Teorema 70. Esistono due costanti q > 0 e K > 0 tali che accada quanto segue.
Per ogni > 0 e ogni R > 0 abbastanza grande esiste un insieme finito di etichette L, un etichettamento valido lab : L → Π e un’involuzione ammissibile σ : L → L tali che per ogni a ∈ L abbiamo
hl(a) − R 2 < e
dis(A1+iπ(foot(lab(a))), foot(lab(σ(a)))) ≤ KRe−qR
dove dis è la distanza euclidea su N1(√γ).
In particolare la costante q dipende dalla varietà M3.
Una volta dimostrato questo teorema possiamo dimostrare così quello principa- le, il Teorema 1: abbiamo visto che ogni etichettamento valido con un’involuzione ammissibile corrisponde a una rappresentazione ammissibile ρlab,σ : π1(S0) → G,
dove G è il gruppo Kleininano corrispondente a M3 e S0 una superficie topologi-
ca chiusa (se non è connessa, ne considereremo una componente connessa). Per l’Osservazione 69 abbiamo che le coordinate complesse ridotte di Fenchel-Nielsen (hl(C), s(C)) soddisfano le ipotesi del Teorema 25, tenendo conto del fatto che KRe−qR = o(R1), e dal Teorema 25 seguirà quindi il Teorema 1. Ciò che questo teorema quindi ci permette di fare è costruire la superficie e la rappresentazione ammissibile su M3 che stavamo cercando.
2.2
Trasporto di misure
Nel resto del capitolo cercheremo quindi di dimostare il Teorema 70, e per farlo inizieremo col parlare di trasporto di misure. Dato uno spazio metrico (X, d), con M(X) indicheremo lo spazio delle misure Boreliane positive e finite su X con supporto compatto. Per un sottoinsieme A ⊂ X e δ > 0 definiamo il δ-intorno di
A come
Nδ(A) = {x ∈ X|∃a ∈ A, d(x, a) ≤ δ}.
Definizione 71. Consideriamo due misure µ, ν ∈ M(X) con µ(X) = ν(X), e
prendiamo δ > 0. Se per ogni insieme Boreliano A ⊂ X si ha µ(A) ≤ ν(Nδ(A)),
diciamo che µ e ν sono misure δ−equivalenti.
Di fatto questa definizione è simmetrica in µ e ν. Se infatti quelle due mi- sure sono δ−equivalenti, per ogni insieme Boreliano A ⊂ X si ha, seguendo la definizione appena data
ν(A) ≤ ν(X) − ν(Nδ(X \ Nδ(A))) ≤ µ(X) − µ(X \ Nδ(A)) = µ(Nδ(A)).
Proposizione 72. Se µ e ν sono δ−equivalenti, per ogni K > 0 le misure Kµ
e Kν sono δ−equivalenti. Se inoltre ν e un’altra misura η sono δ1−equivalenti,
allora µ e η sono (δ + δ1)− equivalenti.
Proposizione 73. Se (T, Λ) è uno spazio di misura finito e f1, f2 : T → X sono
due mappe con d(f1(t), f2(t)) ≤ δ per quasi ogni t ∈ T , allora le misure (f1)∗Λ e
(f2)∗Λ sono δ−equivalenti.
Nel caso si parli di misure discrete vale anche il seguente teorema, che sarebbe l’inversa della proposizione precedente nel caso in questione.
Teorema 74. Se A e B sono insiemi finiti con la stessa cardinalità e con le
corrispondenti misure di conto (ossia, ogni elemento ha misura uno) ΛA e ΛB, ed
esistono due mappe f : A → X, g : B → X tali che le misure f∗ΛA e g∗ΛB sono
δ−equivalenti per un qualche δ > 0, allora esiste una funzione biiettiva h : A → B tale che d(g(h(a)), f(a)) ≤ δ per ogni a ∈ A.
Dimostrazione. Il teorema del matrimonio di Hall afferma quanto segue: suppo- niamo di avere due insiemi finiti A e B e una relazione Rel ⊂ A × B, e per ogni
Q ⊂ A poniamo
Rel(Q) = {b ∈ B|∃a ∈ Q, (a, b) ∈ Rel}.
Se |Rel(Q)| ≥ |Q| per ogni Q ⊂ A, allora esiste una funzione iniettiva h : A → B tale che (a, h(a)) ∈ Rel per ogni a ∈ A. Se inoltre |A| = |B|, possiamo fare in modo che h sia biiettiva.
