La "rivoluzione marginalista" del 1870, quindi, derivava dall'imitazione diretta della fisica del 1800; il nome stesso rivela che il valore era previsto su campi di forza continui e reversibili che davano origine a funzioni continue e reversibili con i prezzi come i loro argomenti principali. L'intero progetto di sostituzione regolare e massimizzazione vincolata è compromesso da Mandelbrot: i dati empirici delle serie temporali dei prezzi non sono funzioni continue.
Per discutere molti di questi processi casuali, Mandelbrot scoprì di dover ricorrere a funzioni che non erano in alcun modo differenziabili.
L'intuizione principale del lavoro empirico di Mandelbrot è che le distribuzioni dei prezzi sono approssimativamente invarianti in scala: non ha importanza dal punto di vista stocastico se le guardi minuto per minuto o anno dopo anno. Quella invarianza di scala suggerisce che la distinzione Marshalliana tra breve e lungo periodo sia un errore analitico.
Vittima di tale riconcettualizzazione è la nozione di mercati efficienti è legata alla possibilità di arbitraggio, cioè una serie di scambi razionali che stabilizzano il prezzo avvicinandolo ai fondamentali: per dirla in altro modo, l'arbitraggio perfetto dovrebbe "sbiancare" la densità spettrale, come spesso affermato dalla scuola delle aspettative razionali. Ma in presenza dell'effetto Joseph (lunghissima dipendenza dei prezzi), esiste davvero una classe di casi importanti in cui l'arbitraggio sia impossibile. Supponiamo che le variazioni di prezzo siano discontinue e dimostrino una lunga dipendenza. L'arbitraggista cerca di sbarazzarsi delle acute discontinuità (l'effetto Noè), ma poiché i cambiamenti sono discontinui, egli quasi sempre non riesce mai a recuperare. Con qualcosa di meno che un perfetto orizzonte infinito di anticipazione, le sue azioni hanno conseguenze sistematiche su tutta la linea (effetto Joseph) che nessuno può prevedere, e così finisce per aumentare la varianza delle serie temporali generali. Varie combinazioni degli effetti di Noah e Joseph produrranno conseguenze diverse per le azioni degli arbitraggisti.
Naturalmente, le implicazioni principali del lavoro di Mandelbrot ruotano attorno a questioni di influenza, informazione e significato della razionalità in un mondo che diverge dalla normalità.
I teorici neoclassici amano parlare in termini di "economizzare" rispetto all'informazione, di avere inferenze governate da "funzioni di perdita" e simili un mondo, quindi dono non esiste l’incertezza. Una delle profonde implicazioni del programma di Mandelbrot è che la versione di massimizzazione vincolata del comportamento razionale è spesso priva di senso quando si confronta con un ambiente stocastico di stabile Lévy.
Considerando la distribuzione di Cauchy. La distribuzione della media campionaria (il valore atteso della distribuzione non esiste) in questo caso è identica alla distribuzione di ogni singolo elemento nel campione. Quindi il calcolo della media campionaria è superfluo; e in effetti, la raccolta di maggiori
56 informazioni è inutile. Poiché l'aumento del campione non migliora mai le prestazioni dello stimatore, l'intera nozione di "economizzare" sull'informazione è resa nulla. Questo val anche per la distribuzione stabile Lévy, poiché l'aumento di un campione non porta alla convergenza delle statistiche campionarie in momenti più alti; e molti stimatori coerenti dei primi momenti in realtà non fanno uso di tutti gli elementi componenti del campione.
Il risultato è che quasi ogni tecnica di econometria ortodossa è inutile e probabilmente dovrebbe essere scartata.
Se Mandelbrot ha ragione e tutti gli idoli econometrici devono essere distrutti, allora come è possibile che così tanti praticanti siano stati così gravemente fuorviati per così tanto tempo?
Il motivo per cui sono state assunte le ipotesi forti che caratterizzano la teoria neoclassica, per cui La curva Gaussiana è la premessa necessaria. Perché Bachelier fa questo assunto nel 1912, la scelta è nell’informazione contenuta al tempo t tutto quello che c’è da sapere è quello che è al tempo t non quello che era a t-1 o quello che sarà t+1 perché tanto c’è la distribuzione normale.
I motivi di questa scelta possono essere molteplici. Una considerazione fatta dal Professore Bientinesi è riferita al rasoio di Occam: principio metodologico espresso nel 1300 dal frate francescano inglese William of Ockham. Tale principio suggerisce l'inutilità di formulare più ipotesi di quelle che siano necessarie per spiegare un dato fenomeno quando quelle iniziali siano sufficienti. Il rasoio logico evita la postulazione di entità inutili, implicitamente favorisce la partenza da principi dimostrati e quindi semplici, e con solide e semplici deduzioni fa in modo che si arrivi alla conclusione. La metafora del rasoio concretizza l'idea che sia opportuno, dal punto di vista metodologico, eliminare con tagli di lama e mediante approssimazioni successive le ipotesi più complicate.
