Date due funzioni ψ, φ : F(M3) → R, possiamo definire il prodotto
(ψ, φ) = Z
F (M3)
3.4. BUONA CONNESSIONE 79 D’ora in poi r 0 indicherà un numero positivo abbastanza grande nel contesto in cui r è tempo di flusso per un flusso di riferimenti, e un numero positivo minore del raggio di iniettività di M3, il che in particolare implicherà che la proiezione
F(H3) → F(M3) sarà iniettiva su ogni palla di raggio .
Scelto F0 ∈ F(H3) chiamiamo N(F0) la sua −palla, definita come N(F0) =
{F ∈ F(H3)|D(F, F
0) < } con D definita su F(H3) come nella scorsa sezione.
Scegliamo anche una funzione di classe C1 che chiameremo f
(F0) : F(H3) → R,
positiva su N(F0) e con supporto in esso, tale che
Z
F (H3)
f(F0)(X)dΛ(X) = 1.
Per ogni F ∈ F(H3) definiamo f
(F ) come il pullback di f(F0) per l’elemento di
PSL(2, C) che manda F in F0; possiamo definire quindi f anche su F(M3), dato
che la proiezione è iniettiva nell’−intorno. Inoltre, la proprietà
Z
F (H3)
f(F )(X)dΛ(X) = 1.
è valida per ogni f(F ).
Definizione 98. Prendiamo due riferimenti F1 = (p1, u1, n1), F2 = (p2, u2, n2) ∈
F(H3), e supponiamo g
r
4(pj, uj, nj) = (ˆpj,ˆuj,ˆnj). Definiremo
aH3(F1, F2) = (g∗−r
2f(ˆp1,ˆu1,ˆn1), f(ˆp2, −ˆu2,ˆn2))
dove (·, ·) è il prodotto definito a inizio sezione. Diremo che F1 e F2 sono (, r)−ben
connessi, o più semplicemente ben connessi, se aH3(F1, F2) > 0.
Similmente, per riferimenti in M3
Definizione 99. Prendiamo due riferimenti F1 = (p1, u1, n1), F2 = (p2, u2, n2) ∈
F(M3) e γ segmento geodetico in M3 che collega p1 e p2. Consideriamo ˜p1 sol-
levamento di p1, e ˜p2 corrispondente sollevamento di p2 lungo γ, e indicheremo
con ˜Fj = (˜pj,˜uj,˜nj) i corrispondenti sollevamenti in F(H3) dei riferimenti in
questione. Detto
aγ(F1, F2) = aH3( ˜F1, ˜F2)
diremo che i riferimenti F1 e F2 sono (, r)−ben connessi, o semplicemente ben
connessi, se aγ(F1, F2) > 0.
Con questa stessa notazione in M3, se g
r 4(pj, uj, nj) = (p 0 j, u 0 j, n 0 j), definiamo a(F1, F2) = (g∗−r 2f(p 0 1, u 0 1, n 0 1), f(p02, −u 0 2, n 0 2))
allora
a(F1, F2) =
X
γ
aγ(F1, F2)
al variare di γ tra i segmenti geodetici di M3 che collegano p
1 e p2; la somma
è ben definita dato che solo un numero finito di γ rende non nullo il termine corrispondente. Un altro modo di vedere la cosa può essere anche considerare
a(F1, F2) come la probabilità totale che F1 e F2 siano ben connessi, e il termine
relativo a γ la probabilità che lo siano lungo γ.
Uno dei motivi principali per cui abbiamo effettivamente introdotto il Teorema 97 era poter avere una stima della funzione a, che in particolare riportiamo nel lemma che segue.
Lemma 100. Fissato positivo, per r abbastanza grande e F1, F2 ∈ F(M3) si ha
a(F1, F2) =
1
Λ(F(M3))(1 + O(e −qr
2))
dove q è una costante che dipende solo da M3.
La dimostrazione è banalmente un’applicazione del Teorema 97.