Nel nostro caso, definiamo Rel ⊂ A × B come
(a, b) ∈ Rel se d(f(a), g(b)) ≤ δ Allora, preso Q ⊂ A, abbiamo
Rel(Q) = {b ∈ B|∃a ∈ Q, d(f(a), g(b)) ≤ δ}
per cui |Rel(Q)| = (g∗ΛB)(Nδ(f(Q))) ≥ (f∗ΛA)(f(Q)) = |Q|, dato che f∗ΛA e
g∗ΛB sono δ−equivalenti per ipotesi. Dunque l’ipotesi del teorema del matrimonio
di Hall è soddisfatta, e ciò dimostra quindi l’esistenza della bigezione h : A → B tale che d(g(h(a)), f(a)) ≤ δ.
Stabiliamo un po’ di notazione: siano a, b ∈ C tali che T (a, b) = C/(aZ + ibZ) sia un toro, z = x + iy un punto in C e φ : T (a, b) → R una funzione positiva continua. Con φ(x, y)dxdy denoteremo la 2−forma corrispondente su T (a, b) e con λφ la misura su T (a, b) data da
λφ(A) =
Z
A
2.2. TRASPORTO DI MISURE 49 per ogni A misurabile, e abbrevieremo questa scrittura come dλφ = φdxdy. Con
λ indicheremo infine la misura di Lebesgue standard su T (a, b), ossia quella corri- spondente a φ ≡ 1. Quello che ora vogliamo far vedere è che ogni misura continua abbastanza vicina a quella di Lebesgue si può ottenere trasportando quest’ultima con un diffeomorfismo vicino all’identità.
Lemma 75. Sia data g : R2 → R funzione continua su R2 = C, che sia ben
definita sul quoziente T (1, 1) e tale che • Per un qualche δ ∈
0,1 3
, abbiamo g(x, y) ∈ [1−δ, 1+δ] per ogni (x, y) ∈ R2
• R1 0
R1
0 g(x, y)dxdy = 1.
Allora possiamo trovare un diffeomorfismo h : C → C di classe C1 che possa
passare al quoziente a un diffeomorfismo h : T (1, 1) → T (1, 1), e tale che
• g(x, y) = Jac (h)(x, y), ossia g(x, y)dxdy = h∗(dxdy), dove h∗ è il pullback
della 2−forma dxdy tramite h e Jac (h) è lo Jacobiano di h • Per ogni z ∈ C valga
|h(z) − z| ≤ 4δ
Dimostrazione. Nella notazione che utilizzeremo R2 e C verranno trattati come lo
stesso oggetto nel modo ovvio, ossia (x, y) ∈ R2 corrisponderà a x + iy ∈ C.
Definiamo la mappa h : R2 → R2 come h(x, y) = (h
1(x, y), h2(x, y)) , dove
h1(x, y) = Z x 0 Z 1 0 g(s, t)dt ds h2(x, y) = Ry 0 g(x, t)dt R1 0 g(x, t)dt
Dato che g(x + 1, y) = g(x, y + 1) = g(x, y) per ogni (x, y) ∈ R2 abbiamo che
h(x + 1, y) − h(x, y) = (1, 0) e h(x, y + 1) − h(x, y) = (0, 1), per cui h induce una mappa da T (1, 1) a se stesso e può passare quindi al quoziente. Per costruzione h è una funzione di classe C1.
Inoltre, abbiamo anche
∂h1 ∂x = Z 1 0 g(x, t)dt ∂h1 ∂y = 0 ∂h2 ∂y = g(x, y) R1 0 g(x, t)dt (2.2.1)
Jac(h)(x, y) = g(x, y)
Dunque la mappa h : T (1, 1) → T (1, 1) è un diffeomorfismo locale, e quindi un rivestimento di grado n, dove
n =
Z
T (1,1)Jac(x, y)dxdy
Dato che Jac (h)(x, y) = g(x, y) e R
T (1,1)g(x, y)dxdy = 1, abbiamo n = 1, per cui
h è un diffeomorfismo.
Per quanto riguarda l’altro punto, per x, y ∈ [0, 1] abbiamo |h1(x, y) − x| ≤ δx ≤ δ h2(x, y) − y ≤ y(1 + δ) 1 − δ − y ≤3δy ≤ 3δ quest’ultima dovuta a δ ≤ 1 3. Inoltre y − h2(x, y) ≤ y − y(1 − δ) 1 + δ ≤2δy ≤ 2δ
Per cui deduciamo |h2(x, y) − y| ≤ 3δ. Tenendo conto delle stime trovate per
|h1(x, y) − x| e |h2(x, y) − y| possiamo trovare
|h(z) − z| ≤ |h1(x, y) − x| + |h2(x, y) − y| ≤ 4δ
Che è quello che volevamo dimostrare.