La pratica stessa di adattare i modelli lineari, in particolare quelli che coinvolgono variabili di tendenza, ha agito per filtrare la varianza a bassa frequenza e i valori anomali, quindi efficacemente "pre- imbiancando" i dati. Le distribuzioni "normali" non erano affatto normali; erano solo artefatti del matrimonio riparatore della teoria deterministica con "shock casuali".
In un mondo stabile di Lévy, le trasformazioni lineari dei processi stocastici potrebbero sembrare deterministiche e viceversa: in un certo senso, la preoccupazione per la "teoria" ostacolerebbe la capacità di "vedere" l'intera gamma di possibilità stocastiche.
Questo era un progetto dell'indeterminismo più radicale; non si poteva accettare alcun compromesso o non fare pace con il programma di ricerca neoclassico, che, dopo tutto, non era altro che una imitazione della fisica del 1800.
57
CAPITOLO 7)
AUTOSOMIGLIANZA
La caratteristica della distribuzione stabile di Lévy è l’auto-somiglianza rispetto alla scala. Una serie temporale di prezzi sembra una linea costiera: irregolare, se si ingrandisse la costa con una lente di ingrandimento, potremmo osservare che la stessa irregolarità si ripresenterebbe con scala diversa. Quindi una costiera sembra possa essere generata da una sorta di processo stocastico; ma il problema è che il processo Gaussiano standard o random walk non è in grado di simulare adeguatamente la geometria. Con precisione, l'esatta auto-somiglianza è più caratteristica di fenomeni come le coste, le montagne ecc. Infine, in senso stretto, il movimento browniano frazionario è auto-affine piuttosto che auto-simile: se l'asse temporale dovesse essere ingrandito da un fattore Ѳ> 1, il valore della variabile auto-affine verrà ingrandito di un fattore di ѲH, dove H> 1/2.
Nel tentativo di descrivere il grado di irregolarità, supponiamo di definire un numero d (S) tale che:
dove M (ε) è il numero minimo di cubi dimensionali N necessario per coprire un sottoinsieme S di uno spazio contenente una curva irregolare. Per il piccolo ε, questo implica che M(ε)~K ε -d, dove K è una costante arbitraria; Mandelbrot originariamente chiamava d (S) la "dimensione frattale" della curva. Se si ha a che fare con una curva auto-simile, allora un grafico di lnM/lnε contro [lnε]-1 sarebbe lineare con la pendenza d. Questa è precisamente la tecnica di stima che Mandelbrot aveva usato nella sua serie temporale di prezzi; e qui c'era il collegamento che collegava la geometria dei processi stocastici stabili irregolari a Lévy.
Proprio come la distribuzione gaussiana era solo un caso speciale della più generale classe di distribuzioni di Lévy stabile con un esponente intero, la geometria convenzionale era solo un caso speciale con l'esponente intero di una geometria molto più generale, chiamata geometria frattale.
Come Mandelbrot aveva affermato in precedenza che l'esponente di distribuzione stabile α per le variazioni di prezzo era una frazione tra 1 e 2, ora sosteneva che la natura abbondava con la geometria della dimensione frazionaria, ben oltre qualsiasi cosa sospettata nella città celeste dei geometri greci. La norma della Natura non era le lisce orbite celesti dei pianeti o la musica delle sfere6, ma piuttosto la turbolenta turbolenza del ruscello di Eraclito. Anche la distribuzione degli intervalli nella musica era più
6La musica delle sfere, detta anche musica universale, è un antico concetto filosofico che considerava l'universo come un enorme sistema di
proporzioni numeriche. I movimenti dei corpi celesti, inoltre, avrebbero prodotto una sorta di musica, non udibile dall'orecchio umano, ma consistente in concetti armonico-matematici. La teoria della musica delle sfere ebbe origine nell'antichità e continuò a essere seguita almeno fino al 1600, suscitando l'interesse di filosofi, musicologi e musicisti.
58 vicina al rumore frattale rispetto alla gaussiana. Inoltre, la caratteristica di distribuzione di probabilità dei frattali è iperbolica, così come si potrebbe dire che la distribuzione di probabilità caratteristica del mondo euclideo è la gaussiana.
La svolta arrivò quando i fisici smisero di cercare invarianti deterministici e iniziarono a guardare i modelli geometrici nello spazio delle fasi .
Ciò che hanno scoperto era un tipo di ordine completamente diverso in mezzo al caos, il fenomeno dell'auto-somiglianza a diverse scale geometriche. Questo ha suggerito che molti ritratti di sistemi dinamici di spazio delle fasi esibivano geometrie frattali; e questo è stato preso come un'indicazione che un approccio completamente diverso deve essere preso per la descrizione dell'evoluzione dei sistemi meccanici.
59
CAPITOLO 8)