Definizione 107. Se Tp e Tq sono due treppiedi ben connessi lungo una tripla di
segmenti geodetici γ = (γ0, γ1, γ2), definiremo
bγ(Tp, Tq) = 2 Y i=0 aγi(ω i(F p), ω−i(Fq)).
Notiamo subito che, per definizione, Tp e Tq sono ben connessi lungo la tripla
γ se e solo se bγ(Tp, Tq) > 0.
Definiamo lo spazio dei treppiedi ben connessi come lo spazio delle triple date da (Tp, Tq, γ) tali che Tp e Tq siano ben connessi lungo la tripla di geodetiche γ. Da
un risultato dovuto al mixing esponenziale (il Lemma 100) abbiamo che, dati due treppiedi Tp e Tq, per r abbastanza grande esiste almeno una tripla di segmenti γ
tale che Tp e Tq siano ben connessi lungo γ.
Sullo spazio dei treppiedi ben connessi vogliamo definire una misura ˜µ, che sarà data da
d˜µ(Tp, Tq, γ) = bγ(Tp, Tq)dλT(Tp, Tq, γ)
dove λT(Tp, Tq, γ) è il prodotto della misura di Liouville Λ relativa a F(M3) sui
primi due termini, e la misura di conto sul terzo termine. Ora, la misura λT è
infinita essendoci infinite geodetiche tra p e q in M3, ma ˜µ è finita dal momento
che bγ(Tp, Tq) ha supporto compatto.
Ricordiamo ancora una volta R = 2
r −ln43. Definiremo su ΠD,R la misura
µ come µ = π∗˜µ, e questa sarà la misura del Teorema 79. Per costruzione questa
misura è invariante per l’involuzione R : Π → Π della Definizione 65, il che vuol dire µ ∈ MR
0 (Π).
3.5
Conclusione della dimostrazione
Ora, per concludere la dimostrazione del Teorema 79, ci rimane da costruire la misura β richiesta e dimostrare le proprietà relative.
Continuando a usare la nostra notazione Fp = (p, u, n), Fq = (q, v, m) per
indicare due riferimenti in F(M3), supponiamo che i riferimenti ωi(F
p) e ωi(Fq)
siano ben connessi lungo i rispettivi segmenti geodetici γi per i ∈ {0, 1}, ossia
che con la notazione di prima i bipiedi Bp e Bq siano ben connessi lungo tali
segmenti geodetici. Indicheremo con δ2 ∈Γ la geodetica chiusa in M3 liberamente
omotopa a γ0∪ γ1, e cercheremo ora di associare i corrispodenti ‘piedi geometrici’
a (Bp, Bq, γ0, γ1) su δ2.
Per prima cosa, vogliamo definire i seguenti oggetti:
• αp sarà la semiretta geodetica su M3 data da αp(0) = p, α0p(0) = ω(u). Allo
stesso modo la semiretta geodetica αq su M3 sarà definita come αq(0) =
• Per t ∈ [0, ∞) e i ∈ {0, 1}, βt
i sarà il segmento geodetico omotopo a estremi
fissati all’arco geodetico spezzato (αp[0, t])−1· γi· αq[0, t]), estremi che nello
specifico saranno αp(t) e αq(t).
• β∞
i sarà la geodetica limite di βit per t → ∞.
• Per ogni t positivo e i ∈ {0, 1} esiste un’ovvia scelta per l’ ortogonale comune tra δ2 e βit, che varia in maniera continua al variare di t: chiameremo fit ∈
N1(δ
2) il piede di questa ortogonale comune su δ2, e fi = fi∞.
Per una geodetica chiusa δ ∈ Γ (Γ è l’insieme delle geodetiche chiuse di M3),
chiamiamo Tδ il toro solido la cui curva principale è δ: ossia, se A ∈ H3 è tale che
il sollevamento di δ sia il suo asse, Tδ = H3/A. Un altro modo in cui possiamo
vedere i concetti definiti sopra è su Tδ2, sollevando γ0 ∪ γ1 a una curva chiusa in
Tδ2, sollevando poi anche Fp, Fq e le semirette αp e αq, e definendo β
t
i come prima;
esisterà quindi un’unica ortogonale comune tra il sollevamento di δ2 e βit al variare
di t.