Riprendiamo per un attimo un paio di definizioni di teoria della misura.
Definizione 76. Dette µ e ν due misure su uno spazio misurabile X, diciamo che
ν è assolutamente continua rispetto a µ se, per ogni insieme A ⊆ X misurabile, si ha µ(A) = 0 ⇒ ν(A) = 0.
Il teorema di Radon-Nikodym dice che se ν è assolutamente continua rispetto a µ, allora esiste una funzione misurabile non negativa f : X → R tale che, per ogni insieme A misurabile, valga
ν(A) =
Z
A
f dµ.
La funzione f in questione si dice derivata di Radon-Nikodym di ν rispetto a µ, e si indica con dν
dµ.
2.2. TRASPORTO DI MISURE 51
Teorema 77. Prendiamo µ ∈ M(T (a, b)) misura assolutamente continua rispetto
alla misura di Lebesgue, la cui derivata di Radon-Nikodym dµ
dλ(z) è una funzione
continua su T (a, b) e per la quale per un qualche K > 0 e δ ∈ (0,1
3) si ha • µ(T (a, b)) = Kλ(T (a, b)) • K(1 − δ) ≤ dµ dλ ≤ K(1 + δ) su tutto T (a, b)
Allora µ è 4δ(|a| + |b|)− equivalente a Kλ
Dimostrazione. Con un piccolo abuso di notazione, indicheremo con µ anche il sol- levamento di tale misura sul rivestimento universale C. Abbiamo dµ = g1(x, y)dxdy,
con g1(x, y) = dµdλ(x, y) derivata di Radon-Nikodym. Questa è continua su C, e ben
definita su T (a, b).
Sia L : T (1, 1) → T (a, b) la mappa affine standard, e g(x, y) = 1
K(g1◦ L)(x, y)
Allora g(x, y) rispetta per costruzione le ipotesi del lemma 75. Se h è il diffeomor- fismo corrispondente di tale lemma e h1 = L ◦ h ◦ L−1, abbiamo (h1)∗µ= Kλ su
T(a, b). Dato che L è (|a| + |b|)−Lipschitziana possiamo dedurre, sempre grazie al Lemma 75
|h1(z) − z| ≤ 4δ(|a| + |b|)
per ogni z ∈ C, e grazie alla Proposizione 73 abbiamo la tesi.
Definizione 78. Chiamiamo MR0 (Π) lo spazio delle misure Boreliane positive con
supporto finito sull’insieme dei pantaloni sghembi orientati Π che siano preservate dall’involuzione R : Π → Π. Chiameremo M0(N1(
√
Γ)) lo spazio delle misure Boreliane positive con supporto compatto sulla varietà N1(√Γ) (una misura di
M0(N1(
√
Γ)) ha supporto compatto se e solo se il suo supporto sta in un numero finito di tori N1(√γ) ⊂ N1(√Γ)). Definiamo l’operatore ˆ∂ : MR 0 (Π) → M0(N1( √ Γ))
come segue. Sappiamo che Π è numerabile dato che G lo è, per cui per determinare
una misura µ ∈ MR
0 (Π) è sufficiente vedere il suo valore µ(Π) su ogni Π in Π.
Fissiamo un Π ∈ Π e denotiamo con γ∗
i, i ∈ {0, 1, 2} le geodetiche orientate tali che
(Π, γ∗
i) ∈ Π∗; chiamiamo inoltre αΠi ∈ M0(N1(
√
Γ)) la misura atomica supportata sul punto foot(Π, γ∗
i) ∈ N1(
√
γi), con l’atomo di massa 1. Definiamo così
e
ˆ∂µ = X
Π∈Π
µ(Π)αΠ
che chiameremo ˆ∂−operatore su misure. Si verifica facilmente che se µ ha supporto finito lo stesso vale per ˆ∂µ, e che ˆ∂µ(N1(√Γ)) = 3µ(Π).
Prendiamo α ∈ M0(N1(
√
Γ)), γ∗ ∈ Γ∗, e chiamiamo (A
ζ)∗α il push-forward
della misura α tramite l’azione Aζ definita prima, relativa a γ∗; ovviamente,
(Aζ)∗α ∈ M0(N1(
√
Γ)). Diremo che α è δ−simmetrica se α e (Aζ)∗α sono
δ−equivalenti per ogni ζ ∈ C.
