Cardinalità e ordinalità

Uno degli eetti della ricerca sulla cognizione numerica e sulle associazio- ni numerico-spaziali è stato quello di riaprire il dibattito su cardinalità, ordinalità, e i loro reciproci ruoli.

I numeri (o perlomeno, i numeri naturali) possono assumere due signi- cati: indicare una quantità (signicato cardinale) oppure una posizione all'interno di una sequenza (signicato ordinale). Tuttavia, la ricerca nel campo della cognizione numerica e della didattica della matematica, se non addirittura la matematica stessa, sembrano essere orientate ad un approc- cio prettamente, o quantomeno principalmente, cardinale. Tra le cause del grande successo di un approccio prettamente cardinale, citiamo l'enorme in- uenza delle scuole piagetiana  Brainerd (1979) sostiene che Piaget non conoscesse le distinzioni logiche tra i due concetti  e di Gelman (Gelman e E. Meck 1983).

Coles e N. Sinclair (2018), in un recente articolo di critica verso il prima- to della cardinalità, suggeriscono anche motivi appartenenti al campo della storia della matematica.

Fino a non molto tempo fa, comunque, il dibattito sul primato della cardinalità rispetto a un approccio più ordinale era vivace tra i ma- tematici, i loso della matematica e gli psicologi. [. . .]sia Peano che Dedekind favorivano il primato degli ordinali, mentre Russell sosteneva i cardinali. [. . .]Non ci è chiaro perché l'ordinalità giochi un ruolo re- lativamente scarso negli studi attuali riguardo il primo apprendimento dei numeri.

(Coles e N. Sinclair 2018) Sempre da un punto di vista storico, vale la pena riportare anche la teoria dell'origine rituale dei processi di conteggio elaborata da Seidenberg (1962), secondo il quale la pratica di usare una sequenza ssata di nomi per i numeri precede cronologicamente l'uso degli stessi per valutare le quantità.

È interessante notare che, in molte lingue, gli ordinali per primo o se- condo hanno etimologie piuttosto diverse dai corrispondenti cardinali uno

1.2. CARDINALITÀ E ORDINALITÀ 23 e due. Le traduzioni di primo in italiano, inglese, francese, gotico e gre- co derivano tutte (tramite talvolta vari processi fonetici) dalla preposizione indo-europea pro-, prima. Secondo in italiano ed inglese proviene dal latino secundus, seguente; mentre la parola in gotico deriva dal latino al- ter, altro. Fenomeni analoghi sono presenti nelle lingue nlandese e basca, che non sono di origine indo-europea. Alcuni autori (Menninger 1969) sugge- riscono che queste dierenze etimologiche siano indizi di una diversa origine concettuale per i processi di ordinamento e di conteggio o valutazione della numerosità.

Alcune elementari competenze ordinali, come imparare liste no a sette oggetti, sono state ritrovate nei macachi rhesus (Swartz, Chen e Terrace 1991) e, in misura minore, nei piccioni (Straub et al. 1979).

1.2.1 L'approccio delle neuroscienze

La cardinalità risulta prevalente anche nel campo delle neuroscienze, a partire dall'inuente lavoro di Dehaene, Piazza et al. (2003). Il modello del triplo codice, infatti, prevede due processi di transcodica: da verbale a visuale (asemantico), e da visuale ad analogico a verbale (semantico). Per Coles e N. Sinclair (2018) questa distinzione incorpora il preconcetto per cui solo il codice di grandezza (e quindi la cardinalità) è portatore di signicato. Molti altri importanti studi in questo settore (Butterworth 2005) si focalizzano esclusivamente o principalmente sul campo della cardinalità (Vogel, Remark e Ansari 2015).

Si è comunque sviluppato un dibattito su quale grado di connessione esista o meno tra le rappresentazioni dei numeri e delle sequenze ordinate (non-numeriche).

Il confronto fra numeri (che coinvolge chiaramente anche nozioni cardi- nali) e il confronto tra lettere (che si basa esclusivamente sul ragionamento ordinale) mostrano attivazioni sovrapponibili nell'aria parieto-frontale del cervello umano (Fias et al. 2007); inoltre durante i confronti ordinali l'area intraparietale sinistra mostra un distance eect (minore attivazione per og- getti più distanti) analogo a quello noto per i confronti cardinali (Marshuetz et al. 2006). Una parziale conferma di stampo più comportamentale arriva da Lyons e Beilock (2011; vedi sezione 1.2.2). Nieder (2005) sostiene che le elaborazioni di ordinamenti seriali e quantità cardinali condividono lo stesso sistema neurale (vedi anche Chiao, Bordeaux e Ambady 2004).

