Nell’analisi della teoria standard l’incertezza non esiste: gli operatori economici sono razionali, prendono le loro decisioni seguendo curve di preferenza, l’incertezza quindi non esiste e in questo contesto ogni operatore ha la propria funzione di utilità la cui forma considera la propensione al rischio.
“Confronto tra l’originale e l’imitazione – mediante l’analizzatore. Qui si può vedere più chiaramente la differenza tra il grafico browniano (in basso) e quello del Dow Jones (in alto).”
(“Il disordine dei mercati: Una visione frattale di rischio, rovina e redditività” 2004 pag. 93)
Mandelbrot confrontò l’indice di Don Jones con l’ipotesi del moto Browniano. La definizione “curva normale” da un’impronta che non è solo lessicale ma concettuale. Ad esempio la curva di distribuzione dei redditi è la curva paretiana la distribuzione non è normale, la distribuzione in un mondo perfetto dovrebbe essere normale, non normale è paretiana perché ha a che fare con gli essere umani che sono imperfetti.
“Invece di usare una scala logaritmica, in questo caso si è convertita ogni variazione dell’indice nel numero di deviazioni standard che la separano dalla variazione media – un numero che indica quanto è insolita. In questo grafico i rari movimenti considerevoli dell’indice corrispondono a colonne alte, i comuni movimenti piccoli a colonne basse. Caratteristiche salienti: nel grafico browniano le variazioni sono per la maggior parte piccole (in realtà, all’incirca nel 68 per cento dei casi): superano la variazione media, uguale a zero, al massimo di una deviazione standard (σ). Circa il 95 per cento delle variazioni è inferiore a 2σ, circa il 98 per cento è inferiore a 3σ e le variazioni più grandi sono molto poche. Ora consideriamo le variazioni del Dow Jones. I valori estremi sono enormi. Alcuni uguali a 100; uno, relativo al 1987, a 22σ.”
48 In termini di anni 22σ significherebbe che una catastrofe capiti una volta ogni milioni di anni. E invece nella realtà succede due o tre volte in un secolo. Questa è la prova che la teoria non funzioni. Tale osservazione fu completamente non presa in considerazione.
Mandelbrot era predisposto a notare tutto ciò, data la sua intuizione "geometrica" e il suo approccio fenomenologico.
Inoltre il suo insegnante, Paul Lévy, aveva dimostrato che il teorema del limite centrale era molto più complicato di quanto si sospettasse. Mostrò che la distribuzione gaussiana era solo una delle famiglie di distribuzioni "stabili"; la funzione della stabile Lévy (conosciuta anche come "stabile Paretiana" nella letteratura economica degli anni '60) è la seguente:
Dove δ è un numero reale, γ>0, ∣β∣≤1, e
e
Lévy dimostrò che l’unica possibile distribuzione per somme di variabili casuali indipendenti identicamente distribuite fosse una distribuzione stabile di Lévy. Il tradizionale teorema del limite centrale limitava il risultato alla normalità imponendo la condizione che ciascuna delle variabili casuali costituenti abbia una varianza finita.
Mandelbrot osservò che le distribuzioni delle variazioni di prezzo che non erano gaussiane perché avevano troppi valori anomali. Mentre le code delle distribuzioni stabili Lévy non gaussiane assomigliavano a una forma asintotica della "legge di Pareto", cioè P(ũ>u*)→[u*/V]-α con u→∞. Mandelbrot aveva familiarità con la legge Pareto e cominciò a sospettare che tali distribuzioni iperboliche fossero endemiche a variazioni economiche, e questo fatto avrebbe avuto conseguenze profonde sul pensiero economico.
La teoria della distribuzione di Lévy Stable, tuttavia, non era uno scherzo. Ad esempio, le espressioni esplicite (escluse le approssimazioni di espansione di serie) per le funzioni di densità della famiglia di distribuzioni erano conosciute solo in tre casi:
49 -La distribuzione Gaussiana (dal nome del matematico tedesco Carl Friederich Gauss vissuto tra il 1700 e il 1800) α=2, δ=μ e γ=(σ2)/2 (β è un parametro di asimmetria; quando β= 0, la distribuzione è simmetrica): conosciuta anche come distribuzione normale, è una distribuzione di probabilità continua che è spesso usata come prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valor medio. Il grafico della funzione di densità di probabilità associata è simmetrico e ha una forma a campana.