Esiste un omeomorfismo naturale di ordine tre ω : F(H3) → F(H3) dato da
ω(p, u, n) = (p, ω(u), n), dove ω(u) è il vettore in T1
p(H3) ortogonale a n e tale
che l’angolo orientato tra u e ω(u) sia 2π
3 (l’angolo è misurato in senso antiorario
intorno a n). L’omeomorfismo ω commuta con l’azione di PSL(2, C) e può essere definito anche su F(M3) tramite la proiezione; inoltre, la funzione distanza D su
F(M3) è invariante per ω.
A ogni Fp = (p, u, n) ∈ F(M3) possiamo associare il bipiede Bp = (Fp, ω(Fp))
e l’anti-bipiede Bp = (Fp, ω(Fp)), dove ω = ω−1.
Definizione 101. Dati due riferimenti Fp = (p, u, n) e Fq = (q, v, m), entrambi
in F(M3), consideriamo B
p e Bq i bipiedi corrispondenti. Detta γ = (γ0, γ1) una
coppia di segmenti geodetici in M3, ciascuno dei quali collega p e q, diremo che i
bipiedi Bp e Bq sono (, r)−ben connessi lungo γ se la coppia di riferimenti Fp,Fq
e la coppia di riferimenti ω(Fp), ω(Fq) sono (, r)−ben connesse lungo i segmenti
γ0 e γ1 rispettivamente.
Lemma 102. Dati due riferimenti Fp = (p, u, n) e Fq = (q, v, m) in M3, suppo-
niamo che i bipiedi Bp e Bq corrispondenti siano (, r)−ben connessi lungo un paio
di segmenti geodetici γ0 e γ1 ciascuno dei quali collega p e q in M3. Allora, per r
abbastanza grande, la curva γ0∪ γ1 è omotopa a una geodetica chiusa δ ∈ Γ, e vale
l(δ) − 2r + 2 ln4 3 ≤ D
3.4. BUONA CONNESSIONE 81
Figura 3.7: La epsilon-catena chiusa in questione. per una qualche costante D positiva. Inoltre
d(p, δ), d(q, δ) ≤ ln√3 + D.
Dimostrazione. Definiamo, per i = 0, 1, Fpˆi = (ˆpi,ˆui,ˆni) come Fpˆi = gr
4(ω
i(F p)).
Allo stesso modo definiamo Fqˆi = (ˆqi,ˆvi,mˆi) come Fqˆi = gr
4(ω
i(F
q)). Dato che
ωi(F
p) e ωi(Fq) sono ben connessi per ipotesi, possiamo trovare Fp0
i = (p 0 i, u 0 i, n 0 i) ∈ N(Fpˆi) e Fq0i = (q 0 i, v 0 i, m 0 i) ∈ N(Fqˆi) tali che gr2(p 0 i, u 0 i, n 0 i) = (q 0 i, −v 0 i, m 0 i). Inoltre
è facile vedere che per ciascun i ∈ {0, 1} la concatenazione della −catena (g[0,r4](pi, ui), g[0,r2](p
0
i, u
0
i), g[0,r4](ˆqi, −ˆvi))
è omotopa a estremi fissati a γi. In figura 3.7 si può visualizzare la costruzione che
sta venendo portata avanti in questa dimostrazione.
Indicheremo con ηp il segmento geodetico da ˆp0 a ˆp1 omotopo a estremi fissati
a
g[0,r
4](ˆp0, −ˆu0) · g[0,
r
4](p, u)
Allora ˆn0 e ˆn1 sono paralleli lungo ηp, il che vuol dire che ciascuno si può otte-
nere trasportando parallelamente l’altro lungo ηp: questo si verifica dato che sono
entrambi ortogonali al piano del triangolo di lati (g[0,r4](p, ω(u)), g[0,r4](p, u), ηp).
Inoltre l’angolo tra ηp e −ˆui è minore di De−
r
4: questo si dimostra applicando
e viceversa. Così facendo, infatti, otterremo tale stima per la distanza complessa su tale geodetica dei due lati del triangolo interessati, che altro non è che l’angolo tra ηp e −ˆui.
