Mandelbrot essenzialmente propose di abbandonare ogni speranza di determinismo rinunciando alla ricerca di qualsiasi dinamica meccanicistica in favore di un approccio completamente stocastico in economia, ma poiché questa teoria contraddiceva la teoria neoclassica, essa fu respinta dalla maggioranza degli economisti. Negli anni '80, i fisici hanno scoperto l'approccio Hamiltoniano desiderato, ma lo hanno usato come punto di riferimento per concepire la natura delle dinamiche. Alcuni economisti neoclassici, senza alcun segno di autoconsapevolezza sul fatto che non si può persistere nella legittima imitazione della fisica se non si è mai avuta la solida struttura analitica dell'Hamiltoniano, si precipitarono ad abbracciare la nuova tecnologia matematica in gran parte per la sua popolarità tra i fisici.
Molti testi introduttivi iniziano con una semplice mappa logistica xt+1=Фxt(1-xt) sull'intervallo unitario
[0,1], e mostra come l'innalzamento del parametro Ф causa il raddoppio del periodo e l'insorgere del caos; allora il lettore è condotto alla mappa più generale f:R→R e, attraverso una deviazione attraverso il teorema di Sarkovskii7, al risultato che se f ha un punto periodico del periodo tre, allora f ha punti periodici di tutti gli altri periodi.
Questa gran giocattolo matematico è stato disastroso per gli economisti, perché dà l'impressione che in qualche modo questo sia il caos, per non parlare di dare origine alla tentazione generare tutti i tipi di modelli di matchbook a variabile singola in cui una singola equazione ricorsiva equivoca in qualche modo a "rendere conto" del comportamento apparentemente stocastico dei prezzi delle azioni, delle fluttuazioni macroeconomiche, dei disordini monetari e di ogni altro flagello noto all'umanità.
La questione della concettualizzazione del caos in fisica è molto più complessa di questi piccoli esercizi matematici.
7 Il Teorema di Sarkovskii si basa sul seguente ordine dei numeri naturali:
Il teorema afferma che se f:R→R è continuo, e f ha un punto periodico di primo periodo k, il se k>-ℓ nel suddetto ordine, allora f ha anche un punto periodico del punto ℓ.
60 Nel corso del secolo scorso, i fisici sono arrivati a credere che esistano molti tipi qualitativamente diversi di output stocastico, e che dovrebbero essere distinti dal tipo di processo che li genera.
In quanto segue, può essere utile che gli economisti siano resi più consapevoli della differenza tra la struttura frattale nelle mappe e i flussi caotici.
-Nelle mappe una traccia del moto del sistema è discreta, e non vi sono restrizioni sulla continuità del movimento descritto. Tuttavia, le dinamiche dei sistemi fisici sono generalmente espresse come problemi di movimento nello spazio delle fasi, che devono essere conformi ai requisiti di continuità nel movimento.
-i termini "caos" e "spazio di fase" sono riservati esclusivamente ai flussi, perché qui ci occupiamo della relazione tra neoclassicismo e trattamento delle dinamiche in fisica. Quindi i "gradi di libertà" di un modello economico saranno definiti come i parametri N richiesti per specificare completamente il movimento del sistema meno i vincoli indipendenti p sul sistema. Questo è estremamente in disaccordo con quasi ogni altra discussione sul "caos" in economia, che generalmente inizia con esempi di mappe e non di flussi.
TABELLA 1 LE CATEGORIE DELLA DINAMICA STOCASTICA: GRADI DI LIBERTÀ 1.2 3 o più Sistema conservativo (integrabile) Risonanza Miscelazione c-sistemi di diffusione di Arnold
Sistema dissipativo nessun comportamento stocastico
attrattore strano vero "caos"
Le distinzioni più importanti da fare sono quelle che dividono il conservatore dai sistemi dissipativi e le distinzioni tra il numero basso e alto di gradi di libertà nel particolare problema dinamico. Le diverse permutazioni di queste categorie sono presentate di seguito nella Tabella 1, al fine di sottolineare i diversi tipi di comportamento apparentemente casuale che possono sorgere in un contesto deterministico.
