Nel 1990 il CAPM fruttò a Sharpe, Markowitz e Miller, il premio Nobel per l'economia. «per i contributi pionieristici nell'ambito dell'economia finanziaria».
Studiando come agiscono (o dovrebbero agire razionalmente) gli investitori nel formare i loro portafogli di investimento, nel capitolo precedente abbiamo di fatto analizzato la domanda di titoli finanziari in base a un particolare modello (quello media-varianza) di comportamento degli investitori. Peraltro, nel modello media-varianza, gli investitori, nel decidere i loro portafogli di investimento, considerano i prezzi e i rendimenti attesi delle singole attività finanziarie come dati. In altri termini, il modello media- varianzia, di per sé, non dice niente su come si formano sul mercato i prezzi (e i rendimenti attesi) dei singoli titoli. Il modello CAPM (Capital Asset Pricing Model) si propone invece di spiegare come si formano, in equilibrio, i prezzi e i rendimenti attesi delle attività finanziarie.
Le ipotesi fondamentali del CAPM sono che gli investitori: i) prendano le proprie decisioni di investimento in base a quanto prescritto dal modello media-varianza delle scelte di portafoglio; e ii) condividano tutti le stesse aspettative (o credenze) sulla media, la varianza e le covarianze dei rendimenti delle attività
Le assunzioni di base del CAPM riguardano: 1) Equilibrio nei mercati dei capitali
-Nei mercati non sono presenti frizioni di alcun tipo. Questo significa assenza di costi di transazione e nessun limite allo scambio di attività.
-Gli investitori non incontrano mai limiti nel prendere a prestito o nell’investire nell’attività priva di rischio.
-Le attività sono infinitamente divisibili.
-Tutti gli scambi devono avvenire ai prezzi di equilibrio di mercato. -Gli investitori devono comportarsi da price-takers.
-Le imposte devono essere neutrali. : tutti gli investitori siano tassati alla medesima aliquota e che non vi sia una tassazione differenziale fra guadagni in conto capitale e dividendi.
38 -Tutti gli investitori adottano un orizzonte uniperiodale.
-Tutti gli investitori si comportano in accordo al modello media-varianza.
3) Aspettative omogenee: tutti gli investitori condividono le stesse stime delle aspettative sul rendimento atteso, varianza e covarianza delle diverse attività.
Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali
In base alle assunzioni del CAPM, tutti gli investitori che operano sul mercato dei capitali hanno aspettative omogenee e detengono attività rischiose nelle stesse proporzioni. Peraltro, dal momento che il mercato dei capitali è un aggregato di tutti gli investitori, logicamente ogni investitore deterrà titoli rischiosi nella stessa proporzione del mercato. Per tale motivo, sotto le assunzioni del CAPM, il portafoglio di tangenza ( combinazione di titoli rischiosi detenuta da ciascun investitore) viene definito portafoglio di mercato e, analogamente, la frontiera efficiente (costruita combinando in proporzioni differenti il portafoglio di mercato con il titolo privo di rischio) viene indicata come linea del mercato dei capitali (capital market line :CML).
La linea del mercato dei capitali, o CML, esprime la relazione di equilibrio tra il rendi-mento atteso e il rischio (deviazione standard) dei portafogli efficienti. L’equazione che caratterizza la CML è:
dove µP e σP rappresentano il rendimento atteso e la deviazione standard di un generico portafoglio efficiente P , mentre µM e σM esprimono il rendimento atteso e la deviazione standard del portafoglio di mercato. La CM L, quindi, è rappresentata da una retta con intercetta verticale pari a r0 e coefficiente angolare (µM−r0)/σM.
Il portafoglio di mercato PM, è costituito dal portafoglio di tangenza tra la CML e la frontiera efficiente con soli titoli rischiosi. In particolare, nella figura sono stati indicati tre portafogli ottimali, P1∗, P2∗ e P3∗, per tre possibili investitori con diverse preferenze
39 Il portafoglio di mercato `e il portafoglio composto da tutti i titoli (rischiosi) presenti sul mercato, dove le quote dei diversi titoli sono quelle detenute in equilibrio dal mercato nel suo complesso, ossia quelle per cui, per ciascun titolo, la domanda e l’offerta di mercato sono uguali.
Linea del mercato delle attività
La linea del mercato dei capitali (CML) esprime la relazione di equilibrio tra il rendimento atteso e il rischio (deviazione standard) dei portafogli efficienti. Peraltro, di per sé, essa non fornisce alcuna indicazione sulla relazione tra il rendimento atteso e il rischio delle singole attività finanziarie
40 da cui, risolvendo con alcuni passaggi algebrici rispetto a µi:
La relazione espressa e nota come linea del mercato delle attività (security market line SML).