Il prossimo teorema sarà molto importante dal momento che ci permetterà di provare il Teorema 70, ma la dimostrazione verrà posticipata al prossimo capitolo, in quanto particolarmente lunga. A voler essere precisi, di fatto il prossimo capitolo sarà interamente dedicato alla sua dimostrazione.
Teorema 79.Esistono q, D1, D2 >0 tali che per ogni ∈ (0, 1] e R > 0 abbastanza
grande, esiste una misura µ ∈ MR
0 (Π) con le seguenti proprietà.
Se µ(Π) > 0 per un qualche Π ∈ Π, abbiamo che le mezze lunghezze hl(ωi(C))
corrispondenti ai pantaloni sghembi Π soddisfano
hl(ω i(C)) − R 2 ≤ Inoltre, esiste β ∈ M0(N1( √
Γ)) assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue λ, tale che β e ˆ∂µ siano D1e−
R
4−equivalenti, e per cui per ogni toro
N1(√γ) esista una costante Kγ non negativa per cui
Kγ(1 − D2e−qR) ≤ dβ dλ ≤ Kγ(1 + D2e−qR) quasi ovunque su N1(√γ).
Vediamo ora come questo teorema ci permette di dimostrare il Teorema 70.
Proposizione 80. Esistono q, D > 0 tali che per ogni ∈ (0, 1] e R > 0 abbastanza
grande, esiste una misura µ ∈ MR
0 (Π) con le seguenti proprietà:
• µ(Π) ∈ Q per ogni Π ∈ Π
• Se µ(Π) > 0 per qualche Π, allora le mezze lunghezze hl(ωi(C)) corrispon-
denti a Π soddisfano |hl(ωi(C)) − R
2| ≤
2.2. TRASPORTO DI MISURE 53 Dimostrazione. Diamo per vero il Teorema 79. Il secondo enunciato segue dallo stesso teorema, restano da provare gli altri due; iniziamo con il terzo.
Sia data γ ∈ Γ geodetica chiusa tale che il supporto della misura β, descritta nell’enunciato del Teorema 79, abbia un’intersezione non vuota con il toro N1(√γ).
La misura di Lebesgue λ su N1(√γ) è invariante per l’azione A
ζ; applicando il
Teorema 77 alla misura β e tenendo conto di questo fatto, otteniamo che per ogni ζ ∈ C la misura (Aζ)∗β sia (2π + l(γ∗) 2 )D2e
−qR−equivalente alla misura K0λ, per
un qualche K0 positivo, con D
2 come nel Teorema 79. Dato che
l(γ∗) 2 ≤ R 2 + 1, ciò
significa che le misure (Aζ)∗β e K0λsono C1Re−qR−equivalenti per un qualche C1
positivo.
Per contro, le misure (Aζ)∗β e (Aζ)∗ˆ∂µ sono D1e−
R
4−equivalenti. Per la Propo-
sizione 72 possiamo dedurre che (Aζ)∗ˆ∂µ e K0λsono D3(Re−qR+e−
R
4)−equivalenti
per ogni ζ ∈ C e una costante positiva D3. Sempre per il fatto che λ è inva-
riante per Aζ e per la Proposizione 72 abbiamo, sotto l’ipotesi q ≤ 14, che ˆ∂µ è
DRe−qR−simmetrica per una costante D > 0 - il che, ricordiamo, vuol dire che ˆ∂µ e (Aζ)∗ˆ∂µ sono DRe−qR−equivalenti. In particolare, le misure ˆ∂µ e (A1+iπ)∗ˆ∂µ
sono DRe−qR−equivalenti.
Per dimostrare invece il primo enunciato della proposizione, sappiamo che ˆ∂µ e (A1+iπ)∗ˆ∂µ sono entrambe atomiche con un numero finito di atomi, e sono
DRe−qR−equivalenti; la proposizione successiva, trattata in [5], ci darà la tesi.
Proposizione 81 (Razionalizzazione Standard). Supponiamo di avere, su uno
spazio misurabile X, due misure K−equivalenti µ1 e µ2 con un numero finito di
atomi. Allora esistono su X delle misure atomiche µrat
i e µ0i, i ∈ {1, 2}, tali che
µrat
i abbia pesi razionali, µ
0
i abbia atomi di peso minore di un > 0 prefissato, e
µrat i + µ
0
i = µi. Inoltre, le misure µrat1 e µrat2 sono tra loro K−equivalenti.