Per il Lemma 95 sappiamo che dδ2(f0, f1) = hl(δ2), per cui f0 e f1 sono lo
stesso vettore in N1(√δ
2), ed è quindi definita la mappa
(Bp, Bq, γ0, γ1) 7→ fδ2(Bp, Bq, γ0, γ1) ∈ N
1(qδ 2)
sull’insieme dei bipiedi ben connessi tali che γ0 ∪ γ1 sia omotopa a δ2, che manda
una coppia di bipiedi nel corrispondente vettore di N1(√δ
2) in questione. Con-
sidereremo il vettore fδ2(Bp, Bq, γ0, γ1) ∈ N
1(√δ
2) come il piede geometrico di
(Bp, Bq, γ0, γ1).
Supponiamo ora di avere un terzo segmento geodetico γ2 tra p e q tale che
(Tp, Tq, γ) sia una coppia di treppiedi ben connessi lungo la tripla γ. Nella pre-
cedente sezione abbiamo definito i pantaloni sghembi Π = π(Tp, Tq, γ) tali che
∂Π = δ0 + δ1 + δ2, dove δi è omotopo a γi−1 ∪ γi+1 (con gli indici considerati
modulo 3).
Dato hi ∈ N1(δ2) piede dell’ortogonale comune da δ2 a δi, per i ∈ {0, 1}, per
il fatto che dδ2(h0, h1) = hl(δ2) le proiezioni di h0 e h1 su N
1(√δ
2) coincidono, e
le chiameremo footδ2(Π) ∈ N
1(√δ
2); diremo che footδ2(Π) è il piede dei pantaloni
sghembi Π sul bordo δ2.
Quello che faremo ora sarà verificare che su N1(√δ
2) abbiamo dδ2(f0, h1) =
dδ2(f1, h0) = O(e
−r
4), il che ci permetterà di affermare che {h0, h1} e {f0, f1}
vengono proiettati in vettori di N1(√δ
2) distanti da loro non più di e−
r
4.
Proposizione 108. Con la notazione di cui sopra, per r abbastanza grande e
abbastanza piccolo si ha
dis(f0,h1), dis(f1,h0) ≤ De−
r 4
3.5. CONCLUSIONE DELLA DIMOSTRAZIONE 89 Dimostrazione. Supponiamo di avere un paio di pantaloni sghembi Π = π(Tp, Tq, γ),
dove γ è una tripla di buone connessioni. Per i ∈ {0, 1} abbiamo che le geodetiche δ2 e δi - o meglio, i loro sollevamenti sul toro solido relativo a δ2 - soddisfano,
chiamando ηi la loro ortogonale comune, dηi(δ2, δi) = e
−r
2+ per un ∈ D, grazie
alla Proposizione 91.
D’altra parte, essendo γ2 una buona connessione, per una costante universale
positiva E abbiamo che βr4
0, sempre nel toro solido, ha gli estremi a distanza non
più di E da δ1, e allo stesso modo β
r
4
1 ha gli estremi a distanza non più di E da
δ0. La disuguaglianza cercata segue allora dal Lemma 94, di cui sopra abbiamo
verificato l’ipotesi.
Per ogni paio di pantaloni sghembi Π = π(Tp, Tq, γ) definiremo
fδ2(Π) = fδ2(Tp, Tq, γ) = fδ2(Bp, Bq, γ0, γ1)
definendo quindi la mappa (Π, δ∗) 7→ f
δ(Π, δ) ∈ N1(
√
δ) sull’insieme dei pantaloni sghembi marcati Π∗
D,R contenente δ nel bordo.
Proposizione 109. Supponiamo di avere (π(Tp, Tq, γ), δ∗) ∈ Π∗. Allora, per r
abbastanza grande e abbastanza piccolo, abbiamo
d(footδ(π(Tp,Tq, γ)), fδ(Tp,Tq, γ)) ≤ De−
r 4
per una qualche costante positiva D.
Quest’ultima proposizione segue dalla precedente. In particolare, abbiamo tro- vato che il piede fδ2 ci permette di stabilire footδ2 a meno di un errore esponen-
zialmente piccolo rispetto a r, senza però che sia necessario conoscere γ2.
Siamo ora pronti a dimostrare il Teorema 79, che come abbiamo visto implica la dimostrazione del Teorema 70 e conseguentemente del Teorema della superficie di Kahn-Markovic, che è l’obiettivo di questo lavoro.
