l(δ)Z)−equivariante. Da ciò deduciamo (fδ)∗(νδ) = KδEuclδ per una qualche
costante Kδ, e grazie a una formula che vedremo poi, otterremo
d(fδ)∗(˜µ|Cδ) dKδ0Euclδ −1 < Ce−qr dove K0 δ= Kδ/Λ(F(M3)).
La misura così costruita (fδ)∗(˜µ|Cδ) sarà la βδ che cerchiamo: è infatti Ce
−R
4−
equivalente a ˆ∂µ|N1(√δ) dato che questa misura è (footδ)∗π∗(˜µ|Cδ), e
|fδ(χ(T )) − footδ(π(T))| < Ce−
r 4
per ogni T ∈ Cδ.
3.2
Lemma della Catena e preparativi
Nella sezione precedente abbiamo elencato, a grandi linee, ciò che vogliamo provare in questo capitolo. Per cominciare la dimostrazione vera e propria, introduciamo e dimostriamo il Lemma della Catena.
Prima introduciamo brevemente la notazione.
• Sia T1(H3) il fibrato tangente unitario di H3; i suoi elementi sono coppie
(p, u) , dove p ∈ H3 e u ∈ T1
p(H3), con Tp1(H3) che indica l’insieme dei vettori
unitari di Tp(H3).
• Per u, v ∈ T1
p(H3) definiamo Θ(u, v) l’angolo non orientato tra u e v, che
assumerà valori in [0, π].
• Per a, b ∈ H3 chiameremo v(a, b) il vettore unitario in a che punta verso b.
In altre parole, v(a, b) ∈ T1
a(H3) è il vettore unitario tale che, se γ ⊂ H3 è la
geodetica passante per a e b, questa ha direzione v(a, b) quando passa per a. • Se v ∈ T1
a(H3), v@b ∈ Tb1(H3) indicherà il vettore ottenuto da v per trasporto
parallelo lungo il segmento geodetico che collega a e b.
• Con (a, b, c) inoltre indicheremo il triangolo iperbolico di vertici a, b, c ∈ H3,
e indicheremo la distanza di due punti a, b ∈ H3 con |ab|.
Proposizione 82. Dati a, b, c ∈ H3 e v ∈ T1
a(H3), valgono le disuguaglianze
Θ(v@b@c@a, v) ≤ Area(abc) ≤ |bc|
Dimostrazione. La prima delle due disuguaglianze segue da una variante del Teo- rema di Gauss-Bonnet; inoltre, se v sta nel piano del triangolo (a, b, c) quella è in realtà un’uguaglianza. Per i triangoli iperbolici di angoli α, β, γ otteniamo infatti la formula
Area= π − α − β − γ.
Mentre la discrepanza Θ(v@b@c@a, v) è strettamente minore nel caso v non sia complanare al triangolo in questione, uguale altrimenti.
Quello che vogliamo fare ora è provare la seconda, che afferma che la lunghezza di un lato sia maggiore dell’area del triangolo. Restringiamoci a H2
⊂ H3 piano
contenente il triangolo, e prendiamo la semiretta geodetica partente da b e conte- nente a, il cui ‘estremo’ sul bordo verrà chiamato a0
∈ ∂H2; dal momento che il
triangolo (a0, b, c) contiene il triangolo (a, b, c) la sua area è maggiore, per cui ci
basta provare Area(a0, b, c) ≤ |bc|.
Utilizzando il modello del semipiano a parte immaginaria positiva, possiamo porre quindi a = ∞ e che il segmento geodetico (bc) sia sulla circonferenza unitaria. Per la formula del Teorema di Gauss-Bonnet per i triangoli iperbolici citata sopra, abbiamo che l’area di questo triangolo è α, angolo tra le linee euclidee lb e lc, la
prima contenente 0 e b, la seconda contenente 0 e c: come si vede dalla figura, infatti, α e gli altri due angoli del triangolo iperbolico hanno π come somma (vedi figura 3.1). Dato che b e c stanno sulla circonferenza unitaria, quest’angolo è in particolare uguale alla lunghezza euclidea dell’arco tra b e c. La lunghezza iperbolica di questo segmento però è strettamente maggiore, dato che la metrica iperbolica è più densa di quella euclidea per Im < 1, per cui
Area(abc) ≤ α ≤ |bc| che prova la seconda disuguaglianza.