Dove:
βi=σiM/ σM2 esprime la reattività del rendimento di talli attività rispetto a variazione del rendimento medio del mercato nel suo complesso.
(μM-r0) premio per il rischio del mercato nel suo complesso. Graficamente la relazione della SML di presenterà:
41 E importante evidenziare alcune interessanti proprietà dei beta delle attività finanziarie e della SML. In primo luogo, considerando che σ0M = 0 e σM M = σM2 `e immediato stabilire che β0=0 e βM=1.
Può poi essere utile ricavare il premio per il rischio (risk premium) dell’attività i-esima, definito come la differenza fra il rendimento atteso dell’attività i e il rendimento dell’attività senza rischio, ossia µi−r0. Esso è dato da:
Emerge che per investimenti rischiosi (cioè in attività caratterizzate da un beta positivo), il premio per il rischio prevede un tasso di rendimento aggiuntivo proporzionale alla reattività rispetto al mercato. Titoli con coefficienti di reattività inferiori alla media (βi < 1) dovrebbero comportare un premio per il rischio inferiore a quello del mercato nel suo complesso. Viceversa, titoli con coefficienti di reattività superiori alla media (βi > 1) dovrebbero comportare un premio per il rischio superiore a quello del mercato.
Inoltre, emerge anche che potrebbe accadere che un’attività presenti un premio per il rischio negativo. Ciò potrebbe succedere perché il suo beta è negativo, ossia se il suo rendimento atteso è correlato negativamente al rendimento atteso del portafoglio di mercato, ossia ρiM≡σiM/(σiσM )<0.
Si tratterebbe dei titoli che si collocano sulla SML a sinistra di r0). Dal grafico della SML, si noti anche come in equilibrio i titoli con un beta negativo siano caratterizzati da un rendimento atteso inferiore a quello del titolo privo di rischio per il fatto che il rendimento di questi titoli è correlato negativamente a quello del mercato nel suo complesso. Inserire questi titoli nel portafoglio di mercato potrà consentire di ridurre il rischio complessivo dell’investimento ancor di più che inserendo il titolo privo di rischio, il cui rendimento presenta una correlazione nulla con quello del mercato.
42 Infine è possibile calcolare il beta di un intero portafoglio: quest’ultimo è uguale alla media ponderata dei beta delle attività incluse nel portafoglio, dove i pesi sono dati dalle quote delle singole attività sul totale del portafoglio:
Di conseguenza si collocherà sulla SM L ciascun portafoglio formato con le attività presenti sul mercato. In particolare, la relazione di equilibrio tra il rendimento atteso e il rischio di ogni generico portafoglio sarà definita dall’equazione µP=r0+(µM−r0)βP.
La differenza sostanziale tra la CML e la SML è che nella prima sono inclusi esclusivamente i portafogli efficienti,mentre nella seconda si collocano tutti i portafogli, siano essi efficienti o inefficienti.
“L’equazione “β-rendimento atteso” è la parte essenziale del modello di Sharpe. La forma in cui viene descritta nel testo di Sharpe è la seguente:
Dove E è l’operatore di speranza matematica. La speranza è data dal prodotto di un risultato previsto per la probabilità che tale risultato si realizzi. Per esempio, la speranza associata al lancio di una moneta non truccata è pari a 0, poiché si ha un 50 per cento di probabilità di vincere 1 punto e un 50 per cento di perdere 1 punto (0.5x1+0.5x(-1)=0). L’equazione quindi afferma che il rendimento atteso r con il titolo i è uguale alla somma di due numeri. Il primo è il “tasso di rendimento di un investimento privo di rischio” che si può prevedere di ottenere da qualcosa di sicuro come un Buono del Tesoro. Il secondo è il coefficiente β di Sharpe moltiplicato per il “premio di mercato”, che indica di quanto si prevede che il mercato M renda più del tasso del Tesoro. Il coefficiente β è il fattore chiave. Ogni titolo ha un proprio coefficiente β, che esprime la misura in cui i movimenti del prezzo sono correlati a quelli del mercato complessivo, ed è definito come il rapporto tra quanto varia il titolo con il mercato (la covarianza) e la varianza, o rischio, del mercato stesso. Anche in questo caso, si sfruttano le proprietà matematiche della curva a campana, quindi il ragionamento è valido soltanto se i prezzi hanno effettivamente una distribuzione normale.”
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