Dimostrazione. La condizione di K−equivalenza corrisponde a un sistema di equa- zioni della forma
X i σ1(i)xi ≤ X j σ2(j)yj (2.2.2)
dove aj sono gli atomi non banali delle due misure, xj e yj sono rispettivamente
µ1(aj) e µ2(aj), e i σi possono assumere valori in {0, 1}.
Trattando xi e yj come variabili reali, sappiamo per ipotesi che esiste almeno
una soluzione non banale. Di fatto, l’insieme delle soluzioni di ogni equazione è un semispazio in Rn, con n somma del numero degli atomi non banali di ciascu-
na misura, e l’intersezione di questi semispazi è un insieme che chiameremo Sol. Chiamando con SolN il sottoinsieme di Sol con |xi|, |yj| ≤ N, N ∈ N, abbiamo
che SolN è un poliedro convesso (che potrebbe anche essere degenere) in Rn, per
estremi, i quali sono punti razionali essendo soluzioni di un’equazione a coefficienti interi. Dal momento che si tratta di poliedri convessi sappiamo che i punti razionali in Rn sono densi in ogni Sol
N, e quindi anche in Sol = S N ∈N
SolN.
Se la soluzione al sistema è unica, quindi, è razionale, e quindi lo sono anche i pesi delle misure. Se invece non è così, possiamo scegliere xrat
i e yratj vicini quanto
vogliamo a xi e yj (che ricordiamo essere µ1(ai) e µ2(aj)). Scegliamo 1 > 0, e
successivamente xrat
i , yratj tali che A1 > |xi− xirat|, A1 > |yj − yjrat| per ogni i, j,
dove A è il minimo tra i pesi di µ1 e µ2. Scelto ora t ∈ Q ∩
1 − 21 A,1 − 1 A , abbiamo che txrat
i e tyratj soddisfano le disuguaglianze 2.2.2 essendo ancora in Sol,
e valgono anche le seguenti
|xi− xrati | < 1 2B A + A1+ 2 2 1 |yj − yjrat| < 1 2B A + A1+ 2 2 1
dove B è il massimo tra i pesi di µ1, µ2. Scegliamo, a monte, 1 in modo tale che
1 2B A + A1 + 2 2 1 < . Definiamo ora µrat
1 come la misura con gli stessi atomi non banali di µ1 e
µrat1 (ai) = txrati , e allo stesso modo µrat2 utilizzando gli yirat. Per differenza si
definisce inoltre µ0
1 = µ1− µrat1 , e ugualmente µ 0
2. Le misure µ 0
i così definite sono
non negative per la condizione su t, e il peso di ogni loro atomo è minore di . Infine, dato che µrat
i soddisfano il sistema di disequazioni 2.2.2, sono anch’esse
K−equivalenti tra loro.
Ora vogliamo fare alcune osservazioni su una generica misura ν ∈ MR 0(Π),
dopo le quali dimostreremo il Teorema 70. Sappiamo che ν è supportata da un numero finito di pantaloni sghembi Π ∈ Π; inoltre ν(Π) = ν(R(Π)) per ogni
Π ∈ Π, dal momento che per definizione di MR
0 (Π) abbiamo che R preserva
ν. Se ora consideriamo una partizione di Π formata da Π+ e Π−, dove i due
insiemi sono disgiunti e tali che R(Π+) = Π−, possiamo restringere ν su questi
due insiemi e chiamarla rispettivamente ν+ e ν−. Abbiamo allora che ˆ∂ν+= ˆ∂ν−
e ˆ∂ν = 2ˆ∂ν−, grazie al fatto che foot(Π, γ∗) = foot(R(Π), −γ∗)). Da ciò segue che
se ˆ∂ν è δ−simmetrica, lo sono anche ˆ∂ν+ e ˆ∂ν−.
Siamo pronti ora per la dimostrazione del Teorema 70.
Dimostrazione. Detta µ la misura della Proposizione 80, sappiamo che ha valori razionali, vale a dire µ(Π) ∈ Q per ogni Π ∈ Π; possiamo quindi moltiplicarla per un intero in modo da ottenere µ0, tale che i suoi valori siano interi pari. Per
2.2. TRASPORTO DI MISURE 55 semplicità con un piccolo abuso di notazione indicheremo µ = µ0; vale comunque
il fatto che ˆ∂µ0 e (A
1+iπ)∗ˆ∂µ0 sono DRe−qR−equivalenti.