Proposizione 83. Dati a, b, c ∈ H3, vale la disuguaglianza
Θ(v(c, a), v(b, a)@c) ≤ Θ(v(a, b), v(a, c)) + Area(abc) ≤ Θ(v(a, b), v(a, c)) + |bc| Dimostrazione. Abbiamo
Θ(v(c, a), v(b, a)@c) = Θ(v(c, a)@a, v(b, a)@c@a) = Θ(−v(a, c), v(b, a)@c@a)
≤Θ(−v(a, c), −v(a, b)) + Θ(−v(a, b), v(b, a)@c@a) = Θ(v(a, c), v(a, b)) + Θ(−v(a, b)@b, v(b, a)@c@a@b) = Θ(v(a, c), v(a, b)) + Θ(v(b, a), v(b, a)@c@a@b) Utilizzando la disuguaglianza della proposizione precedente abbiamo la tesi.
3.2. LEMMA DELLA CATENA E PREPARATIVI 63
Figura 3.1: Nel quadrilatero euclideo in figura l’angolo opposto a α vale β + γ. Dal momento che gli altri due angoli di tale quadrilatero sono retti, abbiamo α+ β + γ = π.
Elenchiamo di seguito due proposizioni elementari, conseguenze del teorema del coseno per i triangoli iperbolici. Ricordiamo innanzitutto l’enunciato del teorema:
Teorema 84. Sia dato un triangolo iperbolico di lati |ab|, |bc| e |ca|, e i corrispon-
denti angoli opposti γ, α e β. Allora vale la formula
cosh |ab| = cosh |bc| cosh |ca| − sinh |bc| sinh |ca| cos γ
e le sue varianti ottenute ruotando ciclicamente lati e angoli nella formula. Da questo si possono dedurre le seguenti due proposizioni.
Proposizione 85. Detto (a, b, c) un triangolo iperbolico tale che |ab| = l1 e |bc| =
η, per l1 abbastanza grande e η abbastanza piccolo vale
Θ(v(a, b), v(a, c)) ≤ Dηe−l1
per una qualche costante D positiva.
Proposizione 86. Dato un triangolo iperbolico (a, b, c) e |ab| = l1, |bc| = l2,
|ca|= l, poniamo η = π − Θ(v(b, a), v(b, c)). Allora, per l1 e l2 abbastanza grandi
• |(l − (l1+ l2)) + ln 2 − ln(1 + cos η)| ≤ De−2·min{l1,l2}, per ogni η ∈ [0,π2]
• |l − (l1+ l2)| ≤ Dη, per η abbastanza piccolo
• Θ(v(a, c), v(a, b)) ≤ Dηe−l1 per η abbastanza piccolo
• Θ(v(c, a), b(c, b)) ≤ Dηe−l2 per η abbastanza piccolo
per una qualche costante D positiva.
Il prossimo teorema serve per dare un’approssimazione delle grandezze rela- tive a un oggetto che chiameremo catena: informalmente si tratta appunto una concatenazione di segmenti geodetici i cui estremi siano sufficientemente vicini tra loro.
Teorema 87 (Lemma della Catena). Supponiamo di avere a1, b1, . . . , ak, bk punti
di H3 e, per ogni i,
• |aibi| ≥ Q
• |biai+1| ≤
• Θ(v(bi, ai)@ai+1, −v(ai+1, bi+1)) ≤ .
Supponiamo inoltre che ni ∈ Ta1i(H
3) sia un vettore di a
i normale a v(ai, bi), e per
ogni i si abbia
Θ(ni@bi, ni+1@bi) ≤
Allora per abbastanza piccolo, Q abbastanza grande e una costante positiva D, valgono (1∗) ||a1bk| − k X i=1 |aibi|| ≤ kD
(2∗) Θ(v(a1, bk), v(a1, b1)) < kDe−Q
(3∗) Θ(v(bk, a1), v(bk, ak)) < kDe−Q
(4∗) Θ(v(a1, ak), v(a1, b1)) < 2kDe−Q
quest’ultima ovviamente per k > 1, e
(5∗) Θ(nk, n1@ak) ≤ 5k.