Gli studi di Turconi (Turconi e Seron 2002; Turconi, Jemel et al. 2004; Turconi, Campbell e Seron 2006) invece suggeriscono che i sistemi alla base del senso di ordinalità e del senso di cardinalità siano parzialmente disso- ciabili, che giudicare se 7 segue 5 sia diverso da giudicare se 7 è più grande di 5 (vedi anche van Opstal, Gevers et al. 2008). A quest'ultimo lone si aggiungono i risultati di J. Tang, Ward e Butterworth (2008), che al ter- mine di uno studio di imaging funzionale sulle sinestesie numerico-spaziali

Figura 1.8: In giallo le regioni con attività maggiori rispetto al controllo per l'ordinamento simbolico numerico (NumOrd), e in rosso le regioni con attivi- tà maggiori rispetto al controllo per l'ordinamento numerico non-simbolico (DotOrd). Corteccia dorso-laterale prefrontale (da Lyons e Beilock 2013). concludono che i circuiti neurali coinvolti nelle rappresentazioni cardinali ed ordinali sono almeno parzialmente separabili.

In uno studio più recente, Lyons e Beilock (2013) hanno fatto uso del- la risonanza magnetica funzionale (fMRI, functional Magnetic Resonance Imaging) per trovare connessioni tra:

• elaborazione cardinale dei numerali;

• elaborazione ordinale dei punti;

• elaborazione cardinale dei punti;

mentre anche in questo caso l'elaborazione ordinale dei numerali è risultata seguire dei processi diversi.

Complessivamente, questi dati sono coerenti con la nozione per cui valutare l'ordinalità in numeri simbolici e non-simbolici si appoggia su processi qualitativamente diversi. Delle sovrapposizioni sono sta- te osservate esclusivamente in un'area prefrontale non canonicamente associata con la rappresentazione numerica di base.

(Lyons e Beilock 2013) Alcuni studi suggeriscono persino che non sussista la necessità di aree cerebrali dedicate all'immagazzinamento o alla elaborazione di sequenze or- dinate (Verguts e Fias 2004; Verguts, Fias e Stevens 2005), oppure che tali

1.2. CARDINALITÀ E ORDINALITÀ 25 aree non siano una sola, ma più diverse a seconda del tipo di oggetti che for- mano la sequenza (Fias et al. 2007; Thioux et al. 2005; van Opstal, Verguts et al. 2008).

1.2.2 Studi comportamentali e implicazioni didattiche

Dehaene (1997) nota che, sebbene alcuni studi (Wynn 1995) confermino l'e- sistenza di abilità di stima della cardinalità (seppure approssimata) persino nei neonati, nessuna evidente competenza ordinale è trovata prima del- l'età di circa quindici mesi. D'altra parte, Lyons e Beilock (2013) hanno parzialmente smentito la correlazione tra le elaborazioni di rappresentazioni numeriche simboliche e non simboliche nel caso di un setting ordinale anziché cardinale.

In un esperimento ideato da Lyons e Beilock (2011), i partecipanti devono decidere se i numerali (o gli insiemi di punti) all'interno di una data sequen- za sono nel giusto ordine, che può essere sia ascendente che discendente. Ad esempio, la sequenza [5, 7, 6] non è considerata essere nel giusto ordine, mentre [7, 6, 5] o [5, 6, 7] lo sono. Per studenti sucientemente grandi (dai sette anni in poi) le prestazioni in questo compito sono risultate fortemente correlate al successo in matematica (Lyons, Price et al. 2014), suggerendo l'importanza del lato ordinale per la cognizione numerica.

In questo esperimento, Lyons e Beilock (2011) hanno anche cercato trac- cia di un qualche tipo di distance eect, riscontrando la sua presenza quando i termini erano dati come punti, e trovando invece un distance eect inverso per le sequenze di numerali. Poiché dunque i partecipanti si sono dimostra- ti tanto più veloci nel decidere se tre numerali fossero o meno nel corretto ordine quanto più questi erano vicini, gli autori suggeriscono che il cervello esegua operazioni diverse a seconda che debba compiere valutazioni di car- dinalità o di ordinalità. Una plausibile giusticazione per questo distance eect inverso potrebbe essere data dall'uso della sequenza memorizzata del- la lastrocca dei numeri, ipotesi questa che sarebbe coerente con quanto teorizzato da Seidenberg (1962) riguardo l'origine rituale del contare.