Tenendo un attimo da parte quanto trovato sinora, vediamo anche che è pos- sibile stimare anche la lunghezza di ηp, nel seguente modo.
Applicando il teorema del coseno sul triangolo sopracitato, otteniamo cosh l(ηp) = cosh2 r 4 + 1 2sinh 2 r 4 = e r 2 + e− r 2 + 2 4 + er2 + e− r 2 −2 8 = 3e r 2 + 3e r 2 + 2 8 = 3 4cosh r 2 + 1 4 (3.4.1) da cui l(ηp) = ln 3 4cosh r 2 + 1 4 + s 3 4cosh r 2+ 1 4 2 −1 = ln32coshr2 + O(1) = ln34 er2 + e− r 2 + O(1) (3.4.2)
da cui possiamo finalmente ricavare la stima
l(ηp) − r 2+ ln 4 3 ≤ De−r4.
Definiamo poi ηq allo stesso modo di ηp e facciamo le stesse osservazioni.
I segmenti ηp, g[0,r2](p 0 1, u 0 1), η −1 q , g[0,r2](q 0 0, v 0
0) formano una −catena chiusa, e
possiamo quindi applicare il Lemma 90. Prendiamo (a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3) = (ˆp0,ˆp1, p01, q
0
1,ˆq1,ˆq0, q00, p 0 0)
collegando ai a bi con i segmenti sopracitati, e supponiamo
(n0, n1, n2, n3) = (ˆn0, n01, m 0 1, m
0 0)
Verifichiamo facilmente che le ipotesi del Lemma 90 sono soddisfatte, e conclu- diamo che γ0∪ γ1 è liberamente omotopa a una geodetica chiusa δ. Inoltre sono
soddisfatte le disuguaglianze
|l(δ) − 2r + 2 ln4
3.4. BUONA CONNESSIONE 83 e
d(ˆpi, δ), d(ˆqi, δ) ≤ D.
Grazie a quest’ultima disuguaglianza otteniamo che anche la proiezione di p su ηp
ha distanza da δ maggiorata da D, per cui, dal momento che per il teorema del coseno per triangoli iperbolici
d(p, ηp) = cosh−1 cosh(r 4) cosh(1 2d(ˆp0,ˆp1)) = cosh−1 e r 4 + e− r 4 √ 3 2 e r 4 + √2 3e −r 4 = cosh−1√2 3 er4 + e− r 4 er4 + 4 3e −r4 = cosh−1√2 3 1 + O(e−r 2 = ln(√3) + O(e−r4) (3.4.3)
abbiamo, per disuguaglianza triangolare,
d(p, δ), d(q, δ) ≤ ln√3 + D il che conclude la dimostrazione.
Dati tre riferimenti P, P1, P2 ∈ F(H3) daremo, nel contesto che segue, a P il
nome di riferimento stabile e a P1, P2 quello di riferimenti mobili. Prendiamo un
ulteriore riferimento F1 ∈ F(H3), e r abbastanza grande. Allora definiremo così il
riferimento F2 = L(F1, P1, P2, r):
Chiamiamo ˜F1 = gr
4(F1), e ˆF1il riferimento tale che per un qualche M1 ∈
PSL(2, C) si abbia M1(P ) = ˜F1 e M1(P1) = ˆF1. Scriviamo gr
2( ˆF1) = (ˆq, −ˆv, ˆm),
e ˆF2 = (ˆq, ˆv, ˆm), e sia ˜F2 il riferimento tale che per qualche M2 ∈ PSL(2, C) si
abbia M2(P ) = ˜F2 e M2(P2) = ˆF2. Poniamo g−r
4( ˜F2) = F2 = (q, v, m), e notiamo
che F2 dipende solo da F1, P1, P2 e r (vedi Figura 3.8).