Definizione 88. Nel contesto del lemma appena enunciato, daremo alla successio-
ne dei segmenti geodetici che vanno da ciascun ai al relativo bi il nome di −catena,
alla concatenazione dei segmenti che congiungono nell’ordine a1, b1, . . . , an, bnquel-
lo di concatenazione della −catena, e chiameremo il segmento geodetico da a1 a
3.2. LEMMA DELLA CATENA E PREPARATIVI 65
Figura 3.2: Sopra, una −catena con in blu il rappresentante geodetico; sotto, la concatenazione di una −catena.
Vedendo così le cose, il Lemma della Catena descrive il rapporto che hanno la concatenazione di una −catena e il suo rappresentante geodetico, e stima inoltre la discrepanza tra il trasporto parallelo lungo la concatenazione e quello lungo la rappresentativa geodetica.
Dimostrazione. La dimostrazione verrà fatta per induzione. Supponiamo che il teorema valga per un qualche k ≥ 1, e dimostriamo le disuguaglianze per k + 1.
Inizieremo a dimostrare la (2∗) e le due successive. Per la disuguaglianza triangolare abbiamo
Θ(v(a1, bk), v(a1, bk+1) ≤ Θ(v(a1, bk), v(a1, ak+1)) + Θ(v(a1, ak+1), v(a1, bk+1)).
Utilizzando poi sul triangolo (a1, ak+1, bk) la Proposizione 85, abbiamo
Θ(v(a1, bk), v(a1, ak+1)) ≤ D1e−Q
dove D1 è la costante relativa alla proposizione in questione. Applicando invece la
Proposizione 86 sul triangolo (a1, ak+1, bk+1), otteniamo
Θ(v(a1, ak+1), v(a1, bk+1)) ≤ 2D2e−Q
e unendole, si ha
Θ(v(a1, bk), v(a1, bk+1)) ≤ De−Q
per una certa costante D dipendente da D1 e D2, grazie alla disuguaglianza
triangolare.
Allora, sempre per la disuguaglianza triangolare e l’ipotesi induttiva vale Θ(v(a1, bk+1), v(a1, b1))
≤Θ(v(a1, bk), v(a1, b1)) + Θ(v(a1, bk), v(a1, bk+1))
≤kDe−Q+ De−Q
che dimostra la (2∗), e per simmetria anche la (3∗), dato che basta fare lo stesso ragionamento cambiando i segmenti. Per ottenere la (4∗), basta usare queste due insieme alla Proposizione 85.
Ora vogliamo dimostrare la (1∗). Per la disuguaglianza triangolare vale Θ(v(a1, ak+1), v(a1, bk)) ≤ Θ(v(a1, ak+1), v(a1, b1)) + Θ(v(a1, b1), v(a1, bk))
e applicando i risultati che abbiamo già trovato in questa dimostrazione, in parti- colare (2∗) e (4∗), otteniamo
Θ(v(a1, ak+1), v(a1, bk)) ≤ 2(k + 1)De−Q+ kDe−Q<
per Q abbastanza grande. Per la Proposizione 83, applicata sul triangolo (a1, ak+1, bk),
abbiamo quindi
Θ(v(ak+1, a1), v(bk, a1)@ak+1) ≤ Θ(v(a1, ak+1), v(a1, bk)) + |bkak+1| ≤2
e unendola alla terza tra le ipotesi elencante nell’enunciato del teorema, grazie alla disuguaglianza triangolare abbiamo
Θ(v(ak+1, a1), −v(ak+1, bk+1)) ≤ 3
che possiamo riscrivere anche come
π −Θ(v(ak+1, a1), v(ak+1, bk+1)) ≤ 3. (3.2.1)
Segue dalla Proposizione 86 e dalla disuguaglianza appena trovata (la 3.2.1) che
||a1ak+1|+ |ak+1bk+1| − |a1bk+1|| ≤3D2
dove D2 è la costante della Proposizione 86. Applicando la disuguaglianza trian-
golare sul triangolo di vertici ai, bk e ak+1 otteniamo
||a1bk| − |a1ak+1|| ≤
da cui, sostituendo nella disuguaglianza precedente,
||a1bk|+ |ak+1bk+1| − |a1bk+1|| ≤ D
per una qualche costante D. Questo dimostra il passo induttivo per la disugua- glianza che volevamo dimostrare.