In linea con questi risultati, Gevers, Reynvoet e Fias (2003) hanno osser- vato un eetto SNARC anche per quel che riguarda le liste dei mesi dell'anno o delle lettere dell'alfabeto, suggerendo che una codica spaziale analoga a quella dei numeri possa essere presente anche per qualsiasi sequenza ordinata venga interiorizzata da un individuo.

Lo stesso esperimento di Lyons e Beilock (2011) è stato ripetuto da Ru- binsten e Sury (2011) su adulti aetti o meno da discalculia evolutiva. Le prestazioni dei due gruppi si sono rilevate sovrapponibili per le sequenze con i numerali, mentre nel caso dei punti gli individui discalculici hanno prodotto risultati peggiori. Per questi risultati, gli autori avanzano come giusticazione l'idea che nel caso dei numerali i soggetti di entrambi i gruppi abbiano fatto ampio uso della lastrocca dei numeri. Questo approccio,

Figura 1.9: Mettere `5' sullo scaale (Coles e N. Sinclair 2018). consistente con l'ipotesi di Seidenberg (1962), rivelerebbe anche la dicoltà nel distinguere le componenti cardinale e ordinale della cognizione numerica umana.

Coles e N. Sinclair (2018) hanno fatto contare una classe d'asilo (5-6 anni) no a 200 attraverso l'uso della app per iPad TouchCounts (www. touchcounts.ca; N. Sinclair e Coles 2017). Il setting dell'esperimento pre- vedeva che i bambini sfruttassero le potenzialità della app (e l'aiuto dell'in- segnante) per contare di 5 in 5, alternando i tap di quattro dita sotto lo scaale e di un dito sopra e impiegando quindi la forza di gravità simulata da una delle modalità di TouchCounts (gura 1.9).

Arrivati a 200 assistiamo al seguente scambio tra uno studente (Cam) e l'insegnante:

Cam: Pensavo che duecento fosse subito dopo cento, ma non lo è. Insegnante: No, quanto è lontano da cento?

C: È, è, è un altro cento oltre.

(Coles e N. Sinclair 2018) La relazione che Cam nota tra 100 e 200, in questo caso, non è legata alla cardinalità. La relazione è piuttosto di tipo temporale: lo stesso proce- dimento fatto per giungere a 100 deve essere ripetuto (con lo stesso impiego di tempo e di energie) per arrivare da 100 a 200.

Nello stesso studio è presentata un'altra attività elaborata con l'ausilio di TouchCounts: ai bambini (sempre in età prescolare) è stato richiesto di fare 10 in modi diversi. Il compito è simile a quello, classico, di partizionare una collezione di 10 oggetti; tuttavia, l'utilizzo della app ha fornito un contesto in cui i processi mentali possono essere più di tipo ordinale, focalizzandosi meno sulla grandezza e maggiormente sui nomi dei numeri e sulle relazioni tra di essi.

1.3. INFLUENZE INTERCULTURALI SULLA LINEA DEI NUMERI 27 Come ultimo esempio dall'articolo di Coles e N. Sinclair (2018) riportia- mo uno studio condotto in una scuola primaria. Ai bambini (7-8 anni) è stata presentata una tabella delle decine di Gattegno (tabella 1.1).

0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Tabella 1.1: Un esempio di tabella delle decine

Agli studenti è stato quindi richiesto di scegliere un numero sulla tabella, e di inventarsi un percorso moltiplicando e dividendo per 10, 100 per poi tornare al punto di partenza. La risposta più sorprendente è risultata essere quella di una studentessa che, dopo aver moltiplicato quattro volte per 10, è tornata indietro in un passo (gura 1.10) dividendo per 10000.

Figura 1.10: Una studentessa estende alla divisione per 10000: sono tornata indietro in un passo (Coles e N. Sinclair 2018).

Di questi risultati, gli autori sottolineano come i bambini sembrino riu- scire ad utilizzare numeri (centinaia a 5-6 anni, decine di migliaia a 7-8) e concetti (operazione inversa) al di sopra delle tradizionali aspettative per le rispettive fasce d'età, suggerendo così che un approccio più ordinale al- la prima didattica della matematica possa essere utile al raggiungimento di obiettivi più avanzati e di una più completa cognizione numerica.