Curtosi=0
Indice di asimmetri=0
La distribuzione normale dipende da due parametri, la media (valore atteso) μ e la varianza σ2
La distribuzione normale è considerata il caso base delle distribuzioni di probabilità continue a causa del suo ruolo nel teorema del limite centrale. Più specificamente, assumendo certe condizioni, la somma di n variabili casuali con media e varianza finite tende a una distribuzione normale al tendere di n all'infinito. Grazie a questo teorema, la distribuzione normale si incontra spesso nelle applicazioni pratiche, venendo usata in statistica e nelle scienze naturali e sociali come un semplice modello per fenomeni complessi.
-La distribuzione di Cauchy (α=1, β= 0) prende il nome da Augustin Cauchy, è una distribuzione di probabilità continua.
La distribuzione di Cauchy f(x;x0,γ) è la
distribuzione dell'intercettazione x di un raggio emesso da (x0,γ) con un angolo uniformemente
distribuito. Variabili casuali normalmente distribuite se la distribuzione del denominatore ha una media zero.
Varianza indefinita Curtosi indefinita Simmetria indefinita
50 -La distribuzione di Lévy o Paretiana (α=1/2, β= 1, δ=0, γ= 1) prende il nome da Paul Lévy (matematico e statistico francese vissuto nel 1900), è una distribuzione di probabilità continua per una variabile casuale non negativa.
Varianza infinita Simmetria indefinita Curtosi indefinita
È una delle poche distribuzioni che sono stabili e che hanno funzioni di densità di probabilità che possono essere espresse analiticamente (oltre alla distribuzione normale e alla distribuzione di Cauchy).
Gli altri casi, che erano esattamente quelli che Mandelbrot sospettava fossero caratteristici delle variazioni economiche (dove 1 <α< 2), in cui non esisteva alcuna funzione di densità analitica e ciò impediva di fare affermazioni sul comportamento di stimatori; né si potrebbe scrivere un'espressione analitica per uno stimatore. Inoltre, le varianze erano infinite, quindi qualsiasi stimatore non poteva dipendere da nessun momento più alto del precedente. Mandelbrot prese a tracciare la densità cumulativa del campione di (logP(t+d)-logP(t)) al fine di stimare la magnitudo di α facendo uso del risultato asintotico di Pareto. Sebbene non ci fosse modo di misurare gli intervalli di confidenza, α sembrava essere costantemente meno di due.
In seguito, altri ricercatori hanno scoperto che avviene qualcosa di simile anche nel caso degli indici azionari. Gli statistici, che amano condensare un insieme di informazioni difficili da interpretare in un unico argomento chiaro, hanno escogitato un criterio numerico per valutare l’accordo tra i dati reali e la curva a campana. Lo chiamano curtosi, dal greco kyrtos, incurvato, ma lo possiamo immaginare come la quantità di “condimento” della zuppa statistica. Una curva a campana perfetta, priva di condimento, ha una curtosi pari a 3; una curva piccante, con le code spesse, come quelle che abbiamo incontrato, ha un valore più alto, mentre una curva bollita fino a diventare una brodaglia insulsa ne ha uno più basso. Secondo un libro del 2003 di Wim Schoutens, un matematico dell’Università Cattolica di Leuven, tra il 1970 e il 2001 le variazioni giornaliere di un altro importante indice del mercato azionario americano, lo Standard & Poor 500, hanno avuto una curtosi pari a 43.36. In confronto ai livelli insipidi della gastronomia statistica, è una zuppa di peperoncino. Se si scarta il dato più speziato, il crollo dell’ottobre 1987, si ottiene comunque un piatto eccessivamente piccante, con una curtosi di 7.17.”
51 Levando il 22σ che non dovrebbe esistere, è un errore di Dio di è distratto. Una delle curve proposte è la curva di Lèvy che ha proprio code spesse, cioè sono quelle distribuzioni dove gli eventi estremi non sono estremi sono molto meno rari rispetto la curva. La curva di Lèvy non ha curtosi rilevabile è proprio un’altra cosa è indefinita la curtosi.
Qualsiasi intelletto inferiore si sarebbe accontento di questo risultato, ma Mandelbrot voleva spingersi oltre; era intento di capire come fosse collegato a tutto il resto.
-C'era il problema di ciò che significava l'esistenza della variazione infinita. Ciò non significava che i valori dei prezzi osservati fossero infiniti; né significava che i momenti di esempio di tutti gli ordini non fossero essi stessi finiti. Tutto ciò che voleva dire era che le varianze campionarie crescevano in modo imprevedibile e senza vincoli con l'aumento delle dimensioni del campione.
-Poi c'era il problema dell'abitudine di imporre un limite alle varianze campionarie automaticamente considerando i processi come non stazionari per produrre una varianza finita .
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CAPITOLO 5)