3.2. LEMMA DELLA CATENA E PREPARATIVI 67 Rimane da provare la (5∗). Utilizzando l’ipotesi induttiva e le ipotesi del teorema, otteniamo questa successione di disuguaglianze:
Θ(nk+1, n1@ak+1) = Θ(nk+1@bk, n1@ak+1@bk) ≤Θ(nk+1@bk, nk@bk) + Θ(nk@bk, n1@ak+1@bk) ≤ + Θ(nk@bk, n1@ak+1@bk) ≤ + Θ(nk@bk, n1@ak@bk) + Θ(n1@ak@bk, n1@ak+1@bk) ≤(5k + 1) + Θ(n1@ak@bk, n1@ak+1@bk) ≤(5k + 1) + Θ(n1@ak@bk, n1@bk) + Θ(n1@bk, n1@ak+1@bk)
Da una delle disuguaglianze sopra, precisamente la 3.2.1, abbiamo Θ(n1@ak@bk, n1@bk) ≤ 3
e per la Proposizione 83 vale
Θ(n1@bk, n1@ak+1@bk) ≤
Utilizzando queste due stime nella disuguaglianza subito sopra, otteniamo Θ(nk+1, n1@ak+1) ≤ (5k + 5)
che è il passo induttivo che stavamo cercando.
Interrompiamo per un attimo il discorso sulle −catene, per continuare il quale ci sarà utile la seguente proposizione.
Proposizione 89. Dati p, q ∈ H3 e A ∈ PSL(2, C) tali che A(p) = q, supponiamo
che per ogni u ∈ T1
p(H3) si abbia Θ(A(u), u@q) ≤ . Allora, per abbastanza
piccolo, d(p, q) abbastanza grande e una qualche costante D > 0 avremo che • la trasformazione A è iperbolica
• |l(A) − d(p, q)| ≤ D
• chiamando l’asse di A come Asse(A), abbiamo d(p, Asse(A)) ≤ D
d(q, Asse(A)) ≤ D (3.2.2)
Dimostrazione. Supponiamo di lavorare sul modello del semispazio, e che i punti p, q siano sulla geodetica che va da 0 a ∞, tali che q = (0, 0, 1) e p = (0, 0, x) per un qualche x ∈ (0, 1). Consideriamo B ∈ PSL(2, C) tale che B(z) = Kz, dove ln K = d(p, q). Dato che K è un numero positivo, per ogni u ∈ T1
p(H3) si ha
B(u) = u@q. B di fatto è la trasformazione iperbolica che ha spostamento minimo ln K e asse la geodetica da 0 a ∞.
Sia A = C ◦ B, con C ∈ PSL(2, C) che fissa (0, 0, 1); possiamo dedurre grazie all’ipotesi che per ogni u ∈ T1
(0,0,1)(H
3) si ha Θ(u, C(u)) ≤ . Da ciò segue che per
qualche a, b, c, d ∈ C tali che ad − bc = 1 si ha C(z) = az+ b
cz+ d
e |a − 1|, |b|, |c|, |d − 1| ≤ D1 per una qualche costante positiva D1. Allora
A(z) = a √ Kz+ √b k c√Kz+ √d K e troviamo tr(A) = a√K + √d K
Dato che |a − 1|, |d − 1| ≤ D1 notiamo che per K abbastanza grande (e quindi,
per d(p, q) abbastanza grande) la parte reale di tr(A) è maggiore di 2, il che vuol dire che A è iperbolica. Per contro però sappiamo (vedi formula 1.2.1) che tr(A) = 2 coshl(A)
2
, per cui |l(A)−ln K| ≤ D2per una qualche costante positiva
D2. I primi due punti sono dimostrati.
Vediamo ora il terzo. Se z1, z2 ∈ C = ∂H3 sono i punti fissi di A, abbiamo
z1,2 = a − Kd± r a − Kd2+ 4bcK 2c
e quindi per K abbastanza grande avremo |z1| ≤ , |z2| ≥
3 il che vuol dire che per una costante positiva D3 vale
d(q, Asse(A)) = d((0, 0, 1), Asse(A)) ≤ D3
e, per simmetria, abbiamo anche
3.2. LEMMA DELLA CATENA E PREPARATIVI 69 Torniamo a parlare di catene: il seguente lemma è una conseguenza del Teorema 87 e della scorsa proposizione, e in particolare sarà utile per iniziare a visualizzare una catena nella varietà, invece che su H3. Nello specifico, data una catena chiusa
di segmenti geodetici (ossia, tale che questi si ripetano ciclicamente), esisterà una geodetica chiusa liberamente omotopa alla sua concatenazione; il lemma serve a stimare la lunghezza complessa di tale geodetica.