61 Si può osservare da questa tabella che la terminologia del "caos" è stata tristemente abusata nella letteratura, poiché dovrebbe essere legittimamente collegata ai sistemi dissipativi di flussi: i sistemi che "perdono l'energia disponibile" o rallentano a causa di attrito, perdita di calore, ecc. e quindi evolvono in modo irreversibile. La semplice apparizione del comportamento stocastico in un sistema deterministico non dipende dalla presenza del "caos".
Già, la nozione stessa di "determinismo" ha subito una grave battuta d'arresto in questi casi, poiché è ampiamente riconosciuto che i sistemi conservativi rappresentano l'epitome dell'ideale del determinismo. Ma questo è più che un terminologico di cavillo filosofico; raffredda il fervore neoclassico per imitare la fisica.
Le dinamiche hamiltoniane si applicano solo a sistemi conservativi o integrabili, mentre il vero "caos" è limitato a quelle situazioni in cui gli Hamiltoniani non sono applicabili o risolvibili. La ragione di questa distinzione è che il movimento stocastico che si osserva nella dinamica Hamiltoniana è esposto nell'intero intervallo di parametri, mentre la caratteristica distintiva dello spazio delle fasi dei sistemi dissipativi è la presenza simultanea di traiettorie regolari e regioni di stocasticità. In altre parole, solo i sistemi dissipativi visualizzano tali fenomeni come una transizione verso il caos condizionati da alcuni parametri di forzatura. Solo i sistemi intrinsecamente dissipativi possono esibire attrattore strano nello spazio delle fasi, perché le traiettorie non possono essere attratte in un sistema conservativo. è la dissipazione che serve ad abbassare la dimensione della caratterizzazione geometrica delle traiettorie nello spazio delle fasi.
Il fisico aveva bisogno di qualcosa per radicare la propria analisi in queste situazioni in cui gli Hamiltoniani non potevano lavorare, e lo trovarono nell'auto-somiglianza geometrica degli attrattori nello spazio delle fasi (il carattere frattale); era un modo completamente diverso di approcciare un problema di vecchia data.
È fondamentale vedere che i fisici hanno usato la loro precedente teoria per dividere il mondo in regioni di invarianza e regioni di cambiamento, e quindi sapere in quali situazioni ci si potrebbe aspettare di trovare uno strano attrattore e avere aspettative teoriche precedenti circa quali variabili dovrebbero essere governate da attrattori a bassa dimensionalità.
Sfortunatamente, gli economisti neoclassici non possiedono competenze parallele o risorse teoriche, e quindi hanno difficoltà nel definire se un certo fenomeno economico sia o possa essere caotico.
Innanzitutto, non possiedono alcuna legittima dinamica Hamiltoniana. La ragione di ciò è che i neoclassicisti non hanno mai preso una decisione su ciò che dovrebbe essere conservato nel loro sistema teorico. Ne consegue che i neoclassici non hanno alcun fondamento teorico per affermare che qualsiasi sistema o fenomeno economico sia dissipativo, e quindi, nessuna ragione per cercare anche strani attrattori.
62 In secondo luogo, gli economisti neoclassici non hanno argomenti per mettere alcuni limiti su qualsiasi grado di libertà previsto in nessuno dei loro modelli. Poiché il numero di beni e attori nei veri modelli di equilibrio generale è illimitato, essi non hanno alcuna analogia con la conoscenza a priori del fisico della numero rilevante di dimensioni spaziali, ecc. Spesso questo problema viene risolto limitando arbitrariamente il modello a un singolo attore, due beni, due periodi, ecc. come se i gradi di libertà non fossero un criterio centrale per la valutazione del modello.
Quindi i neoclassici hanno ignorato le distinzioni cruciali in Tabella 1 perché non hanno idea di quali restrizioni debbano essere poste sul tipo di fenomeni casuali da rilevare nella sfera sociale. A prescindere da quanto matematicamente sofisticati possano sembrare a un estraneo non istruito, i modelli di equilibrio generale neoclassico lasciano cadere troppi gradi di libertà e quindi non impongono restrizioni intelligibili alla spiegazione economica.
Gli economisti dovrebbero trovare una spiegazione che adotti un approccio fenomenologico alle serie temporali economiche, questo era esattamente il punto di lavoro precedente di Mandelbrot in economia, un tema di fondo che emergeva nel suo "Premature Fractal Manifesto".
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