Utilizziamo ora la notazione dello scorso capitolo, in cui Π0 indicava un paio di
pantaloni orientato con un omeomorfismo ω0 : Π0 →Π0 di ordine 3 che permuta i
bordi; i bordi orientati si potevano indicare quindi come ω0
0(C), ω10(C), ω20(C), dove
C indica una delle curve di bordo. Inoltre ω0 induce un isomorfismo tra π1(Π0) e
se stesso che chiameremo sempre con lo stesso nome, e ωi
0(c) ∈ π1(Π0) indica un
elemento della classe di coniugio corrispondente alla componente di bordo ωi
0(C)
tale che ω0
Figura 3.8: La costruzione di F2. Notiamo che ˆF1 è in posizione relativa a ˜F1 come
P1 lo è rispetto a P , e così ˆF2 è in posizione relativa a ˜F2 come P2 lo è rispetto a
P.
Scegliamo un riferimento P ∈ F(H3) e sei riferimenti Pj
i ∈ N(P ), con i ∈
{0, 1, 2}, j ∈ {1, 2}, e denotiamo con (Pij) la sestupla di riferimenti in questione. Definiamo la rappresentazione
ρ(Pij) : π1(Π0) → PSL(2, C)
come segue.
Per prima cosa, scegliamo un riferimento F0
1 = (p, u, n) ∈ F(H3), e poniamo F2 = L(F10, P 1 0, P 2 0, r).
Andremo a definire con Fj
1 in modo tale che
ω(F11) = L(ω−1(F2), P12, P 1 1, r) e da ω2(F12) = L(ω−2(F2), P22, P 1 2, r)
dove la ω che stiamo usando sui riferimenti sarà la funzione utilizzata nella sezione precedente, ossia ω(p, u, n) = (p, ω(u), n), e ω(u) è ottenuto ruotando u di 120 gradi in senso antiorario rispetto a n.
Definiamo ora tre elementi Ai ∈ PSL(2, C) dati da
A0(F10) = F 1 1 A1(F11) = F 2 1 A2(F12) = F 0 1
3.4. BUONA CONNESSIONE 85 e notiamo A2A1A0 = Id. Definiremo ρ(Pij) = ρ come ρ(ωi(c)) = Ai. A meno di
coniugio in PSL(2, C), la rappresentazione ρ(Pj
i) dipende solamente dalla sestupla
(Pj
i) e da r. Nel caso in cui P j
i = P per ogni i, j, si ha allora che H3/ρ(P j i) è un
paio di pantaloni planare i cui bordi hanno tutti e tre la stessa lunghezza, e di conseguenza le mezze lunghezze dei bordi corrispondenti a questa rappresentazioni sono numeri reali positivi. Il motivo è che i tre riferimenti Fi
1 = (pi, ui, ni) hanno
lo stesso ni a meno di trasporto parallelo, per cui appartengono allo stesso piano,
e così anche gli assi delle Ai.
Il prossimo lemma verrà in seguito utilizzato per mostrare che i pantaloni sghembi corrispodenti a un paio di treppiedi ben connessi - la cui definizione vedre- mo a breve - sono di fatto contenuti in ΠD,R per una qualche costante universale
positiva D.
Lemma 103. Scegliamo P ∈ F(H3), Pj
i ∈ N(P ) sestupla definita come sopra, e
ρ(Pij) = ρ. Allora, per ogni i,
hl(ωi0(C)) − r + ln4 3 ≤ D
per una qualche costante positiva D, dove hl(ω0(C)) indica le mezze lunghezze
corrispondenti alla rappresentazione ρ. In particolare, ciascuna delle ρ(ωi
0(c)) è
iperbolica.
Dimostrazione. Possiamo applicare il Lemma 102, da cui abbiamo
l(ω i 0(C)) − 2r + 2 ln 4 3 ≤ D dove l(ωi
0(C)) indica la lunghezza del bordo corrispondente a ρ(ωi0(c)) = Ai.
Abbiamo quindi hl(ωi(C)) = l(ωi(C))
2 + kπi, per k ∈ {0, 1}. Resta da mostrare
k = 0.
Prendiamo t ∈ [0, 1], e Pj
i(t) una curva continua in N(P ) tale che P j
i(1) = P j i
e Pj
i(0) = P , e definiamo ρt = ρ(Pij(t)). Il ragionamento fatto fino a questo
momento vale per ogni ρt, per cui per ciascun t troviamo il numero corrispondente
k(t). Dal momento che k(0) = 0 e che k è continua, si ha k(1) = 0.