Essendo µ quindi invariante per riflessione e a valori interi pari, abbiamo che µ ∈ NΠ è una somma formale R-simmetrica. Possiamo quindi chiamare lab il corrispondente etichettamento valido costruito come nell’esempio immediatamente successivo alla Definizione 66, e vorremmo costruire un’involuzione ammissibile σ.
Scelta γ∗ ∈Γ∗, definiremo X+ ⊂ L come
X+ = {a ∈ L|lab(a) = (Π, γ∗), Π ∈ Π+} e X− in maniera analoga come
X−= {a ∈ L|lab(a) = (Π, γ∗), Π ∈ Π−}.
Inoltre f+: X+ → Π∗ sarà la restrizione di lab su X+, e f− su X−.
Ricordiamo che, data una misura µ ∈ MR
0 (Π) e una partizione Π+, Π − di
Π, possiamo restringere µ su questi due insiemi e chiamarla rispettivamente µ+ e
µ−. Di conseguenza, ˆ∂µ+ e ˆ∂µ− appartengono a M 0(N1(
√
Γ)). Chiamando α+ la
restrizione di ˆ∂µ+ su N1(√γ) e α− l’analoga restrizione di ˆ∂µ− abbiamo α+ = α−
per il discorso fatto prima dell’inizio della dimostrazione, per cui α+ è ottenuta
applicando ˆ∂ sul push-forward della misura di conto su X+ tramite f+, e così α−
tramite f−, per definizione di L.
Definiamo ora g : X−→ N1(√γ) come g = A
1+iπ◦foot◦f−; allora (A1+iπ)∗α−è
il push-forward della misura di conto su X− tramite g. Dato che per quanto detto
a inizio dimostrazione α+ e (A
1+iπ)α− sono 2DRe−qR−equivalenti, per il Teorema
74 esiste una bigezione h : X+→ X− tale che
dis(g(h(b)), f+(b)) ≤ 2DRe−qR
per ogni b ∈ X+.
Possiamo quindi definire σ : X+∪ X− → X+∪ X− come
• σ(x) = h(x) per x ∈ X+
• σ(x) = h−1(x) per x ∈ X−
la mappa σ così definita è un’involuzione. Al variare di γ∗ possiamo costruire
σ : L → L; dalle definizioni si ha che σ è ammissibile e la coppia (lab, σ) soddisfa le richieste del Teorema 70.
Capitolo 3
Flussi di riferimenti e costruzione
delle misure
In questo capitolo il nostro obiettivo è dimostrare il Teorema 79, dal quale come abbiamo visto sarà possibile provare il Teorema 1, e per farlo mostreremo come vengono costruite le misure di cui parla l’enunciato del teorema. Nelle prossime pagine faremo vedere, in breve e a grandi linee, com’è strutturata la dimostrazione di questo teorema; dimostrazione la cui costruzione verrà poi esplicitata nel resto del capitolo.
3.1
Presentazione della dimostrazione
In questa sezione mostreremo una traccia della dimostrazione.
Cominciamo scegliendo due numeri reali e r, e definiamo R = 2(r − ln4 3), e
Π,R l’insieme dei pantaloni sghembi Π in M3 tali che, per ogni loro bordo δ ∈ ∂Π,
si abbia hl(δ) − R 2 < .
Il nostro obiettivo sarà costruire una misura µ su ΠD,R per un qualche D posi-
tivo, e una misura βδ su ciascun N1(
√
δ) tali che, se è abbastanza piccolo e r abbastanza grande, si abbia
Kδ dβδ dEuclδ −1 ≤ e−qR
con Kδ costante positiva relativa alla curva δ, e le misure ˆ∂µ|N1(√δ) e βδ siano
Ce−r4−equivalenti, dove Euclδ è la misura Euclidea su N1(
√ δ).
Per cominciare, chiamiamo F(H3) l’insieme dei 2−riferimenti su H3: si tratta
di terne Fp = (p, u, n) in cui p è un punto di H3 e u, n ∈ TpH3 sono vettori
ortogonali tra loro. Indicheremo con gt il flusso di riferimenti che agisce su F(H3)
e con Λ la misura di Liouville invariante su F(H3). Vogliamo inoltre definire una
mappa non negativa, che chiameremo affinità
a= a,r : F(H3) × F(H3) → R
con, per r abbastanza grande, le seguenti proprietà: • a(Fp, Fq) = a(Fq, Fp) per ogni Fp, Fq ∈ F(H3)
• a(A(Fp), A(Fq)) = a(Fp, Fq) per ogni A ∈ PSL(2, C)
• Se a(Fp, Fq) > 0 e Fp = (p, u, n), Fq = (q, v, m), allora valgono
|d(p, q) − r| < Θ(n@q, m) < Θ(u, v(p, q)) < Ce−r 4 Θ(v, v(q, p)) < Ce−r 4
dove Θ determina l’angolo non orientato tra i vettori indicati, v(p, q) indica il vettore unitario in p tangente al segmento geodetico che va da p a q, e n@q indica il trasporto parallelo di n tramite tale segmento geodetico.