Lemma 90. Siano dati ai, bi ∈ H3, i ∈ Z tali che, per ogni i, si abbia
• |aibi| ≥ Q
• |biai+1| ≤
• Θ(v(bi, ai)@ai+1, −v(ai+1, bi+1)) ≤
e supponiamo che, per ogni i ∈ Z, ni ∈ Ta1i(H
3) sia un vettore in a
i normale a
v(ai, bi), e per ciascuna possibile scelta di ni si abbia
Θ(ni@bi, ni+1@bi) ≤ .
Come ultima ipotesi, ammettiamo che esistano A ∈ PSL(2, C) e k > 0 tali che A(ai) = ai+k, A(bi) = bi+k e A(ni) = ni+k per ogni i ∈ Z.
Allora per abbastanza piccolo e Q abbastanza grande abbiamo che A è iper- bolica, e l(A) − k X i=0 |aibi| ≤ kD
per una costante positiva D. Inoltre ai, bi ∈ NDk(Asse(A)), dove NDk(Asse(A)) ⊂
H3 è il Dk−intorno di Asse(A).
Il modo in cui effettivamente ci interessa vedere questo teorema è prendendo ai, bi ∈ H3/A, o ancora meglio in una qualche 3− varietà iperbolica N, e i ∈ Z/kZ.
Dobbiamo quindi descrivere i segmenti geodetici da ai a bi che utilizzeremo per
determinare v(bi, ai) e ni@bi, e così via; d’altra parte, sappiamo che esiste un
unico segmento geodetico da bi a ai+1 di lunghezza minore di , nel caso il raggio
di iniettività di N sia maggiore di . Considereremo quindi la successione di segmenti da ai a bi come una ‘−catena chiusa’ e Asse(A)/A come la sua geodetica
rappresentativa.
Dimostrazione. Chiamiamo v0 = v(a0, b0). Notiamo subito A(v0) = v(ak, bk). La
prima cosa che ci interessa mostrare è che per Q abbastanza grande vale Θ(A(v0), v0@ak) ≤ 4
Riprendendo una disuguaglianza trovata nella dimostrazione del Teorema 87, più precisamente la 3.2.1, abbiamo che per Q abbastanza grande vale
π −Θ(v(ak, a0), v(ak, bk)) ≤ 3
Dato che
Θ(v(ak, a0), −v(ak, bk)) = Θ(v(a0, ak), v(ak, bk)@a0)
abbiamo
Θ(v(a0, ak), v(ak, bk)@a0) ≤ 3
D’altra parte, da uno degli enunciati dello stesso Teorema 87 (per la precisione il (4∗)) possiamo dedurre, sempre per Q abbastanza grande,
Θ(v(a0, ak), v(a0, b0)) ≤
per cui, per la disuguaglianza triangolare
Θ(v(a0, b0), v(ak, bk)@a0) ≤
≤Θ(v(a0, ak), v(a0, b0)) + Θ(v(a0, ak), v(ak, bk)@a0) ≤ 4.
Dato che
v(ak, bk)@a0@ak = v(ak, bk)
otteniamo
Θ(v(a0, b0), v(ak, bk)@a0) = Θ(v0@ak, A(v0))
per cui abbiamo dimostrato
Θ(v0@ak, A(v0)) ≤ 4.
Andiamo avanti con la dimostrazione. Dall’enunciato (5∗) del Teorema 87 sappiamo che Θ(nk, n0@ak) ≤ 5k. D’altra parte v0 è normale a n0 per definizione
di n0, per cui dato che la sua scelta è arbitraria abbiamo
Θ(u@ak, A(u)) ≤ 4kD
per ogni u ∈ T1
a0(H
3), dato che possiamo scomporre u lungo v
0 e il piano generato
dagli n0, il quale di fatto è v⊥0 ⊂ Ta10(H
3); questo ci permette di verificare le ipotesi
della Proposizione 89. Infine, dalla (1∗) del Teorema 87 segue
d(a0, A(a0)) − k X i=0 |aibi| ≤ kD e il resto della tesi segue, appunto, dalla Proposizione 89.