Introduciamo ora il concetto di treppiede, oggetto che ci permetterà di costruire nella varietà i pantaloni che ci servono per completare la dimostrazione.
Definizione 104. Dato un riferimento F ∈ F(M3), possiamo associare ad esso
la terna T = (F, ω(F ), ω2(F )), che chiameremo treppiede. Allo stesso modo, a F
Definizione 105. Dati due riferimenti Fp = (p, u, n) e Fq = (q, v, m) in F(M3),
siano Tp = ωi(Fp) e Tq = ωi(Fq), i ∈ {0, 1, 2} i corrispondenti treppiedi; sia inoltre
γ = (γ0, γ1, γ2) una tripla di segmenti geodetici in M3, ciascuno passante per p e
q. Diremo che la coppia di treppiedi Tp e Tq è ben connessa lungo γ se ogni coppia
di riferimenti ωi(F
p) e ω−i(Fq) è ben connessa lungo γi.
Quello che vogliamo mostrare ora è che ad ogni paio di treppiedi ben connessi possiamo associare un paio di pantaloni sghembi nel senso della definizione 64. Consideriamo un paio di pantaloni Π0 dotato dell’omeomorfismo ω
0 : Π0 → Π0
descritto come in precedenza, ossia che agisca come una permutazione senza punti fissi sui bordi di Π0. Prendiamo a, b ∈ Π0 punti fissi di ω
0, α0 ⊂ Π0 un arco
semplice tra a e b, e poniamo ωi
0(α0) = αi. L’unione di due archi distinti αi e αj
è una curva chiusa in Π0 omotopa a uno dei bordi; possiamo pensare all’unione di
questi tre segmenti come lo scheletro di Π0. Inoltre, esiste una proiezione ovvia da
Π0 al suo scheletro α
0∪ α1∪ α2, e questa proiezione è un’equivalenza omotopica.
Siano ora Tp = (p, ωi(u), n) e Tq = (q, ωi(v), m), i ∈ {0, 1, 2} due treppiedi in
F(M3) e γ = (γ
0, γ1, γ2) una tripla di segmenti geodetici in M3 ciascuno passante
per p e q. Si può costruire una mappa φ dallo scheletro di Π0 a M3 ponendo
φ(a) = p, φ(b) = q e facendo in modo che φ : αi → γi sia un omeomorfismo.
Componendo questa mappa alla proiezione da Π0 al suo scheletro, otteniamo una
mappa ben definita φ : Π0 → M3, e con ρ(T
p, Tq, γ) : π1(Π0) → G denoteremo la
rappresentazione indotta del gruppo fondamentale di Π0.
Quello che ora vorremmo cercare di dimostrare, è che se Tp e Tq sono ben con-
nessi lungo γ, la rappresentazione ρ(Tp, Tq, γ) è ammissibile e la classe di coniugio
[ρ(Tp, Tq, γ)] è un paio di pantaloni sghembi per la Definizione 64.
Lemma 106. Siano Tp e Tqdue treppiedi ben connessi lungo una tripla di segmenti
γ, e sia ρ = ρ(Tp, Tq, γ). Allora hl(ω0i(C)) − r + ln4 3 ≤ D
per una costante positiva D, e in particolare la classe di coniugio delle trasforma- zioni ρ(ωi
0(C)) è iperbolica.
Dimostrazione. Dal momento che Tp e Tq sono ben connessi, esistono Pij ∈ N(P )
tali che ρ(Pj
i) = ρ(Tp, Tq, γ); la tesi segue quindi dal Lemma 103.
Ricordiamo che Π,R è l’insieme dei pantaloni sghembi le cui mezze lunghezze
differiscono al più da R
2, e ricordiamo inoltre che abbiamo fissato R = 2(r −ln 4 3).
Scrivendo π(Tp, Tq, γ) = [(ρ(Tp, Tq, γ)], per il lemma appena enunciato π manderà