• Per ogni sottogruppo cocompatto G di PSL(2, C) abbiamo
X A∈G a(Fp, A(Fq)) − 1 Λ(F(H3/G) < e−qGr.
L’ultima di queste proprietà, in particolare, è una proprietà derivante dal mixing esponenziale del flusso di riferimenti su F(H3)/G.
Prendiamo ora due 2−riferimenti Fp = (p, u, n) e Fq = (q, v, m) in F(M3) =
F(H3)/G, dove M3 è una 3−varietà iperbolica chiusa e G il corrispondente grup-
po Kleiniano, e prendiamo γ segmento geodetico in M3 tra p e q. Chiameremo
inoltre ˜Fp un sollevamento arbitrario di Fp in F(H3), e ˜Fq il sollevamento di Fq
lungo γ; infine, definiremo aγ(Fp, Fq) come a( ˜Fp, ˜Fq), e per le prime due proprietà
elencate sopra questa è una buona definizione, dato che simmetria e invarianza per gli elementi di PSL(2, C) ci permettono di dire che i valori che assume a non dipendono dal sollevamento scelto. Inoltre per ogni Fp, Fq ∈ F(M3) vale
X γ aγ(Fp, Fq) − 1 Λ(F(M3)) < e−qr (3.1.1)
3.1. PRESENTAZIONE DELLA DIMOSTRAZIONE 59 La prossima cosa che definiremo è ω : F(H3) → F(H3) come ω(p, u, n) =
(p, ω(u), n), dove ω(u) è u ruotato di un angolo 2π
3 intorno all’asse n. Osserviamo
che ω3 è l’identità , e denotiamo ω = ω−1. A ogni riferimento F possiamo associare
il treppiede T = (F, ω(F ), ω2(F )), così come il treppiede T = (F, ω(F ), ω2(F )).
Analogamente si possono fare le stesse definizioni sui riferimenti in F(M3).
Chiamiamo θ−grafo l’1−complesso ottenuto da tre 1−celle, ciascuna delle quali connette due 0−celle p0 e q0; gli diamo questo nome per il fatto che effettivamen-
te l’1−complesso in questione può essere visualizzato con una figura simile alla lettera θ. Un paio connesso di treppiedi è costituito da una coppia di riferimenti Fp = (p, u, n) e Fq = (q, v, m) da F(M3), e tre segmenti geodetici γ0, γ1, γ2 che
connettono p e q in M3: questo è di fatto un θ−grafo. Indicheremo γ = (γ
0, γ1, γ2) e bγ(Tp, Tq) = 2 Y i=0 aγi(ω i(F p), ωi(Fq))
Diremo che (Tp, Tq, γ) è un paio di treppiedi ben connesso lungo i segmenti γ se
bγ(Tp, Tq) > 0.
Per ogni paio di treppiedi connesso (Tp, Tq, γ) esiste una mappa continua dal
θ−grafo della definizione di cui sopra a M3 che manda, a meno di omotopia, p0 in p, q0 in q, e le 1− celle nei γ
i; inoltre, se (Tp, Tq, γ) è un paio di treppiedi
ben connesso, questa mappa sarà iniettiva sul gruppo fondamentale del θ−grafo. Dal paio di treppiedi ben connesso in questione è possibile costruire un paio di pantaloni sghembi Π che avrà le coordinate hl distanti al più D da R
2, dove D
è una costante universale e R = 2
r −ln43 (e quindi le lunghezze dei bordi di Π saranno vicine a R). Denotiamo l’insieme dei pantaloni sghembi con queste proprietà come ΠD,R.
Utilizziamo la scrittura Π = π(Tp, Tq, γ), dove π è la mappa che manda paia di
treppiedi ben connessi in pantaloni sghembi di ΠD,R alla quale abbiamo accennato
sopra. Definiamo sullo spazio dei treppiedi ben connessi la misura ˜µ come d˜µ(Tp, Tq, γ) = bγ(Tp, Tq)dλT(Tp, Tq, γ)
dove la λT in questione è il prodotto della misura di Liouville sui primi due termini,
e la misura di conto sul terzo. Ora, λT è infinita ma aγ(Tp, Tq) ha supporto
compatto, per cui ˜µ è finita. In questo modo definiamo la misura µ su ΠD,R come
µ= π∗˜µ; questa è la misura che cerchiamo di costruire nel Teorema 79.