Dimostrazione. Cominciamo con la scelta di un δ ∈ Γ, dove Γ è l’insieme delle geodetiche chiuse di M3. Per una data misura α su N1(√Γ), indicheremo con α
δ la
sua restrizione su N1(√δ). Sinora abbiamo dimostrato la prima parte del teorema:
ci resta da costruire la misura β relativa all’enunciato del teorema, dimostrare l’equivalenza con la µ costruita prima e stimarne la derivata di Radon-Nikodym rispetto alla misura Euclidea su N1(√δ).
La notazione che utilizzeremo sarà la stessa di prima: in particolare, Fp =
(p, u, n) indicherà un riferimento, Bp = (Fp, ω(Fp)) il bipiede corrispondente e
Tp = (Fp, ω(Fp), ω2(Fp)) il treppiede corrispondente. Inoltre, per una coppia di
treppiedi ben connessi, indicheremo l’insieme delle geodetiche che realizzano la buona connessione con γ = (γ0, γ1, γ2).
Definiamo innanzitutto l’insieme Sδ in questo modo: (Fp, Fq, γ0, γ1) appartiene
a Sδ se (Bp, Bq, γ0, γ1) è un paio ben connesso di bipiedi lungo γ0 e γ1 tali che
γ0∪ γ1 sia omotopo a δ. Poco sopra abbiamo definito la mappa
fδ : Sδ → N1(
√ δ).
Ricordiamo che come già visto nei precedenti capitoli il toro C/(2πiZ + l(δ)Z) agisce naturalmente su N1(√δ) per isometrie, e definiamo l’azione di quel toro
su Sδ in modo tale che fδ diventi equivariante rispetto all’azione del toro su Sδ
e N1(√δ); detto in altre parole, la vogliamo definire in modo tale che per ogni
elemento τ del toro si abbia
fδ(τ + (Bp, Bq, γ0, γ1)) = τ + fδ(Bp, Bq, γ0, γ1)
dove quello che indichiamo come τ + (Bp, Bq, γ0, γ1) è l’elemento di Sδ ottenuto
applicando l’azione τ alla coppia di bipiedi e di geodetiche in questione.
Sia Tδ il rivestimento aperto dato da un toro solido associato alla geodetica
δ, ossia Tδ = H3/A, con A ∈ PSL(2, C) che ha come asse un sollevamento di
δ: abbiamo che δ avrà in Tδ un unico sollevamento a una geodetica chiusa, che
chiameremo ˆδ(δ). Allora data una coppia di bipiedi ben connessi in Sδ, ciascun
bipiede si solleverà in modo unico a un bipiede di F(Tδ) tale che la coppia di bipiedi
sollevata sia ben connessa in Tδ. Chiameremo ˜Sδ l’insieme di questi sollevamenti:
per quanto appena detto, questo sarà in corrispondenza biunivoca con Sδ.
Notiamo che il gruppo di automorfismi del toro solido Tδ è isomorfo al grup-
po di isomorfismi del fibrato normale unitario N1(δ), il quale è isomorfo al toro
C/(2πiZ + l(δ)Z) che agisce sia su N1(δ) che su F2(Tδ) mappando ˜Sδ in se stesso.
Dato che ˜Sδ e Sδ sono in corrispondenza biunivoca tra loro, si può quindi indurre
l’azione del toro appena descritta su Sδ, e l’equivarianza segue dalla costruzione.
Ora portiamo il nostro ragionamento sui treppiedi. Sia Cδlo spazio dei treppie-
di ben connessi (Tp, Tq, γ) tali che γ0∪ γ1 sia omotopo a δ. Consideriamo la mappa
dimenticante χ : Cδ → Sδ, che manda (Tp, Tq, γ) in (Bp, Bq, γ0, γ1) (in pratica, di
fatto, χ toglie una geodetica). Dalla proposizione 109 abbiamo che per ogni coppia di treppiedi ben connessi (Tp, Tq, γ) in Cδ abbiamo
|fδ(χ(Tp, Tq, γ)) − footδ(π(Tp,Tq, γ))| < Ce−
r
4 (3.5.1)
dove π è la mappa della scorsa sezione che manda paia di treppiedi in pantaloni sghembi.
