrebbero permettere di prevedere il prezzo di un prodotto finanziario data la sua rischiosità. Tutto l’edificio si basa su presupposti fondamentali.
Abbiamo visto la struttura della teoria standard le cui basi vengono posti agli inizi del 1900 da Bachelier, quali sono queste basi fondamentali sono delle ipotesi sulla distribuzione della probabilità (Gaussiana) e l’indipendenza dei movimenti dei prezzi dei prodotti finanziari (l’indipendenza dal passato cioè moto Browniano). I prezzi si muovono con una distribuzione Gaussiana secondo le leggi Browniane. Poi abbiamo visto come questo venga raffinato prima da Markowitz, poi da Sharpe e poi abbiamo visto come questo arrivi in conclusione con la formula di Black-Scholes.
Il lunedì 19 ottobre 1987 i mercati finanziari di tutto il mondo piombavano nell’incubo di una nuova crisi. L’indice Dow Jones a Wall Street crollava del 22,6%, una percentuale più che doppia del peggiore calo accusato proprio dalla borsa americana in un’unica seduta. Eppure, non sembrava di essere sull’orlo del precipizio il venerdì precedente, nessuno aveva anche solo osato immaginare lontanamente che si sarebbe verificato un simile schianto azionario. E, invece, accadde che i crolli si propagarono presso tutte le borse, con l’FTSE 100 di Londra a chiudere la giornata a -26,4%, Madrid a -31%, Sidney di un catastrofico -41,8% e Hong Kong a -45%. Se la cavava relativamente bene Piazza Affari, dove il calo fu contenuto al -6,4%.
“L’edificio sta in piedi – a patto di presupporre la correttezza di Bachelier e dei suoi discepoli moderni. La varianza e la deviazione standard sono buoni sostituti del rischio, come ipotizzò Markowitz – a patto che la curva a campana descriva correttamente la variazione dei prezzi. Il coefficiente β e le stime del costo degli investimenti di Sharpe sono sensate – a patto che Markowitz abbia ragione e che, a sua volta, abbia ragione Bachelier. E la formula di Black-Scholes è corretta – di nuovo, a patto di supporre che la curva a campana sia la distribuzione giusta e che i prezzi abbiano variazioni continue. Nel suo complesso, questo edificio intellettuale è una testimonianza straordinaria dell’ingegno umano. Ma l’insieme complessivo non è più forte del suo elemento più debole.
Il crollo del 19 ottobre 1987 colse molti di sorpresa. Un certo giorno, il Dow precipitò del 29.2 per cento.”
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(“Il disordine dei mercati: Una visione frattale di rischio, rovina e redditività” 2004 pag. 76)
L’incertezza è esclusa dalla curva Gaussiana peccato che la curva Gaussiana non spiega la realtà. Allora Black-Scholes continua a funzionare fino al 2008 a livello teorico, tutti ci guadagnano sopra e un sistema che funziona non si cambia, nessuno ha interesse a cambiarlo, anche se è sbagliato nessuno ha interesse a dire che è sbagliato perché ci guadagnano. La crisi del 2008 ha origini multi causali ma sicuramente da un punto di vista analitico considerare che tutte le operazioni finanziarie fatte fino a quel momento si basavano su dei presupposti che erano statisticamente errati.
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