Ci resta da costruire βδ e mostrare la Ce−
r
4−equivalenza tra questa e ˆ∂µ|
N1(√δ).
A ogni riferimento F possiamo associare il bipiede B = (F, ω(F )), e allo stesso modo l’antibipiede B = (F, ω(F )).
Diciamo che (Bp, Bq, γ0, γ1) è un paio di bipiedi ben connesso lungo i segmenti
γ0 e γ1 se
In questo caso la curva chiusa γ0 ∪ γ1 è omotopa a una geodetica chiusa in M3.
Data una geodetica chiusa δ ∈ Γ chiameremo Sδ l’insieme dei bipiedi ben connessi
(Bp, Bq, γ0, γ1) tali che γ0∪ γ1 sia omotopo a δ. L’insieme di bipiedi connessi Sδ è
dotato della misura λB data dal prodotto delle misure di Liouville dei primi due
termini e la misura di conto sugli altri due.
Vogliamo ora definire l’azione del toro C/(2πiZ + l(δ)Z) su Sδ per la quale sia
invariante la misura λB. Sia Tδ il rivestimento dato dal toro solido aperto associato
a δ: in altre parole, se A ∈ PSL(2, C) ha δ come asse, Tδ = H3/A. In questo
riferimento, δ si solleva a una geodetica chiusa ˜δ in Tδ. Preso un paio di bipiedi
ben connessi in Sδ, abbiamo che esiste un unico modo di sollevare ciascun bipiede a
un bipiede in F(Tδ) in modo tale che la coppia di bipiedi sollevata sia ben connessa
in Tδ. Chiameremo ˜Sδ l’insieme di questi sollevamenti, e questo è ovviamente in
corrispondenza biunivoca con Sδ. Esiste un’azione naturale del toro C/(2πiZ +
l(δ)Z) su entrambi N1(δ) e F(Tδ), e quindi su ˜Sδ; di conseguenza possiamo indurre
un’azione su Sδ tramite la bigezione, e quest’azione lascerà invariata la misura λB.
Per una scelta di hl(δ) esiste un’azione naturale del toro C/(2πiZ + l(δ)Z) su N1(√δ) tramite C/(2πiZ + hl(δ)Z). Definiremo poi una mappa fδ: Sδ → N1(
√ δ) con due importanti proprietà: la prima è che fδ è equivariante rispetto all’azione
di C/(2πiZ + l(δ)Z). La seconda è descritta come segue.
Detto Cδ l’insieme dei treppiedi ben connessi (Tp, Tq, γ) per i quali γ0 ∪ γ1 sia
omotopo a δ, e χ : Cδ → Sδ la mappa dimenticante (ossia, χ(Tp, Tq, γ0, γ1, γ2) =
(Bp, Bq, γ0, γ1)), per ogni coppia di treppiedi ben connessi T = (Tp, Tq, γ) ∈ Cδ
vale
|fδ(χ(T )) − footδ(π(T))| < Ce−
r 4
dove π(T ) sono i pantaloni sghembi definiti come sopra. Detto altrimenti, la mappa
fδ manda i pantaloni π(T ) nei loro piedi su δ, a meno di un termine Ce−
r
4; questo
fattore è determinato dalla terza proprietà della funzione a definita sopra. Questa appena descritta è la seconda proprietà di fδ.
Esistono altre due misure naturali su Sδ. La prima è data da χ∗(˜µ|Cδ), mentre
la seconda la chiameremo νδ, e sarà definita da
dνδ(Bp, Bq, γ0, γ1) = aγ0(Fp, Fq)aγ1(ω(Fp), ω(Fq))dλB(Fp, Fq, γ0, γ1)
dove λBè definita come sopra. Queste misure peraltro soddisfano la disuguaglianza
dχ∗(˜µ|Cδ) dνδ(Bp, Bq, γ0, γ1) − 1 Λ(F(M3)) < Ce−qr dato che l’affinità totale a tra ω2(F
p) e ω2(Fq) è esponenzialmente vicina a Λ(F (M1 3))
per la disuguaglianza 3.1.1.
Inoltre, dato che sia λB sia il prodotto aγ0(Fp, Fq)aγ1(ω(Fp), ω(Fq)) sono in-
3.2. LEMMA DELLA CATENA E PREPARATIVI 61