Quello che faremo ora è definire la misura νδ su Sδ come
dνδ(Bp, Bq, γ0, γ1) = aγ0(Fp, Fq)aγ1(ω(Fp), ω(Fq))dλB(Bp, Bq, γ0, γ1)
dove λB è la misura su Sδ definita come il prodotto della misura di Liouville dei
3.5. CONCLUSIONE DELLA DIMOSTRAZIONE 91 Due cose ora ci interessa far notare. Innanzitutto λB è invariante per l’azione
del toro C/(2πiZ + l(δ)Z) su Sδ. Per quanto riguarda la seconda, prendiamo τ
nel toro appena citato, e per (Bp, Bq, γ0, γ1) ∈ Sδ chiamiamo il corrispondente
elemento in Sδ come
(Bp(τ ), Bq(τ ), γ0(τ), γ1(τ)) = τ + (Bp, Bq, γ0, γ1)
Segue dalle definizioni delle funzioni a che
aγ0(Fp, Fq)aγ1(ω(Fp), ω(Fq)) = aγ0(τ )(Fp(τ ), Fq(τ ))aγ1(τ )(ω(Fp(τ )), ω(Fq(τ )))
per ogni τ. I due fatti appena mostrati ci permettono di dire che νδ è invariante
per l’azione di C/(2πiZ + l(δ)Z) su Sδ.
Dato che fδ è invariante per l’azione di C/(2πiZ + l(δ)Z), lo è anche la misura
(fδ)∗νδ per l’azione di questo toro su N1(
√
δ), per cui (fδ)∗νδ è un multiplo della
misura Euclidea Euclδ su N1(
√
δ). Scriveremo (fδ)∗νδ = EδEuclδ
per una costante non negativa Eδ.
Per definire l’altra misura naturale su Sδ faremo la seguente costruzione. Detta
χ: Cδ→ Sδ la mappa dimenticante, e ricordando che ˜µ è la misura sullo spazio di
treppiedi ben connessi data da
d˜µ(Tp, Tq, γ) = bγ(Tp, Tq)dλT(Tp, Tq, γ)
dove λT è il prodotto della misura di Liouville su F(M3) per i primi due termini
e la misura di conto sul terzo termine, otteniamo una nuova misura su Sδ con
χ∗(˜µ|Cδ).
Le due misure soddisfano
dχ∗(˜µ|Cδ) dνδ =X γ2 aγ2(ω 2(F p), ω2(Fq)) = a(ω2(Fp), ω2(Fq))
ma per il mixing, in particolare per il Lemma 100, sappiamo
a(ω2(Fp), ω2(Fq)) = 1
Λ(F(M3))(1 + O(e −qr))
per cui per una qualche costante C positiva e dipendente solo da e M3 si ha
dχ∗(˜µ|Cδ) dνδ − 1 Λ(F(M3)) < Ce−qr
il che vuol dire 1 Λ(F(M3))(1 − Ce −qr)ν δ ≤ χ∗(˜µ|Cδ) ≤ 1 Λ(F(M3))(1 + Ce −qr)ν δ
applicando la mappa (fδ)∗ e il fatto che (fδ)∗νδ = EδEuclδ, abbiamo
Eδ Λ(F(M3))(1 − Ce −qr)Eucl δ ≤ f∗(χ∗(˜µ|Cδ)) ≤ Eδ Λ(F(M3))(1 + Ce −qr)Eucl δ.
Poniamo quindi, in conclusione
βδ = f∗(χ∗(˜µ|Cδ))
e la derivata di Radon-Nikodym di βδ soddisfa la disuguaglianza richiesta dal
Teorema 79. D’altra parte abbiamo prima dimostrato la 3.5.1, che implica che βδ
e ˆ∂µ|N1(√δ) siano O(e−
r
Bibliografia
[1] Lewis Bowen. Weak forms of the Ehrenpreis conjecture and the surface subgroup conjecture.
[2] Calvin C.Moore. Exponential decay of correlation coefficents for geodesic flows.
[3] Werner Fenchel. Elementary Geometry in Hyperbolic Space. 1989.
[4] Vladimir Markovic Jeremy Kahn. Immersing almost geodesic surfaces in a closed hyperbolic three manifold.
[5] Vladimir Markovic Jeremy Kahn. Random ideal triangulations and the Weil-Petersson distance between finite degree covers of punctured Riemann surfaces.
[6] Ioannis D. Platis John R. Parker. Complex hyperbolic Fenchel-Nielsen coordinates.
[7] Christos Kourouniotis. Complex length coordinates for quasi-Fuchsian groups. [8] Bruno Martelli. Introduction to geometric topology. 2016.
[9] Mark Pollicott. Exponential mixing for the geodesic flow on hyperbolic three- manifolds.
[10] Caroline Series. An extension of Wolpert’s derivative formula.